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    2018黔东南州中考数学试题及解析-

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    2021黔东南州中考数学试题及解析






    2021 年贵州省黔东南州中考数学试卷








    一、选择题〔本大题共
    10 小题，每题


    4 分，共 40 分〕
    1．| ﹣2| 的值是〔


    〕


    A．﹣ 2 B．2



    C．﹣ D．





    2．如图，∠ ACD=120°，∠ B=20°，那么A 的度数是〔


    〕
    ∠
    A．120° B．90°

    C．100° D．30°
    3．以下运算结果正确的选项是〔 〕 A．3a﹣a=2 B．〔 a﹣ b〕 2=a2﹣b2

    C．6ab2÷〔﹣ 2ab〕 =﹣ 3b D．a〔a+b〕 =a2+b


    4．以以下图，所给的三视图表示的几何体是〔 〕
    A．圆锥


    B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱
    5．如图，⊙ O的直径 AB垂直于弦 CD，垂足为 E，∠ A=15°，半径为 2，那么弦 CD 的长为〔
    〕
    A．2

    B．﹣1 C． D．4
    2
    x6．一元二次方程




    ﹣2x﹣1=0 的两根分别为 x ， x ，那么 +的值为〔

    1
    2
    〕

    A．2


    B．﹣1 C． D．﹣ 2



    7．分式方程 =1﹣的根为〔 A．﹣ 1 或 3 B．﹣1 C．3

    〕
    D．1 或﹣ 3






    8．如图，正方形 ABCD中， E 为 AB中点， FE⊥ AB，AF=2AE， FC交 BDO，那么∠
    于

    DOC的度数为〔


    〕
    A．60°


    B．° C．75°
    D．54°
    9．如图，抛物线 y=ax2+bx+c〔a≠0〕的对称轴为直线 x=﹣1，给出以下结论： ① b2=4ac；② abc＞0；③ a＞c；④ 4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有〔
    〕

    2021黔东南州中考数学试题及解析


    A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

    10．我国古代数学的 多 新和 展都位居世界前列，如南宋数学家 〔


    13 世 〕所着的? 解九章算 ?一 中，用如 的三角形解 二 和〔

    a+b〕
    n

    的张开式的各 系数，此三角形称 “ 三角〞．
    依照“ 三角〞 算〔




    a+b〕20 的张开式中第三 的系数 〔 C．191 D． 190
    〕
    A．2021 B．2021
    二、填空 〔本大 共


    6 小 ，每小 4 分，共 24 分〕
    11．在平面直角坐 系中有一点 向下平移 2 个 位， 平移后点


    A〔 2，1〕，将点 A 先向右平移 3 个 位，再 A 的坐
    ．
    FB=CE， AC∥DF， 你增加一个
    12．如 ，点 B、 F、 C、 E 在一条直 上， 合适的条件


    使得△ ABC≌△ DEF．
    13．在 数范 内因式分解：

    x5 4x= ．
    14．黔 南下司“ 每谷〞以盛 “ 莓〞而吸引来自周围八方的游客， 某果 今年的 莓获取了丰收， 了认识自家 莓的 量， 随机从种植园中抽取合适 莓 行 ， 在屡次重复的抽取 中“ 莓〞出 的 率逐

    定在， 果 今年的 莓 量

    800kg，由此估 果 今年的“
    莓〞 量 是


    kg．
    y1= 和 y2=的 象上，假设点
    A 是 段
    15．如 ，点 A，B 分 在反比率函数 OB的中点， k 的
    ．
    16．把多 大小不相同的 30°直角三角板如 所示， 放在平面直角坐 系中，

