八下数学知识点总结

第十六章 分式

16.1 分式

1. 分式：如果A、B表示两个整式，并且分母中含有字母，那么式子8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png叫做分式。

2. 分式有意义的条件：分母不为零。

3. 分式值为零的条件：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png分子为零 6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png分母不为零

4. 分数的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个非零的整式，分式的值不变。

word/media/image2.gif

用式子表示为： （6b0699d4353e6e9daea7d95bb95c2559.png）

5. 最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。

约分化简方法：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png分子分母同时分解因式 6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png约去公因式

6. 通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

通分方法：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png把各个分式的分母进行因式分解 6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png找出最简公分母 d05806a91d1fe4875a3b01149d08d6b3.png用分式的性质把各个分式化为同分母分式

找最简公分母的方法：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png取各分式分母中系数（系数都取正数）的最小公倍数 6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png各分式分母中所有字母或因式都要取到 d05806a91d1fe4875a3b01149d08d6b3.png相同字母或因式取指数最大的 289b460b6f36c7bbc07754bd0bc0403b.png所得的系数的最小公倍数与各字母或因式的最高次幂的积，为最简公分母。

16.2 分式的运算

1. 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的乘积作为积的分子，分母的乘积作为分母。

表达式：6576de3714983db82426fee5a7a7316b.png

分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。

2. 分式除法法则：分式除以分式，等于被除式乘以除式的倒式，再将所得结果约分。

表达式：7b93a8d9bbb093b4fb409f4921031c09.png

3. 乘除与乘方的混合运算顺序：先做乘方，再做乘除。

4. 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。

表达式：同分母加减法则:fa8b2cf40457f9e109ff3f0c361e74f1.png

异分母加减法则:8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png

5. 负整数指数幂：1fb28718a4a8f37c83c0940a6ee258be.png=639122303200987d2abf3a8fcf86d58c.png（a≠0，n是正整数）

6. 整数指数幂性质：同正整数指数幂运算性质

（1）同底数的幂的乘法：4f7e1663c63699bc492d6ecfe32c53fe.png；

（2）幂的乘方：4c992ff56455ae3029d5e5c4b8ed5fa2.png;

（3）积的乘方：50abf7bb17eadcc6acf86481dc2e7f05.png；

（4）同底数的幂的除法：1c9ca556e4fb447e34e54e9add2a9b19.png( a≠0)；

（5）商的乘方：f55205c692e008adc70d12c3d41e88bc.png；(b≠0)

7. 科学计数法：将一个数字表示成 （a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|<10，n表示整数，这种记数方法叫科学记数法。

16.3 分式方程

1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。

2. 解分式方程：

a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png实质：将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png步骤：(1) 能化简的先化简 (2) 方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程 (3) 解整式方程 (4) 验根（原因是：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根）。

3. 增根：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png其值应使最简公分母为0 6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png其值应是去分母后所的整式方程的根。

4. 列方程应用题的步骤：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png审 6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png设 d05806a91d1fe4875a3b01149d08d6b3.png列 289b460b6f36c7bbc07754bd0bc0403b.png解 809d4c472124c491478f6577f76f193a.png答

5. 应用题基本类型：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png行程问题：路程=速度×时间

顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水

6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png工程问题 基本公式：工作量=工时×工效

第17章 反比例函数

17.1反比例函数

1. 反比例函数：一般地，函数y = e2be3bd7e8b1c90aac67441b70772817.png （k是常数，k3a48711e9401be3b05ee17167e850740.png0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成a96f52718d87f61b2e2edd325b6f1081.png的形式。自变量x的取值范围是x3a48711e9401be3b05ee17167e850740.png0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2. 反比例函数图象及其性质：反比例函数的图像是双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点

word/media/image19_1.png

3. |k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点，向两坐标轴所作的x轴与y轴

围成的矩形的面积。如图：S四边形OAPB = |k|

第十八章 勾股定理

18.1 勾股定理

1. 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边边长为c，那么a2＋b2=c2。

2. 定理：经过证明被确认正确的命题。

3. 勾股定理的证明方法：

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中word/media/image27.gif，所以word/media/image28.gif。
　　　　　　　　　　　　　　 word/media/image29.gif

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中 word/media/image30.gif，所以word/media/image31.gif。
　　　　　　　　　　　　　 　word/media/image32.gif

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
　　　　　　　　　word/media/image33.gif　　　word/media/image34.gif
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：word/media/image35.gif.

