2018年北京市中考数学考试(含答案解析)

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2018年北京市中考数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．下列几何体中，是圆柱的为

A． B． C． D．

2．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

A． B． C． D．

3．方程组的解为

A． B． C． D．

4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为，则FAST的反射面积总面积约为

A． B． C． D．

5．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为

A． B． C． D．

6．如果，那么代数式的值为

A． B． C． D．

7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为

A． B． C． D．

8．下图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：

①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（5，）；

②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（10，）；

③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（，）；

④当表示天安门的点的坐标为（，），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（，）．

上述结论中，所有正确结论的序号是

A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．下图所示的网格是正方形网格， ________．（填“”，“”或“”）

10．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______．

11．用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是_____， ______， _______．

12．如图，点，，，在上，，，，则________．

13．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．

14．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：

早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．

15．某公园划船项目收费标准如下：

某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为________元．

16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线及直线外一点．

求作：，使得．

作法：如图，

①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；

②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；

③作直线．

所以直线就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：∵_______， _______，

∴（____________）（填推理的依据）．

18．计算：．

19．解不等式组：．

20．关于的一元二次方程．

（1）当时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．

21．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求的长．

22．如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．

（1）求证：；

（2）连接，，若，，，求的长．

23．在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点（4，1），直线与图象交于点，与轴交于点．

（1）求的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象在点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为．

①当时，直接写出区域内的整点个数；

②若区域内恰有4个整点，结合函数图象，求的取值范围．

24．如图，是与弦所围成的图形的内部的一定点，是弦上一动点，连接并延长交于点，连接．已知，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值；

（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，），（，），并画出函数，的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为____．

25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）；

．A课程成绩在这一组是：

70 71 71 71 76 76 77 78 79 79 79

．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中的值；

（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；

（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过分的人数．

26．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．

（1）求点的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

27．如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：；

（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明．

28．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作（，）．

已知点（，6），（，），（6，）．

（1）求（点，）；

（2）记函数（，）的图象为图形，若（，），直接写出的取值范围；

（3）的圆心为（，0），半径为1．若（，），直接写出的取值范围．

2018年北京市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．下列几何体中，是圆柱的为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】A选项为圆柱，B选项为圆锥，C选项为四棱柱，D选项为四棱锥．

【考点】立体图形的认识

2．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，∴，故A选项错误；

数轴上表示的点在表示的点的左侧，故B选项正确；

∵，，∴，故Ｃ选项错误；

∵，，，∴，故D选项错误．

【考点】实数与数轴

3．方程组的解为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，故选D．

【考点】二元一次方程组的解

4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为，则FAST的反射面积总面积约为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】（），故选C．

【考点】科学记数法

5．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，正多边形的边数为，其内角和为．

【考点】正多边形，多边形的内外角和．

6．如果，那么代数式的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】原式，∵，∴原式．

【考点】分式化简求值，整体代入．

7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设对称轴为，

由（，）和（，）可知，，

由（，）和（，）可知，，

∴，故选B．

【考点】抛物线的对称轴．

8．下图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：

①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（5，）；

②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（10，）；

③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（，）；

④当表示天安门的点的坐标为（，），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（，）．

上述结论中，所有正确结论的序号是

A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④

【答案】D

【解析】显然①②正确；

③是在②的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故③正确；

④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（，）时，表示左安门的点的坐标为（，）”的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故④正确．

【考点】平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．下图所示的网格是正方形网格， ________．（填“”，“”或“”）

【答案】

【解析】如下图所示，

是等腰直角三角形，∴，∴．

另：此题也可直接测量得到结果．

【考点】等腰直角三角形

10．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【解析】被开方数为非负数，故．

【考点】二次根式有意义的条件．

11．用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是_____， ______， _______．

【答案】答案不唯一，满足，即可，例如：，，

【解析】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

【考点】不等式的基本性质

12．如图，点，，，在上，，，，则________．

【答案】

【解析】∵，∴，∴，

∵，∴．

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理

13．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．

【答案】

【解析】∵四边形是矩形，∴，，，

在中，，∴，

∵是中点，∴，

∵，∴，∴．

【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定

14．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：

早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．

【答案】C

【解析】样本容量相同，C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小，所以其频率也最小，故选C．

【考点】用频率估计概率

15．某公园划船项目收费标准如下：

某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为________元．

【答案】

【解析】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为（元）

【考点】统筹规划

16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．

【答案】

【解析】从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从下图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．