    第一 三角板 AOB的一条直角 与 y 重合且点 A 的坐 〔0，1〕，∠ABO=30°；

    第二 三角板的斜 BB1 与第一 三角板的斜










    AB 垂直且交 y 于点 B1；第三







    三角板的斜




    B1B2 与第二 三角板的斜 BB1 垂直且交 x 于点 B2；第四 三

    角板的斜 下去， 点
    B2B3 与第三 三角板的斜

    B2021 的坐
    ．
    B1B2 C 垂直且交 y 于点 B3；⋯按此 律


    2021黔东南州中考数学试题及解析


    三、解答题〔本大题共 8 小题，共 86 分〕

    17．计算：﹣ 1 2+| ﹣|+ 〔π﹣〕 0﹣tan60 ° +．

    ﹣18．先化简，再求值： 〔x﹣1﹣〕÷，其中 x=+1．


    19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
    20．某体育老师测量了自己任教的甲、 乙两班男生的身高， 并制作了以下不完满

    的统计图表．
    身高分组 152 ≤ x＜ 155 155 ≤ x＜ 158 158 ≤ x＜ 161 161 ≤ x＜ 164 164 ≤ x＜ 167 167 ≤ x＜ 170




    频数 3 7 m 13 9 3 1


    频率
    n
    170 ≤ x＜ 173
    依照以上统计图表完成以下问题： 〔 1〕统计表中 m=


    ，n= ，并将频数分布直方图补充完满；
    范围内；
    〔 2〕在此次测量中两班男生身高的中位数在：


    〔 3〕在身高≥ 167cm的 4 人中，甲、乙两班各有 2 人，现从 4 人中随机选举 2

    人补充到学校国旗护卫队中， 请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．


    21．如图，直线

    PT 与⊙ O相切于点 T，直线 PO与⊙ O订交于 A， B 两点．



    （ 1〕求证： PT2=PA?PB；
    （ 2〕假设 PT=TB=，求图中阴影局部的面积．
    22．如图，某校授课楼 AB前面有一斜坡，斜坡

    CD的长为 12 米，坡角 α 为
    60°，依照有关部门的规定，∠α≤ 39°时，才能防范滑坡危险，学校为了除掉

    2021黔东南州中考数学试题及解析


    安全隐患，决定对斜坡 CD进行改造，在保持坡脚 C 不动的情况下，学校最少要把坡顶 D 向后水平搬动多少米才能保证授课楼的安全〔结果取整数〕〔参照数据： sin39 °≈， cos39°≈， tan39 °≈，≈，≈，≈〕


    23．某校为了在九月份迎接高一年级的再生， 决定将学生公寓楼重新装修， 现学

    校招用了甲、乙两个工程队．假设两队合作， 8 天就可以完成该项工程；假设由甲队

    先单独做 3 天后，节余局部由乙队单独做需要

    18 天才能完成．

    （ 1〕求甲、乙两队工作效率分别是多少
    （ 2〕甲队每天薪水 3000 元，乙队每天薪水 1400 元，学校要求在 12 天内将学生公寓楼装修完成， 假设完成该工程甲队工作 m天，乙队工作 n 天，修业校需支付的总薪水 w〔元〕与甲队工作天数 m〔天〕的函数关系式，并求出 m的取值范围及

    w的最小值．

    24．如图，⊙ M的圆心 M〔﹣ 1， 2〕，⊙ M经过坐标原点 O，与 y 轴交于点 A，经过点 A 的一条直线 l 解析式为： y=﹣x+4 与 x 轴交于点 B，以 M为极点的抛物线经过 x 轴上点 D〔2，0〕和点 C〔﹣ 4， 0〕．



    （ 1〕求抛物线的解析式；
    （ 2〕求证：直线 l 是⊙ M的切线；
    （ 3〕点 P 为抛物线上一动点，且 PE与直线 l 垂直，垂足为 E， PF∥y 轴，交直线 l 于点 F，可否存在这样的点 P，使△ PEF的面积最小假设存在， 央求出此时点 P

