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山东省德州市2018年初中学业水平考试

数 学

（考试时间120分钟，满分150分）

第Ⅰ卷(选择题 共48分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.3的相反数是 (　　)

A.3 B. C. D.

2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　　)

3.一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化,1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离,即1.496亿km.用科学记数法表示1.496亿是 (　　)

A. B. C. D.

4.下列运算正确的是 (　　)

A. B.

C. D.

5.已知一组数据：6,2,8，，7，它们的平均数是6,则这组数据的中位数是 (　　)

A.7 B.6 C.5 D.4

6.如图,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列摆放方式中,与互余的是

(　　)

（第6题）

A.图① B.图② C.图③ D.图④

7.函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　　)

8.分式方程的解为 (　　)

A. B. C. D.无解

9.如图,从一块直径为2 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形,则此扇形的面积为 (　　)

A. B. C. D.

（第9题）

10.给出下列函数：①；②；③；④.上述函数中符合条件“当时,函数值随自变量增大而增大”的是 (　　)

A.①③ B.③④ C.②④ D.②③

11.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”.

（第11题）

请根据“杨辉三角”计算的展开式中从左起第四项的系数为 (　　)

A.84 B.56 C.35 D.28

12.如图，等边三角形的边长为4,点是的中心,,绕点旋转,分别交线段,于,两点,连接,给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6.其中正确结论的个数是 (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

（第12题）

第Ⅱ卷(非选择题 共102分)

二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)

13.计算：　　　　.

14.若，是一元二次方程的两个实数根，则　　　　.

15.如图，为的平分线，,,,则点到射线的距离为　　　　.

（第15题）

16.如图,在的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,的顶点都在格点上,则的正弦值是　　　　.

（第16题）

17.对于实数,,定义运算“◆”：例如4◆3，因为，所以.若,满足方程组则　　　　.

18.如图,反比例函数与一次函数在第三象限交于点,点的坐标为，点是轴左侧的一点，若以点,,,为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为　　　　.

（第18题）

三、解答题(本大题共7小题,共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

19.(本小题满分8分)

先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解.

20.(本小题满分10分)

某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况(新闻、体育、动画、娱乐、戏曲),从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.

（第20题）

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有多少人？

（2）请将条形统计图补充完整.

（3）若该校约有1 500名学生，请估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人.

（4）该校广播站需要广播员，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁4名学生中选取2名，求恰好选中甲、乙两名学生的概率（用画树状图或列表的方法解答）.

21.(本小题满分10分)

如图，两座建筑物的水平距离为60 ，从点测得点的仰角为，从点测得点的俯角为，求两座建筑物的高度.（参考数据：）

（第21题）

22.(本小题满分12分)

如图，是的直径，直线与相切于点，且与的延长线交于点，点是的中点.

（1）求证：.

（2）若，的半径为3，一只蚂蚁从点出发，沿着——爬回至点，求蚂蚁爬过的路程.（结果保留一位小数.参考数据：）

（第22题）

23.(本小题满分12分)

为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量(单位：台)和销售单价(单位：万元)成一次函数关系.

（1）求年销售量与销售单价的函数关系式.

（2）根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？

24.(本小题满分12分)

再读教材：

宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.（提示：）

第一步，在矩形纸片一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平.

第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平.

（第24题）

第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处.

第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图4中就会出现黄金矩形.

（第24题）

问题解决：

（1）图3中　　　　（保留根号）.

（2）如图3，判断四边形的形状，并说明理由.

（3）请写出图4中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由.

实际操作：

（4）结合图4.请在矩形中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽.

25.(本小题满分14分)

如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于,两点，其中，，该抛物线与轴交于点，与轴交于另一点.

（1）求，的值及该抛物线的解析式.

（2）如图2，若点为线段上的一动点（不与点,重合），分别以，为斜边，在直线的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，试确定面积最大时点的坐标.

