2013 年高考文科数学真题及答案全国卷 I

第Ⅰ卷

1

A．10 B ．9 C ．8 D ．5

11． (2013 课标全国Ⅰ，文 11) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) ．

第Ⅱ卷

1 x y 0,

为 ______ ．

15． (2013 课标全国Ⅰ，文 15) 已知 H 是球 O的直径 AB上一点， AH∶ HB＝ 1∶ 2， AB⊥平面α， H为垂足， α 截球 O所得截面的面积为 π ，则球 O的表面积为 ______．

16． (2013 课标全国Ⅰ，文 16) 设当 x＝ θ 时，函数 f ( x) ＝ sin x－ 2cos x 取得最大值，则 cos θ ＝ ______.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013 课标全国Ⅰ， 文 17)( 本小题满分 12 分 ) 已知等差数列 { an} 的前 n 项和 Sn 满足S3＝0， S5＝－ 5.

(1) 求 { an} 的通项公式；

(1) 分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

(2) 根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

2

19． (2013 课标全国Ⅰ，文 19)( 本小题满分 12 分 ) 如图，三棱柱 ABC－ A1B1C1 中， CA＝ CB，

AB＝ AA1，∠ BAA1＝60°.

(1) 证明： AB⊥ A1C；

(2) 若 AB＝CB＝ 2， A1C＝ 6 ，求三棱柱 ABC－ A1B1C1 的体积．

20．(2013 课标全国Ⅰ， 文 20)( 本小题满分 12 分 ) 已知函数 f ( x) ＝ ex( ax ＋b) － x2－ 4x，曲线 y＝f ( x) 在点 (0 ， f (0)) 处的切线方程为 y＝ 4x＋4.

(1) 求 a， b 的值；

(2) 讨论 f ( x) 的单调性，并求 f ( x) 的极大值．

21．(2013 课标全国Ⅰ， 文 21)( 本小题满分 12 分 ) 已知圆 M：( x＋ 1) 2＋ y2＝ 1，圆 N：( x－ 1) 2

＋ y2＝ 9，动圆 P 与圆 M外切并且与圆 N内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.

(1) 求 C的方程；

(2) l 是与圆 P，圆 M都相切的一条直线， l 与曲线 C交于 A， B两点，当圆 P 的半径最长时，求| AB|.

请考生在第 (22) 、(23) 、(24) 三题中任选一题做答． 注意：只能做所选定的题目． 如果多做，

则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22． (2013 课标全国Ⅰ，文 22)( 本小题满分 10 分) 选修 4— 1：几何证明选讲

如图，直线 AB为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，∠ ABC的角平分线 BE交圆于点 E， DB 垂直 BE交圆于点 D.

23． (2013 课标全国Ⅰ，文 23)( 本小题满分 10 分 ) 选修 4— 4：坐标系与参数方程已知曲线

极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ ＝ 2sin θ .

(1) 把 C1 的参数方程化为极坐标方程；

(2) 求 C1 与 C2 交点的极坐标 ( ρ ≥0,0 ≤ θ ＜ 2π ) ．

3

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(全国卷 I 新课标)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．

答案： A

解析： 当－ 1≤ t ＜ 1 时， s＝ 3t ，则 s∈ [ － 3,3) ．

当 1≤ t ≤3时， s＝ 4t － t 2. ∵该函数的对称轴为 t ＝ 2，

∴该函数在 [1,2] 上单调递增，在 [2,3] 上单调递减．

∴ smax＝4， smin＝ 3.

∴ s∈ [3,4] ．

4

排除 A.

当 x∈ (0 ，π ) 时， f ′(x) ＝ sin 2x＋ cos x(1 － cos x) ＝－ 2cos2x＋ cos x＋ 1.

10．

答案： D

5

∴ b· c＝ [ t a＋ (1 － t ) b] · b＝ 0，

即 t a· b＋ (1 － t ) b2＝ 0.

∴ 1 t ＋ 1－t ＝ 0.

2

∴ t ＝ 2.

