2018年北京市普通高中学业水平考试合格性考试

数 学 试 卷

参考公式：柱体的体积公式word/media/image5.gif，其中S为柱体的底面积，word/media/image6.gif为柱体的高．

第一部分 选择题（每小题3分，共75分）

在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．

1．已知集合word/media/image7.gif，word/media/image8.gif，那么word/media/image9.gif等于

A．word/media/image10.gif B．word/media/image11.gif C．word/media/image12.gif D．word/media/image13.gif

2．平面向量word/media/image14.gif，word/media/image15.gif满足word/media/image16.gif，如果word/media/image17.gif，那么word/media/image15.gif等于

A．word/media/image19.gif B．word/media/image20.gif C．word/media/image21.gif D．word/media/image22.gif

3．如果直线word/media/image23.gif与直线word/media/image24.gif平行，那么实数word/media/image25.gif的值为

A．word/media/image26.gif B．word/media/image27.gif C．word/media/image28.gif D．3

4．如图，给出了奇函数word/media/image29.gif的局部图像，那么word/media/image30.gif等于

A．word/media/image31.gif B．word/media/image32.gif C．2 D．4

5．如果函数word/media/image33.gif（word/media/image34.gif，且word/media/image35.gif）的图像经过点（2，9），那么实数a等于

A．word/media/image28.gif B．word/media/image36.gif C．2 D．3

6．某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人．为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为

A．60 B．90 C．100 D．110

7．已知直线word/media/image37.gif经过点O(0，0)，且与直线word/media/image38.gif垂直，那么直线word/media/image37.gif的方程是

A．word/media/image39.gif B．word/media/image40.gif C．word/media/image41.gif D．word/media/image42.gif

8．如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量word/media/image36.gifword/media/image44.gifword/media/image45.gif等于

A．word/media/image46.gif B．word/media/image47.gif C．word/media/image48.gif D．word/media/image49.gif

9．实数word/media/image50.gif的值等于

A．1 B．2 C．3 D．4

10．函数word/media/image51.gif，word/media/image52.gif，word/media/image53.gif，word/media/image54.gif中，在区间word/media/image55.gif上为减函数的是

A．word/media/image51.gif B．word/media/image52.gif C．word/media/image53.gif D．word/media/image54.gif

11．某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.2，那么本次抽奖活动中，中奖的概率为

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.7

12．如果正word/media/image56.gif的边长为1，那么word/media/image44.gifword/media/image57.gif等于

A．word/media/image58.gif B．word/media/image36.gif C．1 D．2

13．在word/media/image59.gif中，角A，B，C所对的边分别为word/media/image60.gif，如果word/media/image61.gif，word/media/image62.gif，word/media/image63.gif，那么b等于

A．word/media/image64.gif B．word/media/image65.gif C．word/media/image66.gif D．word/media/image67.gif

14．已知圆C：word/media/image68.gif，那么圆心C到坐标原点O的距离是

A．word/media/image36.gif B．word/media/image69.gif C．1 D．word/media/image70.gif

15．如图，在四棱柱word/media/image72.gif中，底面ABCD是正方形，word/media/image73.gif底面ABCD，word/media/image74.gif，word/media/image75.gif，那么该四棱柱的体积为

A．1

B．2

C．4

D．8

16．函数word/media/image76.gif的零点所在的区间是

A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）

17．在word/media/image77.gif，word/media/image78.gif，word/media/image79.gif，word/media/image80.gif四个数中，与word/media/image81.gif相等的是

A．word/media/image77.gif B．word/media/image78.gif C．word/media/image79.gif D．word/media/image80.gif

18．把函数word/media/image82.gif的图像向右平移word/media/image83.gif个单位得到word/media/image84.gif的图像，再把word/media/image84.gif图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图像的解析式为

A．word/media/image85.gif B．word/media/image86.gif

C．word/media/image87.gif D．word/media/image88.gif

19．函数word/media/image89.gif的最小值是

A．word/media/image26.gif B．0 C．1 D．2

20．在空间中，给出下列四个命题：

① 平行于同一个平面的两条直线互相平行；

② 垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

③ 平行于同一条直线的两个平面互相平行；

④ 垂直于同一个平面的两个平面互相平行．

其中正确命题的序号是

A．① B．② C．③ D．④

21．北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况．2018年1月份各区域的PM2.5浓度情况如下表：

从上述表格随机选择一个区域，其2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克word/media/image91.gif立方米的概率是

A．word/media/image92.gif B．word/media/image93.gif C．word/media/image94.gif D．word/media/image95.gif

22．已知word/media/image96.gif，word/media/image97.gif，那么word/media/image98.gif

A．word/media/image99.gif B．word/media/image100.gif C．word/media/image101.gif D．word/media/image102.gif

23．在word/media/image59.gif中，角A，B，C所对的边分别为word/media/image60.gif，如果word/media/image103.gif，word/media/image104.gif，word/media/image105.gif，那么word/media/image59.gif的最大内角的余弦值为

A．word/media/image106.gif B．word/media/image107.gif C．word/media/image108.gif D．word/media/image36.gif

24．北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明朝、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览．下图是从2012年到2017年每年参观总人次的折线图．

根据图中信息，下列结论中正确的是

A．2013年以来，每年参观总人次逐年递增

B．2014年比2013年增加的参观人次不超过50万

C．2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多

D．2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过1600万

25．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是

A．AB⊥底面PAC B．AC⊥底面PBC

C．BC⊥底面PAC D．AB⊥底面PBC

第二部分 解答题（共25分）

26．（本小题满分7分）

已知函数word/media/image114.gif，word/media/image115.gif．

（Ⅰ）word/media/image116.gif ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）

（Ⅱ）函数word/media/image29.gif的最小正周期Tword/media/image117.gif ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）

（Ⅲ）求函数word/media/image29.gif的最小值及相应的x的值．

27．（本小题满分7分）

如图，在三棱锥word/media/image110.gif中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E，分别为PB，PC的中点．

（Ⅰ）求证：BCword/media/image119.gif平面ADE；

（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB．

28．（本小题满分6分）

已知圆O：word/media/image120.gif（word/media/image121.gif）经过点A(0，5)，与x轴正半轴交于点B．

（Ⅰ）word/media/image122.gif ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）

（Ⅱ）圆O上是否存在点P，使得word/media/image123.gif的面积为15 ? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

29．（本小题满分5分）

种植于道路两侧、为车辆和行人遮阴并构成街景的乔木称为行道树．为确保行人、车辆和临近道路附属设施安全，树木与原有电力线之间的距离不能超出安全距离．按照北京市《行道树修剪规范》要求，当树木与原有电力线发生矛盾时，应及时修剪树枝． 《行道树修剪规范》中规定，树木与原有电力线的安全距离如下表所示：

现有某棵行道树已经自然生长2年，高度为2m．据研究，这种行道树自然生长的时间x（年）与它的高度y（m）满足关系式word/media/image125.gif（word/media/image121.gif）．

（Ⅰ）word/media/image122.gif ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）

（Ⅱ）如果这棵行道树的正上方有35KV的电力线，该电力线距地面20m．那么这棵行道树自然生长多少年必须修剪 ?

（Ⅲ）假如这棵行道树的正上方有500KV的电力线，这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全，那么该电力线距离地面至少多少m ?

2018年北京市普通高中学业水平考试合格性考试

数学试卷答案及评分参考

[说明]

1．第一部分选择题，机读阅卷．

2．第二部分解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

第一部分 选择题 (共75分)

第二部分 解答题 (共25分)

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