    的坐标及△ PEF面积的最小值；假设不存在，请说明原由．


    2021 年贵州省黔东南州中考数学试卷


    参照答案与试题解析


    一、选择题〔本大题共 10 小题，每题 1．| ﹣2| 的值是〔 A．﹣ 2 B．2 C．﹣

    4 分，共 40 分〕


    〕 D．
    【考点】 15：绝对值．

    【解析】 依照绝对值的性质作答．

    2021黔东南州中考数学试题及解析


    【解答】 解：∵﹣ 2＜ 0，


    ∴ | ﹣2|=2． 应选 B．
    2．如图，∠ ACD=120°，∠ B=20°，那么∠ A 的度数是〔 〕
    A．120° B．90°
    C．100° D．30°
    【考点】 K8：三角形的外角性质．
    【解析】 依照三角形的外角的性质计算即可．
    【解答】 解：∠ A=∠ACD﹣∠ B
    =120°﹣ 20°
    =100°，
    应选： C．
    3．以下运算结果正确的选项是〔 〕
    A．3a﹣a=2 B．〔 a﹣ b〕 2=a2﹣b2
    C．6ab2÷〔﹣ 2ab〕 =﹣ 3b D．a〔a+b〕 =a2+b
    【考点】 4I ：整式的混杂运算．
    【解析】 各项计算获取结果，即可作出判断．
    【解答】 解： A、原式 =2a，不吻合题意；
    B、原式 =a2﹣2ab+b2，不吻合题意；
    C、原式 =﹣3b，吻合题意；
    D、原式 =a2+ab，不吻合题意，
    应选 C
    4．以以下图，所给的三视图表示的几何体是〔 A．圆锥
    B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱【考点】 U3：由三视图判断几何体．
    〕
























    2021黔东南州中考数学试题及解析


    【解析】由左视图和俯视图可得此几何体为柱体， 依照主视图是三角形可判断出此几何体为正三棱柱．

    【解答】 解：∵左视图和俯视图都是长方形，

    ∴此几何体为柱体，

    ∵主视图是一个三角形，

    ∴此几何体为正三棱柱．

    应选： D．


    5．如图，⊙ O的直径 AB垂直于弦 CD，垂足为 E，∠ A=15°，半径为 2，那么弦 CD

    的长为〔


    〕
    A．2


    B．﹣1 C． D．4
    【考点】 M5：圆周角定理； KQ：勾股定理； M2：垂径定理．
    【解析】 依照垂径定理获取 CE=DE，∠ CEO=90°，依照圆周角定理获取∠ COE=30°，依照直角三角形的性质获取 CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论．【解答】 解：∵⊙ O的直径 AB垂直于弦 CD，

    ∴ CE=DE，∠ CEO=90°， ∵∠ A=15°，

    ∴∠ COE=30°， ∵ OC=2，



    ∴ CE=OC=1， ∴ CD=2OE=2， 应选 A．




    6．一元二次方程

    x2﹣2x﹣1=0 的两根分别为 x1， x2 ，那么 +的值为〔


    〕

    A．2


    B．﹣1 C． D．﹣ 2




    【考点】 AB：根与系数的关系．
    【解析】依照根与系数的关系获取

    x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分获取 +=，尔后利
    用整体代入的方法计算

    2021黔东南州中考数学试题及解析


    【解答】 解：依照题意得 x1+x2=2，x1x2=﹣1，

    所以 +===﹣2．

    应选 D．




    7．分式方程 =1﹣的根为〔


    〕
    D．1 或﹣ 3

    A．﹣ 1 或 3 B．﹣1 C．3

    【考点】 B3：解分式方程．

    【解析】分式方程去分母转变成整式方程， 求出整式方程的解获取 x 的值，经检验即可获取分式方程的解．

    【解答】 解：去分母得： 3=x2+x﹣ 3x，

    解得： x=﹣1 或 x=3，

    经检验 x=﹣1 是增根，分式方程的根为

    x=3，
    应选 C


    8．如图，正方形 ABCD中， E 为 AB中点， FE⊥ AB，AF=2AE， FC交 BD于 O，那么∠


    DOC的度数为〔 〕
    A．60°


    B．° C．75°
    D．54°
    【考点】 LE：正方形的性质．
    【解析】如图，连接 DF、BF．如图，连接 DF、BF．第一证明∠ FDB=∠FAB=30°，再证明△ FAD≌△ FBC，推出∠ ADF=∠FCB=15°，由此即可解决问题．【解答】 解：如图，连接 DF、 BF．