14． 答案： 3

解析： 画出可行域如图所示．

画出直线 2x－y＝ 0，并平移，当直线经过点 A(3,3) 时， z 取最大值，且最大值为 z＝2×3－ 3＝ 3.

15． 答案： 9 π

2

解析： 如图，

设球 O的半径为 R，

则 AH＝ 2R ， 3

OH＝ R.

3

π

当 x－ φ ＝2kπ ＋ ( k∈ Z) 时， f ( x) 取最大值．

2

即 θ － φ＝ 2kπ ＋ π( k∈ Z) ， θ ＝2kπ ＋ π＋ φ ( k∈Z) ．

2 2

∴cos θ ＝ cos π ＝－ sin φ ＝ 2 5 .

2 5

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．

6

2.8 ＋ 2.9 ＋3.0 ＋ 3.1 ＋ 3.2 ＋3.5)

＝ 2.3 ，

y ＝ 1 (0.5 ＋ 0.5 ＋ 0.6 ＋0.8 ＋ 0.9 ＋ 1.1 ＋ 1.2 ＋ 1.2 ＋ 1.3 ＋ 1.4 ＋ 1.6 ＋ 1.7 ＋ 1.8 ＋ 1.9 ＋ 20

2.1 ＋ 2.4 ＋2.5 ＋ 2.6 ＋ 2.7 ＋3.2)

＝ 1.6.

由以上计算结果可得 x ＞ y ，因此可看出 A 药的疗效更好．

(2) 由观测结果可绘制如下茎叶图：

(1) 证明：取 AB的中点 O，连结 OC， OA1，A1B.因为 CA＝ CB，

所以 OC⊥ AB.

由于 AB＝ AA1，∠ BAA1＝60°，故△ AA1B 为等边三角形，

所以 OA1⊥ AB.

因为 OC∩ OA1＝ O，所以 AB⊥平面 OA1C.

又 A1C? 平面 OA1C，故 AB⊥ A1C.

(2) 解：由题设知△ ABC与△ AA1B都是边长为 2 的等边三角形，所以 OC＝ OA1＝ 3 .

7

(1) 因为圆 P 与圆 M外切并且与圆 N内切，

所以 | PM| ＋| PN| ＝ ( R＋ r 1) ＋ ( r 2－R) ＝ r 1＋ r 2＝4.

4 6 2 ，

7

8

则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．

(1) 证明：连结 DE，交 BC于点 G.

由弦切角定理得，∠ ABE＝∠ BCE.

而∠ ABE＝∠ CBE，

故∠ CBE＝∠ BCE， BE＝ CE.

又因为 DB⊥ BE，

所以 DE为直径，∠ DCE＝90°，

由勾股定理可得 DB＝ DC.

(2) 解：由 (1) 知，∠ CDE＝∠ BDE， DB＝DC，故 DG是 BC的中垂线，

所以 BG＝ 3.

2

设 DE的中点为 O，连结 BO，则∠ BOG＝60°.从而∠ ABE＝∠ BCE＝∠ CBE＝30°，

所以 CF⊥ BF，

y 5 5sin t

即 C1： x2＋ y2－ 8x－ 10y＋16＝ 0.

将 x cos , 代入 x2＋ y2－ 8x－ 10y＋ 16＝0 得 ρ 2－ 8ρ cos θ－ 10ρ sin θ ＋ 16＝0.

y sin

所以 C1 的极坐标方程为

ρ 2 －8ρ cos θ － 10ρsin θ ＋16＝ 0.

(2) C2 的普通方程为 x2＋ y2－ 2y＝ 0.

解： (1) 当 a＝－ 2 时，不等式 f ( x) ＜ g( x) 化为 |2 x－ 1| ＋ |2 x－ 2| － x－ 3＜ 0.

设函数 y＝|2 x－ 1| ＋ |2 x－ 2| －x－ 3，

9

所以原不等式的解集是 { x|0 ＜x＜ 2} ．

不等式 f ( x) ≤ g( x) 化为 1＋ a≤ x＋ 3.

故 a ≥ a－ 2，即 a≤ 4 .

10