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    2019年高考全国1卷理科数学及答案-

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    2019年普通高等学校招生全国统一考试
    理科数学
    本试卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
    注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
    2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
    4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
    5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
    一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合M{x4x2}，N{xx2x60，则MA．{x4x3 C．{x2x2


    N=
    B．{x4x2 D．{x2x3
    2．设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则 A．(x+1y1 C．x(y11
    2    2    2    2

    0.2    0.3B．(x1y1 D．x(y+11
    ，则
    2    222alog20.2，b2，c0.23．已知
    A．abc B．acb C．cab D．bca

    4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长5151≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维（22纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是51．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 2cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 度之比也是
    1
    5．函数f（x）=sinxx在[,]的图像大致为 2cosxx
    B．
    A．C． D．

    6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
    11 3211D．

    167．已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(abb，则a与b的夹角为
    ππ2π5πA． B． C． D．

    6336A．B．8．如图是求5 1621C．

    32121212的程序框图，图中空白框中应填入
    1 2A1B．A=2
    A1C．A=
    12A1D．A=1
    2AA．A=

    9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40，a55，则 A．an2n5 C．Sn2n8n
    2

    an3n10 B．
    D．Sn
    12n2n
    210．已知椭圆C的焦点为F1(1,0，F2(1,0，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为
    x2y21 A．2
    x2y21 B．32x2y21 C．43x2y21 D．542
    11．关于函数f(xsin|x||sin x|有下述四个结论：
    ①f（x）是偶函数

    ②f（x）在区间（2,）单调递增
    ③f（x）在[,]有4个零点 ④f（x）的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
    12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
    A．86
    B．46

    C．26
    D．6
    二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线y3(xxe在点(0，0处的切线方程为______．
    214．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1，a4a6，则S5=_______．
    2x    1    315．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_______．
    x2y216．已知双曲线C：221(a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与CabF1BF2B0，的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1AAB，则C的离心率为______．
    三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
    22B，C的对边分别为a，b，c，设(sinBsinCsinAsinBsinC． △ABC的内角A，（1）求A；
    （2）若2ab2c，求sinC．

    18．（12分）
    AA1=4，AB=2，如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
    （1）证明：MN∥平面C1DE；
    （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．


    3
    19．（12分）
    已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为点为P．
    （1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
    （2）若AP3PB，求|AB|．

    20．（12分）
    已知函数f(xsinxln(1x，f(x为f(x的导数．证明： （1）f(x在区间(1,存在唯一极大值点； （2）f(x有且仅有2个零点．

    21．（12分）
    为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
    （1）求X的分布列；
    （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1,3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交22,8表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1
    (i1,2,,7，其中aP(X1，bP(X0，cP(X1．假设0.5，0.8．
    ,7为等比数列；
    （i）证明：{pi1pi}(i0,1,2,（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

    4
    （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
    22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
    1t2x，21t在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点Oy4t1t2为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．
    （1）求C和l的直角坐标方程；
    （2）求C上的点到l距离的最小值．

    23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
    已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
    （1）1a1b1ca2b2c2； （2）(ab3(bc3(ca324．

    5
    2019年普通高等学校招生全国统一考试
    理科数学•参考答案
    一、选择题
    1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题 13．y=3x14．三、解答题
    17．解：（1）由已知得sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，故由正弦定理得12115．0.1816．2 3b2c2a2bc．
    b2c2a21． 由余弦定理得cosA2bc2因为0A180，所以A60．
    （2）由（1）知B120C，由题设及正弦定理得2sinAsin120C2sinC，
    即6312cosCsinC2sinC，可得cosC60． 2222由于0C120，所以sinC602，故
    2sinCsinC6060
    sinC60cos60cosC60sin60


    62．
    4    6


    18．解：（1）连结B1C，ME．
    因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=1B1C． 21A1D．由题设知2又因为N为A1D的中点，所以ND=A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
    （2）由已知可得DE⊥DA．
    以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则