    ∵ FE⊥AB，AE=EB， ∴ FA=FB，

    ∵ AF=2AE，

    ∴ AF=AB=FB，

    ∴△ AFB是等边三角形，

    ∵ AF=AD=AB，

    2021黔东南州中考数学试题及解析


    ∴点 A 是△ DBF的外接圆的圆心，

    ∴∠ FDB=∠FAB=30°，

    ∵四边形 ABCD是正方形，

    ∴ AD=BC，∠ DAB=∠ABC=90°，∠

    ADB=∠DBC=45°， ∴∠ FAD=∠FBC，
    ∴△ FAD≌△ FBC， ∴∠ ADF=∠FCB=15°，

    ∴∠ DOC=∠OBC+∠OCB=60°．

    应选 A．


    9．如图，抛物线 y=ax2+bx+c〔a≠0〕的对称轴为直线 x=﹣1，给出以下结论：


    ① b2=4ac；② abc＞0；③ a＞c；④ 4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有〔 〕
    A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

    【考点】 H4：二次函数图象与系数的关系．

    【解析】 ①利用抛物线与 x 轴有 2 个交点和鉴识式的意义对①进行判断；

    ②由抛物线张口方向获取 a＞0，由抛物线对称轴地址确定

    b＞0，由抛物线与 y
    轴交点地址获取 c＞ 0，那么可作判断；

    ③利用 x=﹣1 时 a﹣ b+c＜0，尔后把 b=2a 代入可判断；

    ④利用抛物线的对称性获取 x=﹣2 和 x=0 时的函数值相等，即 x=﹣ 2 时， y＞0，

    那么可进行判断．

    【解答】 解：①∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，

    ∴△ =b2﹣4ac＞0，


    所以①错误；

    ②∵抛物线张口向上，

    ∴ a＞ 0，

    ∵抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，


    ∴ a、 b 同号， ∴ b＞ 0，

    2021黔东南州中考数学试题及解析


    ∵抛物线与 y 轴交点在 x 轴上方，




    ∴ c＞ 0， ∴ abc＞0， 所以②正确；
    ③∵ x=﹣ 1 时， y＜0， 即 a﹣b+c＜0，

    ∵对称轴为直线 x=﹣1，∴﹣ =﹣1，

    ∴ b=2a，

    ∴ a﹣ 2a+c＜ 0，即 a＞c，

    所以③正确；

    ④∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣1，

    ∴ x=﹣2 和 x=0 时的函数值相等，即 x=﹣2 时， y＞0，

    ∴ 4a﹣2b+c＞0，

    所以④正确．

    所以此题正确的有：②③④，三个，应选 C．


    10．我国古代数学的好多创新和张开都位居世界前列，如南宋数学家杨辉〔约

    13 世纪〕所着的?详解九章算术?一书中，用如图的三角形讲解二项和〔

    a+b〕
    n

    的张开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角〞．
    依照“杨辉三角〞请计算〔 a+b〕20 的张开式中第三项的系数为〔

    〕
    A．2021


    B．2021 C．191 D． 190
    【考点】 4C：完满平方公式．
    【解析】 依照图形中的规律即可求出〔 a+b〕20 的张开式中第三项的系数；

    【解答】 解：找规律发现〔 a+b〕3 的第三项系数为 3=1+2；


    （ a+b〕4 的第三项系数为 6=1+2+3； （ a+b〕5 的第三项系数为 10=1+2+3+4；

    2021黔东南州中考数学试题及解析


    不 〔 a+b〕n 的第三 系数



    1+2+3+⋯+〔n 2〕+〔n 1〕，
    ∴〔 a+b〕20 第三 系数 1+2+3+⋯+20=190，
    二、填空 〔本大 共

    6 小 ，每小 4 分，共 24 分〕
    11．在平面直角坐 系中有一点 A〔 2，1〕，将点 A 先向右平移 3 个 位，再向下平移 2 个 位， 平移后点 A 的坐 〔1， 1〕 ．【考点】 Q3：坐 与 形 化 平移．


