2019年广州中考数学试卷解析(含答案)

广东省广州市2019年中考数学试卷（解析版）

一、选择题．（2019广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ） A ．支出20元

B ．收入20元

C ．支出80元

D ．收入80元

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

【解答】解：根据题意，收入100元记作+100元， 则﹣80表示支出80元． 故选：C ．

【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．

2．如图所示的几何体左视图是（ ）

A ． B ． C ． D ．

【分析】根据几何体的左视图的定义判断即可． 【解答】解：如图所示的几何体左视图是A ， 故选A ．

【点评】本题考查了由几何体来判断三视图，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．

3．据统计，2019年广州地铁日均客运量均为6 590 000人次，将6 590 000用科学记数法表示为（ ） A ．6.59×104

B ．659×104

C ．65.9×105

D ．6.59×106

【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【解答】解：将6 590 000用科学记数法表示为：6.59×106． 故选：D ．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．

4．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】最后一个数字可能是0～9中任一个，总共有十种情况，其中开锁只有一种情况，利用概率公式进行计算即可． 【解答】解：∵共有10个数字， ∴一共有10种等可能的选择， ∵一次能打开密码的只有1种情况， ∴一次能打开该密码的概率为故选A ．

．

【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

5．下列计算正确的是（ ）

A ．

B ．xy 2÷

D ．（xy 3）2=x2y 6

C ．2

【分析】分别利用二次根式加减运算法则以及分式除法运算法则和积的乘方运算法则化简判断即可． 【解答】解：A 、B 、xy 2÷C 、2

+3

无法化简，故此选项错误；

=2xy3，故此选项错误；

，无法计算，故此选项错误；

D 、（xy 3）2=x2y 6，正确． 故选：D ．

【点评】此题主要考查了二次根式加减运算以及分式除法运算和积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

6．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v 千米/小时与时间t 小时的函数关系是（ ）

A ．v=320t

B ．v=

C ．v=20t

D ．v=

【分析】根据路程=速度×时间，利用路程相等列出方程即可解决问题． 【解答】解：由题意vt=80×4， 则v=

．

故选B ．

【点评】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是构建方程解决问题，属于中考常考题型．

7．如图，已知△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD=（ ）

A ．3 B ．4 C ．4.8 D ．5

【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而得出线段DE 是△ABC 的中位线，再利用勾股定理得出AD ，再利用线段垂直平分线的性质得出DC 的长．

【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴BC 2+AC2=AB2，

∴△ABC 是直角三角形， ∵DE 是AC 的垂直平分线，

∴AE=EC=4，DE ∥BC ，且线段DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=3， ∴AD=DC=故选：D ．

=5．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出AD 的长是解题关键．

8．若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）

A ．ab ＞0

B ．a ﹣b ＞0

C ．a 2+b＞0

D ．a+b＞0

【分析】首先判断a 、b 的符号，再一一判断即可解决问题． 【解答】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限， ∴a ＜0，b ＞0，

∴ab ＜O ，故A 错误， a ﹣b ＜0，故B 错误，

a 2+b＞0，故C 正确， a+b不一定大于0，故D 错误． 故选C ．

【点评】本题考查一次函数与不等式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定a 、b 的符号，属于中考常考题型．

9．对于二次函数y=﹣

+x﹣4，下列说法正确的是（ ）

A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 C ．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）

B ．当x=2时，y 有最大值﹣3 D ．图象与x 轴有两个交点

【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解． 【解答】解：∵二次函数y=﹣又∵a=﹣＜0

+x﹣4可化为y=﹣（x ﹣2）2﹣3，

∴当x=2时，二次函数y=﹣x 2+x﹣4的最大值为﹣3． 故选B ．

【点评】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

10．定义运算：a ⋆b=a（1﹣b ）．若a ，b 是方程x 2﹣x+m=0（m ＜0）的两根，则b ⋆b ﹣a ⋆a 的值为（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．与m 有关

【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，ab=m ，根据新运算，找出b ⋆b ﹣a ⋆a=b（1﹣b ）﹣a （1﹣a ），将其中的1替换成a+b，即可得出结论． 【解答】解：∵a ，b 是方程x 2﹣x+m=0（m ＜0）的两根， ∴a+b=1，ab=m ．