【考点】函数图象获取信息

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线及直线外一点．

求作：，使得．

作法：如图，

①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；

②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；

③作直线．

所以直线就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：∵_______， _______，

∴（____________）（填推理的依据）．

【解析】（1）尺规作图如下图所示：

（2），，三角形中位线平行于三角形的第三边．

【考点】尺规作图，三角形中位线定理

18．计算：．

【解析】解：原式．

【考点】实数的运算

19．解不等式组：．

【解析】解：由①得，，

由②得，，

∴不等式的解集为．

【考点】一元一次不等式组的解法

20．关于的一元二次方程．

（1）当时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．

【解析】（1）解：由题意：．

∵，

∴原方程有两个不相等的实数根．

（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：

解：令，，则原方程为，

解得：．

【考点】一元二次方程

21．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求的长．

【解析】（1）证明：∵

∴

∵平分

∴

∴

∴

又∵

∴

又∵

∴四边形是平行四边形

又∵

∴是菱形

（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点．

∴．，，

∴．

在中，．

∴．

∵，

∴．

在中，．为中点．

∴．

【考点】菱形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边中线

22．如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．

（1）求证：；

（2）连接，，若，，，求的长．

【解析】（1）证明：∵、与相切于、．

∴，平分．

在等腰中，，平分．

∴于，即．

（2）解：连接、．

∵

∴

∴

同理：

∴．

在等腰中，．

∴．

∵与相切于．

∴．

∴．

在中，，

∴．

【考点】切线的性质，切线长定理，锐角三角函数

23．在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点（4，1），直线与图象交于点，与轴交于点．

（1）求的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象在点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为．

①当时，直接写出区域内的整点个数；

②若区域内恰有4个整点，结合函数图象，求的取值范围．

【解析】（1）解：∵点（4，1）在（）的图象上．

∴，

∴．

（2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．

②．当直线过（4，0）时：，解得

．当直线过（5，0）时：，解得

．当直线过（1，2）时：，解得

．当直线过（1，3）时：，解得

∴综上所述：或．

【考点】一次函数与反比例函数综合，区域内整点个数问题

24．如图，是与弦所围成的图形的内部的一定点，是弦上一动点，连接并延长交于点，连接．已知，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值；

（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，），（，），并画出函数，的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为____．

【解析】（1）

（2）如下图所示：

（3）或或．

如下图所示，个函数图象的交点的横坐标即为所求．

【考点】动点产生的函数图象问题，函数探究

25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）；

．A课程成绩在这一组是：

70 71 71 71 76 76 77 78 79 79 79

．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中的值；

（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；

（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过分的人数．

【解析】（1）

（2）B．该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．

（3）解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过的人数为36人．

∴（人）

答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过的人数为180人．

【考点】频数分布直方图，中位数，用样本估计总体

26．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．

（1）求点的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

【解析】（1）解：∵直线与轴、轴交于、．

∴（，0），（0，4）

∴（5，4）

（2）解：抛物线过（，）

∴．

∴

∴对称轴为．

（3）解：①当抛物线过点时．

，解得．

②当抛物线过点时．

，解得．

③当抛物线顶点在上时．

此时顶点为（1，4）

∴，解得．

∴综上所述或或．

【考点】一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题

27．如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：；

（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明．

【解析】（1）证明：连接．

∵，关于对称．

∴．．

在和中．

∴

∴．

∵四边形是正方形

∴．

∴

∴

∴

∵．

∴

在和．

∴≌

∴．

（2）．

证明：在上取点使得，连接．

∵四这形是正方形．

∴．．

∵≌

∴

同理：

∴

∵

∴

∴

∴

∴．

∵

∴

∵

∴

∴

∵．

∴

在和中

∴≌

∴

在中，，．

∴

∴．

【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定

28．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作（，）．

已知点（，6），（，），（6，）．

（1）求（点，）；

（2）记函数（，）的图象为图形，若（，），直接写出的取值范围；

（3）的圆心为（，0），半径为1．若（，），直接写出的取值范围．

【解析】（1）如下图所示：

∵（，），（6，）

∴（0，）

∴（，）

（2）或

（3）或或．

【考点】点到直线的距离，圆的切线