    【解析】 依照坐 平移 律即可求出答案．
    【解答】解：由 意可知： A 的横坐 +3， 坐 2，即可求出平移后的坐 ，

    ∴平移后 A 的坐 〔 1， 1〕

    故答案 ：〔 1， 1〕


    12．如 ，点 B、 F、 C、 E 在一条直 上，

    FB=CE， AC∥DF， 你增加一个
    合适的条件


    ∠ A=∠D 使得△ ABC≌△ DEF．
    【考点】 KB：全等三角形的判断．

    【解析】 依照全等三角形的判判定理填空．

    【解答】 解：增加∠ A=∠ D．原由以下：

    ∵ FB=CE， ∴ BC=EF．

    又∵ AC∥ DF，

    ∴∠ ACB=∠DFE．

    ∴在△ ABC与△ DEF中，，

    ∴△ ABC≌△ DEF〔AAS〕．

    故答案是：∠ A=∠D．


    13．在 数范 内因式分解： x5 4x= x〔x2+3〕〔x+〕〔x 〕 ．

    2021黔东南州中考数学试题及解析


    【考点】 58：实数范围内分解因式．

    【解析】先提取公因式 x，再把 4 写成 22 的形式，尔后利用平方差公式连续分解

    因式．

    【解答】 解：原式 =x〔x4﹣ 22 〕，

    =x〔x2+2〕〔x2﹣ 2〕

    =x〔x2+2〕〔x+〕〔x﹣〕，


    故答案是： x〔x2+3〕〔x+〕〔x﹣〕．
    14．黔东南下司“蓝每谷〞以盛产“优秀蓝莓〞而吸引来自周围八方的游客， 某果农今年的蓝莓获取了丰收， 为了认识自家蓝莓的质量， 随机从种植园中抽取合适蓝莓进行检测，发现在屡次重复的抽取检测中“优秀蓝莓〞出现的频率逐渐稳

    定在，该果农今年的蓝莓总产量约为 800kg，由此估计该果农今年的“优秀蓝莓〞产量约是 560 kg．

    【考点】 X8：利用频率估计概率．

    【解析】 依照题意可以估计该果农今年的“优秀蓝莓〞产量．

    【解答】 解：由题意可得，

    该果农今年的“优秀蓝莓〞产量约是：

    800×=560kg，
    故答案为： 560．


    15．如图，点 A，B 分别在反比率函数 y1=﹣和 y2=的图象上，假设点 A 是线段OB的中点，那么 k 的值为 ﹣8 ．


    【考点】 G6：反比率函数图象上点的坐标特色．

    【解析】设 A〔a，b〕，那么 B〔2a，2b〕，将点 A、B 分别代入所在的双曲线方程进

    行解答．

    【解答】 解：设 A〔 a， b〕，那么 B〔2a， 2b〕，

    ∵点 A 在反比率函数 y1=﹣的图象上，

    ∴ ab=﹣2；

    ∵ B 点在反比率函数 y2=的图象上，

    2021黔东南州中考数学试题及解析





    ∴ k=2a?2b=4ab= 8． 故答案是： 8．
    16．把多 大小不相同的 30°直角三角板如 所示， 放在平面直角坐 系中，

    第一 三角板 AOB的一条直角 与 y 重合且点 A 的坐 〔0，1〕，∠ABO=30°；第二 三角板的斜 BB1 与第一 三角板的斜 AB 垂直且交 y 于点 B1；第三 三角板的斜 B1B2 与第二 三角板的斜 BB1 垂直且交 x 于点 B2；第四 三角板的斜 B2B3 与第三 三角板的斜 B1B2 C 垂直且交 y 于点 B3；⋯按此 律 下去， 点 B2021 的坐 〔 0， 〕 ．