∴b ⋆b ﹣a ⋆a=b（1﹣b ）﹣a （1﹣a ）=b（a+b﹣b ）﹣a （a+b﹣a ）=ab﹣ab=0． 故选A ．

ab=m ．本题属于基础题，【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．

二．填空题．（本大题共六小题，每小题3分，满分18分．） 11．分解因式：2a 2+ab=a 2a+b 【分析】直接把公因式a 提出来即可． 【解答】解：2a 2+ab=a（2a+b）． 故答案为：a （2a+b）．

【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键． 12．代数式

有意义时，实数x 的取值范围是x 9．

【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．

【解答】解：由题意得，9﹣x ≥0， 解得，x ≤9， 故答案为：x ≤9．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．

13．如图，△ABC 中，AB=AC，BC=12cm，点D 在AC 上，DC=4cm．将线段DC 沿着CB F 分别落在边AB ，BC 上，的方向平移7cm 得到线段EF ，点E ，则△EBF 的周长为 13 cm ．

【分析】直接利用平移的性质得出EF=DC=4cm，进而得出BE=EF=4cm，进而求出答案．

【解答】解：∵将线段DC 沿着CB 的方向平移7cm 得到线段EF ， ∴EF=DC=4cm，FC=7cm， ∵AB=AC，BC=12cm， ∴∠B=∠C ，BF=5cm， ∴∠B=∠BFE ， ∴BE=EF=4cm，

∴△EBF 的周长为：4+4+5=13（cm ）． 故答案为：13．

【点评】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出BE 的长是解题关键．

14．分式方程

的解是x=1

【分析】根据解分式方程的方法可以求得分式方程本题得以解决． 【解答】解：

的解，记住最后要进行检验，

方程两边同乘以2x （x ﹣3），得 x ﹣3=4x 解得，x=﹣1，

检验：当x=﹣1时，2x （x ﹣3）≠0， 故原分式方程的解是x=﹣1， 故答案为：x=﹣1．

【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确解分式方程的解得方法，注意最后要进行检验．

15．如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，AB=12

，OP=6，则劣弧AB 的长为8π．

【分析】连接OA 、OB ，由切线的性质和垂径定理易得AP=BP=数的定义可得∠AOP=60°，利用弧长的公式可得结果． 【解答】解：连接OA 、OB ， ∵AB 为小⊙O 的切线， ∴OP ⊥AB ， ∴AP=BP=∵

∴∠AOP=60°，

=

， ，

=

=8π．

，由锐角三角函

∴∠AOB=120°，∠OAP=30°， ∴OA=2OP=12， ∴劣弧AB 的长为：故答案为：8π．

【点评】本题主要考查了切线的性质，垂径定理和弧长公式，利用三角函数求得∠AOP=60°是解答此题的关键．

16．如图，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线．将△DCB 绕着点D 顺时针旋转45°得到△DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ．则下列结论：

①四边形AEGF 是菱形 ②△AED ≌△GED ③∠DFG=112.5° ④BC+FG=1.5

其中正确的结论是 ①②③ ．

【分析】首先证明△ADE ≌△GDE ，再求出∠AEF 、∠AFE 、∠GEF 、∠GFE 的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断．

【解答】证明：∵四边形ABCD 是正方形，

∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°， ∵△DHG 是由△DBC 旋转得到，

∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°， 在RT △ADE 和RT △GDE 中，

，

∴AED ≌△GED ，故②正确， ∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG， ∴∠AED=∠AFE=67.5°， ∴AE=AF，同理EG=GF， ∴AE=EG=GF=FA，

∴四边形AEGF 是菱形，故①正确，

∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确． ∵AE=FG=EG=BG，BE=∴BE ＞AE ， ∴AE ＜，

AE ，

∴CB+FG＜1.5，故④错误． 故答案为①②③．

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型． 三、解答题 17．解不等式组

并在数轴上表示解集．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．

【解答】解：解不等式2x ＜5，得：x ＜， 解不等式3（x+2）≥x+4，得：x ≥﹣1， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x ＜， 将不等式解集表示在数轴上如图：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，若AB=AO，求∠ABD 的度数．

【分析】首先证明OA=OB，再证明△ABO 是等边三角形即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴AO=OB， ∵AB=AO， ∴AB=AO=BO，

∴△ABO 是等边三角形， ∴∠ABD=60°．

【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．

19．某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为个小组打，各项成绩均按百分制记录．甲、乙、丙三个小组各项得分如表： 小组 甲 乙 丙

