陕西省安康市2019-2020学年高考数学第三次调研试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在直角中，，，，若，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

在直角三角形ABC中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．

【详解】

在直角中，，，，，

，

若，则

故选C.

【点睛】

本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．

2．设i为虚数单位，若复数，则复数z等于( )

A． B． C． D．0

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数除法的运算法则，即可求解.

【详解】

.

故选:B.

【点睛】

本题考查复数的代数运算，属于基础题.

3．设，，是非零向量.若，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意得：若，则；若，则由可知，，故也成立，故选D.

考点：平面向量数量积.

【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.

4． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）

A．56383 B．57171 C．59189 D．61242

【答案】C

【解析】

【分析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果.

【详解】

被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，

公差为的等差数列，记数列

则

令，解得.

故该数列各项之和为.

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列的应用，属基础题。

5．设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程的渐近线方程为，由题意可得，又，即，解得，，即可得到所求双曲线的方程.

【详解】

解：抛物线的焦点为

可得双曲线

即为的渐近线方程为

由题意可得，即

又，即

解得，.

即双曲线的方程为.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.

6．设全集，集合，则＝( )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的补集.

【详解】

由解得，故，所以，故选A.

【点睛】

本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

7．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为，则圆周率（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解.

【详解】

由，∴.

故选：A

【点睛】

本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.

8．函数的定义域为，集合，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数定义域得集合，解对数不等式得到集合，然后直接利用交集运算求解.

【详解】

解：由函数得，解得，即；

又，解得，即，

则.

故选：A.

【点睛】

本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.

9．已知纯虚数满足，其中为虚数单位，则实数等于（ ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据复数的除法表示出，然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可.

【详解】

因为，所以，

又因为是纯虚数，所以，所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数为纯虚数，则有.

10．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中，为无理数）

①；②；③.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判定是正确的.

【详解】

由题意，对于①中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的；

对于②中，设函数，则0' altImg='b0443d7d452f4d03bcfe85ab86c97792.png' w='110' h='43' class='_3'>，所以函数为单调递增函数，

因为，则

又由，所以，即，所以②不正确；

对于③中，设函数，则，

当时，0' altImg='82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png' w='79' h='21' class='_3'>，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以当时，函数取得最大值，最大值为，

所以，即，即，所以是正确的.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

设，则，，

因为，所以．若，则，所以，

所以，不符合题意，所以，则，

所以，所以，，设，则，

在中，易得，所以，解得（负值舍去），

所以椭圆的离心率．故选B．

12．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．240 B．264 C．274 D．282

【答案】B

【解析】

【分析】

将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案.

【详解】

由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，

延长交于点，

其中，，，

所以表面积.

故选B项.

【点睛】

本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，∠ABC＝120︒，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

将平移到和相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.

【详解】

过作，过作，画出图像如下图所示，由于四边形是平行四边形，故，所以是所求线线角或其补角.在三角形中，，故.

【点睛】

本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

14．已知函数，则下列结论中正确的是_________.①是周期函数；②的对称轴方程为，；③在区间上为增函数；④方程在区间有6个根.

【答案】①②④

【解析】

【分析】

由函数，对选项逐个验证即得答案.

【详解】

函数，

是周期函数，最小正周期为，故①正确；

当或时，有最大值或最小值，此时或，即或，即.

的对称轴方程为，，故②正确；

当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在区间上不是增函数，故③错误；

作出函数的部分图象，如图所示

方程在区间有6个根，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题.

15．已知，，且，则的最小值是______.

【答案】1

【解析】

【分析】

先将前两项利用基本不等式去掉，，再处理只含的算式即可．

【详解】

解：，

因为，所以，

所以，

当且仅当，，时等号成立，

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，但是由于有3个变量，导致该题不易找到思路，属于中档题．

16．已知，则的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

先求，再根据的范围求出即可.

【详解】

由题可知，

故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知非零实数满足．

（1）求证：；

（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围； 若不存在，请说明理由

【答案】（1）见解析（2）存在，

【解析】

【分析】

（1）利用作差法即可证出.

（2）将不等式通分化简可得，讨论或，分离参数，利用基本不等式即可求解.

【详解】

又

即

即

①当时，即恒成立

（当且仅当时取等号），故

②当时恒成立

（当且仅当时取等号），故

综上，

【点睛】

本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.

18．已知.

（1）求不等式的解集；

（2）记的最小值为，且正实数满足.证明：.

【答案】（1）或；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据，利用零点分段法解不等式，或作出函数的图像，利用函数的图像解不等式；

（2）由（1）作出的函数图像求出的最小值为，可知，代入中，然后给等式两边同乘以，再将写成后，化简变形，再用均值不等式可证明.

【详解】

（1）解法一：1°时，，即，解得；

2°时，，即，解得；

3°时，，即，解得.

综上可得，不等式的解集为或.

解法二：由作出图象如下：

由图象可得不等式的解集为或.

（2）由

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

正实数满足，则，

即，

（当且仅当即时取等号）

故，得证.

【点睛】

此题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和均值不等式的运用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题.

19． “绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.

（1）设事件为 “选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；

（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）分布列见解析，.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求 . （Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.

【详解】

（Ⅰ）

（Ⅱ）可能取值为,

,

,

,

,

的分布列为

.

【点睛】

本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

20．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为；

（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．

【答案】（Ⅰ）,曲线 （Ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）消去参数可得直线的直角坐标系方程，由可得曲线的直角坐标方程；

（2）将（为参数）代入曲线的方程得：，，利用韦达定理求解即可.

试题解析：

（1），曲线，

（2）将（为参数）代入曲线的方程得：.

所以.

所以.

21．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.

【答案】（1）（）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）化简得到直线方程为，再利用极坐标公式计算得到答案.

（2）联立方程计算得到，，计算得到答案 .

【详解】

（1）由消得，即，

是过原点且倾斜角为的直线，∴的极坐标方程为（）.

（2）由得，∴，

由得∴，∴.

【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

22．已知椭圆的焦点在轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，过椭圆右焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.

【答案】（1） （2）

【解析】

【分析】

（1）由已知条件列出关于和的方程，并计算出和的值，jike 得到椭圆的方程.

（2）设出点和点坐标，运用点坐标计算出，分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，求解出的最小值.

【详解】

（1）由己知得：，解得，

所以，椭圆的方程

（2）设，．

当直线垂直于轴时，，且

此时，，

当直线不垂直于轴时，设直线

由，得．

，

.

要使恒成立，只需，即最小值为

【点睛】

本题考查了求解椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，求解过程中需要分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，并运用根与系数的关系转化为只含一个变量的表达式进行求解，需要掌握解题方法，并且有一定的计算量.

23．已知是递增的等差数列，，是方程的根.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）;（2）.

【解析】

【分析】

（1）方程的两根为，由题意得，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出．

【详解】

方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.

由题意得a2＝2，a4＝3.

设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而得a1＝.

所以{an}的通项公式为an＝n＋1.

（2）设的前n项和为Sn，

由（1）知＝，

则Sn＝＋＋…＋＋，

Sn＝＋＋…＋＋，

两式相减得

Sn＝＋－

＝＋－，

所以Sn＝2－.

考点：等差数列的性质；数列的求和．

【方法点晴】

本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为，由题意得，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．