    【考点】 D2： 律型：点的坐 ．

    【解析】依照 意和 象可以 目中的 化 律， 进而可以求得点 B2021 的坐 ．


    【解答】 解：由 意可得，

    OB=OA?tan60°=1× =，

    OB1=OB?tan60°==〔〕 2=3，


    OB2=OB1?tan60 °=〔〕 3， ⋯
    ∵ 2021÷4=506⋯1，

    ∴点 B2021 的坐 〔 0， 〕，

    故答案 ：〔 0， 〕．


    三、解答 〔本大 共

    8 小 ，共 86 分〕 |+ 〔π 〕 0
    tan60 ° +．
    17． 算： 1﹣ 2+|
    【考点】 2C： 数的运算； 6E：零指数 ； 6F： 整数指数 ； T5：特别角的三

    角函数 ．

    【解析】原式利用零指数 、 整数指数 法 ，特别角的三角函数 ，以及


    的代数意 化 ， 算即可获取 果．

    【解答】 解：原式 =1+〔〕 +1

    2021黔东南州中考数学试题及解析


    =2
    18．先化简，再求值： 〔x﹣1﹣〕÷，其中 x=+1．

    【考点】 6D：分式的化简求值．

    【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法那么计算，

    同时利用除法
    法那么变形，约分获取最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值．

    【解答】 解：原式 =?=?=x﹣1，

    当 x=+1 时，原式 =．


    19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
    【考点】 CB：解一元一次不等式组； C4：在数轴上表示不等式的解集．

    【解析】先解不等式组中的每一个不等式，再依照大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条不等式表示出来．【解答】 解：由①得：﹣ 2x≥﹣ 2，即 x≤1，

    由②得： 4x﹣2＜5x+5，即 x＞﹣ 7，

    所以﹣ 7＜x≤1．

    在数轴上表示为：


    20．某体育老师测量了自己任教的甲、 乙两班男生的身高， 并制作了以下不完满

    的统计图表．
    身高分组 152 ≤ x＜ 155 155 ≤ x＜ 158 158 ≤ x＜ 161 161 ≤ x＜ 164 164 ≤ x＜ 167 167 ≤ x＜ 170


    频数 3 7 m 13 9 3


    频率
    n

    2021黔东南州中考数学试题及解析


    170 ≤ x＜ 173


    1
    依照以上统计图表完成以下问题：



    （ 1〕统计表中 m= 14 ， n=，并将频数分布直方图补充完满； （ 2〕在此次测量中两班男生身高的中位数在：161≤ x＜ 164 范围内；
    （ 3〕在身高≥ 167cm的 4 人中，甲、乙两班各有 2 人，现从 4 人中随机选举 2 人补充到学校国旗护卫队中， 请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．


    【考点】 X6：列表法与树状图法； V7：频数〔率〕分布表； V8：频数〔率〕分布直方图； W4：中位数．

    【解析】〔1〕设总人数为 x 人，那么有 =，解得 x=50，再依照频率公式求出 m，n．画出直方图即可；



    （ 2〕依照中位数的定义即可判断； （ 3〕画出树状图即可解决问题；
    【解答】 解：〔1〕设总人数为 x 人，那么有 =，解得 x=50，


    ∴ m=50× =14，n==．
    故答案为 14，．频数分布直方图：


    （ 2〕观察表格可知中位数在 161 ≤ x＜ 164 内，



    故答案为 161 ≤ x＜164．
    （ 3〕将甲、乙两班的学生分别记为甲 1、甲 2、乙 1、乙 2 树状图以以下图：
    所以 P〔两学生来自同一所班级〕 ==．


    21．如图，直线

    PT 与⊙ O相切于点 T，直线 PO与⊙ O订交于 A， B 两点．
    （ 1〕求证： PT2=PA?PB；

    2021黔东南州中考数学试题及解析


    〔 2〕假设 PT=TB=，求图中阴影局部的面积．


    【考点】 S9：相似三角形的判断与性质； MC：切线的性质； MO：扇形面积的计算．【解析】〔1〕连接 OT，只要证明△ PTA∽△ PBT，可得 =，由此即可解决问题；