方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
　　　　　　　　　　　　　　 word/media/image36.gif
word/media/image37.gif，所以word/media/image35.gif。

18.2 勾股定理的逆定理

1. 勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 原命题、逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。如果把其中的一个叫原命题，那么另一个就是它的逆命题。

第十九章 四边形

19.1 平行四边形

1. 平行四边形： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2. 平行四边形的性质：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png平行四边形的对边相等；6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png平行四边形的对角相等；

d05806a91d1fe4875a3b01149d08d6b3.png平行四边形的对角线互相平分。

（归纳：看性质从边、角、对角线三方面来看）

3. 平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（定义）

　　②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

　　③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

　　④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

　　⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4. 三角形中位线性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

19.2 特殊的平行四边形

1. 矩形：有一个角是直角的平行四边形。

2. 矩形的性质：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png矩形的四个角都是直角；6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png矩形的对角线互相平分。

3. 直角三角形性质：

a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么30°角所对的直角边是斜边的一半。

6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4. 矩形的判定：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png有一个角是直角的平行四边形是矩形。（定义）

6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png对角线相等的平行四边形是矩形。
　　 d05806a91d1fe4875a3b01149d08d6b3.png有三个角是直角的四边形是矩形。

5. 菱形：有一组邻边相等的平行四边形。S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）

6. 菱形的性质：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png菱形的四边都相等；

6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

7. 菱形的判定：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png一组邻边相等的平行四边形是菱形。（定义）

6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
　　 d05806a91d1fe4875a3b01149d08d6b3.png四条边相等的四边形是菱形。

8. 正方形：四条边相等，四个角相等。

9. 正方形的性质：正方形既是矩形，又是菱形。所以它具有矩形的性质，又具有菱形 的性质。

10. 正方形的判定：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png对角线相等的菱形是正方形。

　　 6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png有一个角为直角的菱形是正方形。

　 　d05806a91d1fe4875a3b01149d08d6b3.png对角线互相垂直的矩形是正方形。

　　289b460b6f36c7bbc07754bd0bc0403b.png一组邻边相等的矩形是正方形。

　　809d4c472124c491478f6577f76f193a.png一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

　　 7ee8981337c3dc4681264fe96f640f6e.png对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

　 42fb9a54c1a8ac96bae2f68b78868f75.png对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。

　253af5ee188c1d48a05604b5ac5edbde.png一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

19.3 梯形

1. 梯形： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2. 等腰梯形：两腰相等的梯形。

等腰梯形的性质：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png等腰梯形同一底边上的两个角相等；

6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png等腰梯形两条对角线相等。

等腰梯形的判定：同一底边上的两个角的梯形是等腰梯形。

3. 直角梯形：有一个角是直角的梯形。

4. 解梯形问题常用的辅助线：

word/media/image38.gif

19.4 重心

1. 重心：简单说就是物体的平衡点。

2. 线段的重心：线段的中点。

3. 平行四边形的重心：对角线的交点。

4. 三角形的重心：三条中线的交点。

三角形重心的性质：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png三角形的重心把三角形的中线分成1:2。

如图G为重心，则GD：AG = GE：BG = 1:2

6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png重心和三角形顶点的连线把三角形分成面积相等的三个三角形（各为总面积的7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png）。

如图G为重心，则2675704b48049ea15e8baa4c17604630.png

word/media/image41.gif

5. 黄金矩形：宽和长的比是699ef53401487eb76b50fdc0a58df35b.png（约为0.618）的矩形。

6. 中点四边形：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形。

中点四边形性质：a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png中点四边形的形状始终是平行四边形。

6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png中点四边形的面积为原四边形面积的一半。

第二十章 数据的分析

20.1 数据的代表

1. 加权平均数：若n个数588d2a74f93d53d5d5b977c02c69f486.png的权分别是f13d788efda359046184ad57fd528cae.png，

则ebf88f673758e5aa22af80bc77fbfb0f.png叫做这ｎ个数的加权平均数。

2．中位数：将一组数据按照从大到小（或者从小到大）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则处于中间位置的两个数的平均数就是这组数据的中位数。

3．众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。