    A(2,0,0，A（，(1,3,2，M(1,3,2，N(1,0,2，A1A(0,0,4，AM12,0,4）1A1N(1,0,2，MN(0,3,0．
    mA1M0设m(x,y,z为平面A1MA的法向量，则，
    mA1A0x3y2z0，所以可取m(3,1,0．
    4z0．nMN0，n(p,q,rAMN 设为平面1的法向量，则nA1N0．3q0，所以可取n(2,0,1．
    p2r0．于是cosm,nmn2315， |m‖n|25510．
    5所以二面角AMA1N的正弦值为19．解：设直线l:y（1）由题设得F
    3xt,Ax1,y1,Bx2,y2．
    2353,0，故|AF||BF|x1x2，由题设可得x1x2．
    2247
    3yxt12(t122由，可得9x12(t1x4t0，则x1x2． 292y3x12(t157，得t． 92837所以l的方程为yx．
    28从而（2）由AP3PB可得y13y2．
    3yxt2由，可得y2y2t0．
    22y3x所以y1y22．从而3y2y22，故y21,y13． 代入C的方程得x13,x2故|AB|1． 3413．
    320．解：（1）设g(xf'(x，则g(xcosx11，g'(xsinx. 2(1x1x当x1,1,时，单调递减，而，可得在g'(xg'(xg'(00,g'(0有222唯一零点，
    设为. 则当x(1,时，g'(x0；当x,时，g'(x0. 2所以g(x在(1,单调递增，在,单调递减，故g(x在1,存在唯22一极大值点，即f'(x在1,存在唯一极大值点. 2（2）f(x的定义域为(1,. （i）当x(1,0]时，由（1）知，f'(x在(1,0单调递增，而f'(00，所以当x(1,0时，f'(x0，故f(x在(1,0单调递减，又f(0=0，从
    8
    而x0是f(x在(1,0]的唯一零点. （ii）当x0,时，由（1）知，f'(x在(0,单调递增，在,单调递22减，而f'(0=0，f'0，所以存在,，使得f'(0，且当22x(0,时，f'(x0；当x,时，f'(x0.故f(x在(0,单调递2增，在,单调递减. 2又f(0=0，f1ln10，所以当x0,时，f(x0.从而，222f(x 在0,没有零点. 2（iii）当x,时，f'(x0，所以f(x在,单调递减.而22f(0，所以f(x在,有唯一零点. 2（iv）当x(,时，ln(x11，所以f(x<0，从而f(x在(,没有零点. 综上，f(x有且仅有2个零点. 21．解：X的所有可能取值为1,0,1. f0，2P(X1(1， P(X0(1(1，P(X1(1，所以X的分布列为

    （2）（i）由（1）得a0.4,
    b0.5,c0.1. 9
    因此pi=0.4pi1+0.5 pi+0.1pi1，故0.1pi1pi0.4pipi1，即
    pi1pi4pipi1. 又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2,比数列．
    （ii）由（i）可得
    ,7为公比为4，首项为p1的等p8 p8p7p7p6. 由于p8=1，故p1p1p0p0 p8p7p7p6481p1p0p1
    3    3，所以 4814411p4 p4p3p3p2p2p1p1p0p1 .

    3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理. 222210.0039，此2571t4t2y1t21，且x22．解：（1）因为11，所以C的直角22221t21t1ty21(x1. 坐标方程为x42l的直角坐标方程为2x3y110. （2）由（1）可设C的参数方程为xcos,（为参数，ππ）. y2sinπ4cos11|2cos23sin11|3C上的点到l的距离为. 77当π2π时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7. 3322222223．解：（1）因为ab2ab,bc2bc,ca2ac，又abc1，故有
    a2b2c2abbcca
    abbcca111. abcabc10
    所以1a1b1ca2b2c2. （2）因为a, b, c为正数且abc1，故有
    (ab3(bc3(ca333(ab3(bc3(ac3 =3(a+b(b+c(a+c
    3(2ab(2bc(2ac
    =24. 所以(ab3(bc3(ca324.
    11

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