    （ 2〕第一证明△ AOT是等边三角形，依照 S 阴=S 扇形 OAT﹣ S△ AOT计算即可；【解答】〔1〕证明：连接 OT．


    ∵ PT是⊙ O的切线，



    ∴ PT⊥OT， ∴∠ PTO=90°， ∴∠ PTA+∠OTA=90°， ∵ AB是直径， ∴∠ ATB=90°，

    ∴∠ TAB+∠B=90°，

    ∵ OT=OA，

    ∴∠ OAT=∠OTA，

    ∴∠ PTA=∠B，∵∠ P=∠P，

    ∴△ PTA∽△ PBT，




    ∴ =，
    ∴ PT2=PA?PB．
    （ 2〕∵ TP=TB=， ∴∠ P=∠ B=∠PTA，

    ∵∠ TAB=∠P+∠ PTA，

    ∴∠ TAB=2∠ B，

    ∵∠ TAB+∠B=90°，

    ∴∠ TAB=60°，∠ B=30°，


    ∴ tanB==， ∴ AT=1，

    2021黔东南州中考数学试题及解析


    ∵ OA=OT，∠ TAO=60°，

    ∴△ AOT是等边三角形，


    ∴ S 阴=S 扇形 OAT﹣ S△ AOT=﹣?12=﹣．
    22．如图，某校授课楼 AB前面有一斜坡，斜坡

    CD的长为 12 米，坡角 α 为
    60°，依照有关部门的规定，∠α≤ 39°时，才能防范滑坡危险，学校为了除掉安全隐患，决定对斜坡 CD进行改造，在保持坡脚 C 不动的情况下，学校最少要把坡顶 D 向后水平搬动多少米才能保证授课楼的安全〔结果取整数〕〔参照数据： si n39°≈， cos39°≈， tan39 °≈，≈，≈，≈〕


    【考点】 T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

    【解析】假设点 D移到 D′的地址时， 恰好∠α =39°， 过点 D作 DE⊥ AC于点 E，

    作 D′E′⊥ AC于点 E′，依照锐角三角函数的定义求出 DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．

    【解答】解：假设点 D移到 D′的地址时，恰好∠α =39°，过点 D 作 DE⊥ AC于点 E，作 D′E′⊥ AC于点 E′，

    ∵ CD=12米，∠ DCE=60°，

    ∴DE=CD?sin60°=12× =6 米， CE=CD?cos60°=12× =6 米． ∵ DE⊥AC，D′E′⊥ AC，DD′∥ CE′，

    ∴四边形 DEE′D′是矩形， ∴DE=D′E′=6 米．

    ∵∠ D′CE′=39°，∴CE′=≈≈，

    ∴EE′=CE′﹣ CE=﹣6=〔米〕．

    答：学校最少要把坡顶 D 向后水平搬动米才能保证授课楼的安全．


    23．某校为了在九月份迎接高一年级的再生， 决定将学生公寓楼重新装修， 现学校招用了甲、乙两个工程队．假设两队合作， 8 天就可以完成该项工程；假设由甲队

    2021黔东南州中考数学试题及解析


    先单独做 3 天后，节余局部由乙队单独做需要

    18 天才能完成．

    （ 1〕求甲、乙两队工作效率分别是多少
    （ 2〕甲队每天薪水 3000 元，乙队每天薪水 1400 元，学校要求在 12 天内将学生公寓楼装修完成， 假设完成该工程甲队工作 m天，乙队工作 n 天，修业校需支付的总薪水 w〔元〕与甲队工作天数 m〔天〕的函数关系式，并求出 m的取值范围及

    w的最小值．

    【考点】 FH：一次函数的应用； B7：分式方程的应用．

    【解析】〔1〕设甲队单独完成需要 x 天，乙队单独完成需要 y 天．列出分式方程

    组即可解决问题；

    〔 2〕设乙先工作 x 天，再与甲合作正好如期完成．那么 +=1，解得 x=6．由此可得

    m的范围，因为乙队每天的花销小于甲队每天的花销，所以让乙先工作 6 天，再与甲合作 6 天正好如期完成，此时花销最小；

    【解答】 解：〔1〕设甲队单独完成需要 x 天，乙队单独完成需要 y 天．

    由题意，解得，

    经检验是分式方程组的解，

    ∴甲、乙两队工作效率分别是和．


    （ 2〕设乙先工作 x 天，再与甲合作正好如期完
    成．那么 +=1，解得 x=6．
    ∴甲工作 6 天，∵甲 12 天完成任务， ∴ 6≤ m≤ 12．∵乙队每天的花销小于