研究报告 91 81 79

小组展示 80 74 83

答辩 78 85 90

（1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序；

（2）如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？

【分析】（1）根据表格可以求得各小组的平均成绩，从而可以将各小组的成绩按照从大到小排列；

（2）根据题意可以算出各组的加权平均数，从而可以得到哪组成绩最高． 【解答】解：（1）由题意可得， 甲组的平均成绩是：乙组的平均成绩是：

（分）， （分），

丙组的平均成绩是：（分），

（分）， （分）， （分），

从高分到低分小组的排名顺序是：丙＞甲＞乙； （2）由题意可得， 甲组的平均成绩是：乙组的平均成绩是：丙组的平均成绩是：

由上可得，甲组的成绩最高．

【点评】本题考查算术平均数、加权平均数、统计表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

20．已知A=（1）化简A ；

（a ，b ≠0且a ≠b ）

（2）若点P （a ，b ）在反比例函数y=﹣的图象上，求A 的值．

【分析】（1）利用完全平方公式的展开式将（a+b）2展开，合并同类型、消元即可将A 进行化解；

（2）由点P 在反比例函数图象上，即可得出ab 的值，代入A 化解后的分式中即可得出结论．

【解答】解：（1）A=

，

=，

=，

=．

（2）∵点P （a ，b ）在反比例函数y=﹣的图象上， ∴ab=﹣5，

∴A==﹣．

【点评】本题考查了分式的化解求值以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）将原分式进行化解；（2）找出ab 值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原分式进行化解，再代入ab 求值即可．

21．如图，利用尺规，在△ABC 的边AC 上方作∠CAE=∠ACB ，在射线AE 上截取AD=BC，连接CD ，并证明：CD ∥AB （尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

【分析】利用尺规作∠EAC=∠ACB 即可，先证明四边形ABCD 是平行四边形，再证明CD ∥AB 即可．

【解答】解：图象如图所示，

∵∠EAC=∠ACB ， ∴AD ∥CB ， ∵AD=BC，

∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ．

【点评】本题考查尺规作图、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题，中考常考题型．

22．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续飞行30A ′处，

m 到达

（1）求A ，B 之间的距离；

（2）求从无人机A ′上看目标D 的俯角的正切值．

【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；

，

CE=AA′=30（2）过A ′作A ′E ⊥BC 交BC 的延长线于E ，连接A ′D ，于是得到A ′E=AC=60，在Rt △ABC 中，求得DC=

AC=20

，然后根据三角函数的定义即可得到结论．

．

【解答】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m， ∴AB=

=

=120（m ）；

（2）过A ′作A ′E ⊥BC 交BC 的延长线于E ，连接A ′D ， 则A ′E=AC=60，CE=AA′=30

，

=

=

．

在Rt △ABC 中，AC=60m，∠ADC=60°， ∴DC=∴DE=50

AC=20，

，

∴tan ∠AA ′D=tan∠A ′DC=

答：从无人机A ′上看目标D 的俯角的正切值是

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．

23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣x+3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A （，），点D 的坐标为（0，1） （1）求直线AD 的解析式；

（2）直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合），当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．

【分析】（1）设直线AD 的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A （，），D （0，1）的坐标代入即可；

（2）由直线AD 与x 轴的交点为（﹣2，0），得到OB=2，由点D 的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到到结论．

或

，代入数据即可得

【解答】解：（1）设直线AD 的解析式为y=kx+b， 将A （，），D （0，1）代入得：

，

解得：．

故直线AD 的解析式为：y=x+1；

（2）∵直线AD 与x 轴的交点为（﹣2，0）， ∴OB=2，

∵点D 的坐标为（0，1）， ∴OD=1，

∵y=﹣x+3与x 轴交于点C （3，0）， ∴OC=3， ∴BC=5

∵△BOD 与△BCE 相似， ∴∴

=

=

或或

， ，

，或CE=，

∴BE=2，CE=

∴E （2，2），或（3，）．

【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．

24．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m ）x+1﹣3m 与x 轴相交于不同的两点A 、B （1）求m 的取值范围；

（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P ，并求出点P 的坐标；

（3）当＜m ≤8时，由（2）求出的点P 和点A ，B 构成的△ABP 的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m 值．

