二项式定理

一、 求展开式中特定项

1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（）

A．项 B．项 C．项 D．项

【答案】C

【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C．

3、若展开式中的常数项为．（用数字作答）

【答案】10

【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为，

4、二项式的展开式中的常数项为．

【答案】112

【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.

5、的展开式中常数项等于________．

【答案】．

【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填．

6、设，则的展开式中常数项是．

【答案】

332，的展开式的通项为，所以所求常数项为．

二、 求特定项系数或系数和

7、的展开式中项的系数是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．

8、在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数是．

【答案】15

【解】的通项，令可得．则中的系数为15.

9、在的展开式中含的项的系数是．

【答案】-55

【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为．

10、已知，那么展开式中含项的系数为．

【答案】135

【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．

11、已知，则等于（）

A．－5 B．5 C．90 D．180

【答案】D因为，所以等于选Ｄ．

12、在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．

【答案】，．

【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为．

13、如果，那么的值等于（）

（A）－1 （B）－2 （C）0 （D）2

【答案】A

【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A．

14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为

【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，

15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于

【答案】0

解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，

所以展开式中所有项的系数和等于0.

16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于．

【答案】

【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270.

17、设，若，则．

【答案】0.

【解析】由，

令得：，即

再令得：，即

所以

18、设（5x﹣）n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为 .

【答案】150

解：由于（5x﹣）n的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n=4n．

再由二项式系数和为N=2n，且M﹣N=240，可得 4n﹣2n=240，即 22n﹣2n﹣240=0.

解得 2n=16，或 2n=﹣15（舍去），∴n=4.

（5x﹣）n的展开式的通项公式为 Tr+1=？（5x）4﹣r？（﹣1）r？=（﹣1）r？？54﹣r？．

令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x的系数为 （﹣1）r？？54﹣r=1×6×25=150，

19、设，则．

【答案】

【解析】，

所以令，得到，

所以

三、 求参数问题

20、若的展开式中第四项为常数项，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B.

21、二项式的展开式中的系数为15，则 （ ）

A、5 B、 6 C、8 D、10

【答案】B

【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B．

22、(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．【答案】2

【解析】∵，∴当，即时，．

23、若的展开式中的系数为10，则实数（）

A．或1B．或1 C．2或 D．【答案】B．

【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，

∴或，故选B．

24、设，当时，等于（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】C． 【解析】令，

则可得，故选C．

四、 其他相关问题

25、20152015除以8的余数为( )

【答案】7

【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．

试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，

故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，