    甲队每天的花销，
    ∴让乙先工作 6 天，再与甲合作 6 天正好如期完成，此时花销最小， ∴ w的最小值为 12×1400+6×3000=34800元．


    24．如图，⊙ M的圆心 M〔﹣ 1， 2〕，⊙ M经过坐标原点 O，与 y 轴交于点 A，经过点 A 的一条直线 l 解析式为： y=﹣x+4 与 x 轴交于点 B，以 M为极点的抛物线经过 x 轴上点 D〔2，0〕和点 C〔﹣ 4， 0〕．

    2021黔东南州中考数学试题及解析




    （ 1〕求抛物线的解析式；
    （ 2〕求证：直线 l 是⊙ M的切线；
    （ 3〕点 P 为抛物线上一动点，且 PE与直线 l 垂直，垂足为 E， PF∥y 轴，交直线 l 于点 F，可否存在这样的点 P，使△ PEF的面积最小假设存在， 央求出此时点 P

    的坐标及△ PEF面积的最小值；假设不存在，请说明原由．


    【考点】 HF：二次函数综合题．

    【解析】〔1〕设抛物线的解析式为 y=a〔 x﹣ 2〕〔x+4〕，将点 M 的坐标代入可求得 a 的值，进而获取抛物线的解析式；

    （ 2〕连接 AM，过点 M作 MG⊥AD，垂足为 G．先求得点 A 和点 B 的坐标，可求得，可获取 AG、ME、OA、OB的长，尔后利用锐角三角函数的定义可证明∠


    MAG=∠ABD，故此可证明 AM⊥ AB；
    （ 3〕〕先证明∠ FPE=∠FBD．那么 PF：PE：EF=：2： 1．那么△ PEF的面积 =PF2 ，设点
    P 的坐标为〔 x，﹣ x2﹣ x+〕，那么 F〔x，﹣ x+4〕．尔后可获取 PF与 x 的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．

    【解答】 解：〔1〕设抛物线的解析式为 y=a〔x﹣2〕〔x+4〕，将点 M 的坐标代入得：﹣ 9a=2，解得： a=﹣．

    ∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣x+．

    〔 2〕连接 AM，过点 M作 MG⊥AD，垂足为 G．


    把 x=0 代入 y=﹣ x+4 得： y=4，

    ∴A〔0，4〕．

    将 y=0 代入得： 0=﹣x+4，解得 x=8，

    ∴B〔8，0〕． ∴ OA=4， OB=8．

    ∵M〔﹣ 1，2〕，A〔0，4〕， ∴ MG=1， AG=2．

    ∴ tan ∠MAG=tan∠ABO=． ∴∠ MAG=∠ABO．

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    ∵∠ OAB+∠ABO=90°，
    ∴∠ MAG+∠OAB=90°，即∠ MAB=90°．
    ∴ l 是⊙ M的切线．
    （ 3〕∵∠ PFE+∠FPE=90°，∠
    FBD+∠PFE=90°， ∴∠ FPE=∠FBD． ∴ tan ∠FPE=．
    ∴ PF：PE：EF=：2：1．
    ∴△ PEF的面积 =PE?EF=×PF?PF=PF2
    ．
    ∴当 PF 最小时，△ PEF的面积最小．
    设点 P 的坐标为〔 x，﹣ x2﹣x+〕，那么 F〔x，﹣ x+4〕．
    ∴ PF=〔﹣ x+4〕﹣〔﹣ x2﹣ x+〕=﹣x+4+x2+x﹣ =x2﹣x+=〔 x﹣〕∴当 x=时， PF 有最小值， PF的最小值为． ∴ P〔，〕．
    ∴△ PEF的面积的最小值为 =×〔〕 2 =．
    2+．
















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