【分析】（1）根据题意得出△=（1﹣2m ）2﹣4×m ×（1﹣3m ）=（1﹣4m ）2＞0，得出1﹣4m ≠0，解不等式即可；

（2）y=m（x 2﹣2x ﹣3）+x+1，故只要x 2﹣2x ﹣3=0，那么y 的值便与m 无关，解得x=3或x=﹣1（舍去，此时y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）；

，因此

（3）由|AB|=|xA ﹣x B |得出|AB|=|﹣4|，由已知条件得出≤＜4，得出0＜|﹣4|≤|AB|最大时，|

|=

，解方程得出m=8，或m=

（舍去），即可得出结果．

【解答】（1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去； 当m ≠0时，

∵抛物线y=mx2+（1﹣2m ）x+1﹣3m 与x 轴相交于不同的两点A 、B ，

∴△=（1﹣2m ）2﹣4×m ×（1﹣3m ）=（1﹣4m ）2＞0， ∴1﹣4m ≠0， ∴m ≠；

=

（2）证明：∵抛物线y=mx2+（1﹣2m ）x+1﹣3m ， ∴y=m（x 2﹣2x ﹣3）+x+1，

抛物线过定点说明在这一点y 与m 无关， 显然当x 2﹣2x ﹣3=0时，y 与m 无关， 解得：x=3或x=﹣1，

当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；

当x=﹣1时，y=0，定点坐标为（﹣1，0）， ∵P 不在坐标轴上， ∴P （3，4）；

=

|AB|=|xA ﹣x B |=（3）解：

==||=|﹣4|，

∵＜m ≤8， ∴≤＜4， ∴﹣

≤﹣4＜0，

，

|=

，

∴0＜|﹣4|≤

∴|AB|最大时，|解得：m=8，或m=

（舍去），

，

∴当m=8时，|AB|有最大值

此时△ABP 的面积最大，没有最小值， 则面积最大为： |AB|yP =×

×4=

．

【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等知识；本题难度较大，根据题意得出点P 的坐标是解决问题的关键．

上，且不与点B ，D 重合），

25．如图，点C 为△ABD 的外接圆上的一动点（点C 不在∠ACB=∠ABD=45°

（1）求证：BD 是该外接圆的直径； （2）连结CD ，求证：

AC=BC+CD；

（3）若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM ，连接DM ，试探究DM 2，AM 2，BM 2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）要证明BD 是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD 是直角即可，又因为∠ABD=45°，所以需要证明∠ADB=45°；

（2）在CD 延长线上截取DE=BC，连接EA ，只需要证明△EAF 是等腰直角三角形即可得出结论；

（3）过点M 作MF ⊥MB 于点M ，过点A 作AF ⊥MA 于点A ，MF 与AF 交于点F ，证明△AMF 是等腰三角形后，可得出AM=AF，MF=

AM ，然后再证明△ABF ≌△ADM 可得

出BF=DM，最后根据勾股定理即可得出DM 2，AM 2，BM 2三者之间的数量关系．

【解答】解：（1）∵

=

，

∴∠ACB=∠ADB=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠BAD=90°，

∴BD 是△ABD 外接圆的直径；

（2）在CD 的延长线上截取DE=BC，

连接EA ，

∵∠ABD=∠ADB ， ∴AB=AD，

∵∠ADE+∠ADC=180°， ∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADE ，

在△ABC 与△ADE 中，

，

∴△ABC ≌△ADE （SAS ）， ∴∠BAC=∠DAE ，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAE=90°， ∵

=

∴∠ACD=∠ABD=45°， ∴△CAE 是等腰直角三角形， ∴∴

AC=CE，

AC=CD+DE=CD+BC；

（3）过点M 作MF ⊥MB 于点M ，过点A 作AF ⊥MA 于点A ，MF 与AF 交于点F ，连接BF ，

由对称性可知：∠AMB=ACB=45°， ∴∠FMA=45°，

∴△AMF 是等腰直角三角形， ∴AM=AF，MF=

AM ，

∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB ， ∴∠FAB=∠MAD ，

在△ABF 与△ADM 中，

，

∴△ABF ≌△ADM （SAS ）， ∴BF=DM， 在Rt △BMF 中， ∵BM 2+MF2=BF2，

∴BM 2+2AM2=DM2．

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三角形．