（3）如图3，连接,,在线段上是否存在点,使得以,,为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

（第25题）

2018年山东省德州市初中学业水平考试

数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题

1．【答案】C

【解析】3的相反数是.

【考点】相反数.

2．【答案】B

【解析】A项，是中心对称图形.B项，既是轴对称图形又是中心对称图形.C项，是轴对称图形.D项，既不是轴对称图形也不是中心对称图形.

【考点】轴对称图形和中心对称图形的定义.

3．【答案】D

【解析】亿

【考点】科学记数法.

4．【答案】C

【解析】A项，B项，C项，正确.D项，

【考点】考查了整式的运算.

5．【答案】A

【解析】由平均数是6，得，解得.将这组数据按从小到大的顺序排列，为2,6,7,7,8，所以中位数是7.

【考点】平均数，中位数.

6．【答案】A

【解析】图①，，即与互余.图②，由同角的余角相等，得.图③，图④，由平角的定义，得.

【考点】两角互余的性质及判定.

7．【答案】B

【解析】A项，由抛物线开口向上，知；由直线经过第一、二、四象限，知，不符合题意.B项，由抛物线开口向上，知，对称轴为，在轴的右侧；由直线经过第一、三、四象限，知，符合题意.C项，由抛物线开口向上，知，对称轴为，应在轴的右侧，不符合题意.D项，由抛物线开口向下，知；由直线经过第一、三、四象限，知，不符合题意.

【考点】二次函数和一次函数的图象与性质.

8．【答案】D

【解析】方程两边同时乘最简公分母，得，解得检验：当时，，所以是原方程的增根，故原方程无解.

【考点】了解分式方程.

9．【答案】A

【解析】如图，连接是的直径，

（第9题）

【考点】圆周角的性质、解直角三角形、扇形的面积公式.

10．【答案】B

【解析】①当时，随的增大而减小.②当时，随的增大而减小.③函数图象开口向上，对称轴为轴，当时，随的增大而增大.④当时，随的增大而增大.

【考点】一次函数、反比例函数、二次函数的图象的增减性.

11．【答案】B

【解析】用“杨辉三角”的规律展开，从左起各项系数分别为1,8,28,56,70,56,28,8,1，的展开式中从左起第四项的系数为56.

【考点】找规律.

12．【答案】C

【解析】①如图1，连接点是等边三角形的中心，故①正确.

（第12题）

②如图2，当绕点旋转到使时，是等边三角形.是等腰三角形.易得.故②错误.

（第12题）

③如图3，连接，过点做，垂足为点.，故③正确.

（第12题）

④如图1，的周长为要使的周长最小，则的长最小.当绕点旋转到使时，垂足分别为点，如图2，则由垂线段最短可得的长最小，的长最小，这时周长的最小值为故④正确.

【考点】等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、等边三角形中心的性质、解直角三角形、三角形的面积及求最小值.

第Ⅱ卷

二．填空题

13．【答案】1

【解析】

【考点】整式的运算及绝对值.

14．【答案】

【解析】是一元二次方程的两个实数根，

【考点】一元二次方程的根与系数的关系.

15．【答案】3

【解析】由勾股定理，得根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得点到射线的距离为3.

【考点】勾股定理、角平分线的性质.

16．【答案】

【解析】由勾股定理，得，，是直角三角形，

【考点】直角三角形的判定、解直角三角形.

17．【答案】60

【解析】解方程组得

【考点】了解二元一次方程组及对新定义的阅读理解.

18．【答案】或

【解析】解得如图1，当是平行四边形的一边时，则点到轴的距离是或点的坐标为或.点在轴左侧，

（第18题）

如图2，当是平行四边形的对角线时，过点作，过点作，垂足分别为点，.，四边形是平行四边形，由全等三角形对应高相等，得

，

（第18题）

【考点】求图象交点的坐标，平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质.

三、解答题

19．【答案】解：原式

解不等式组：

解不等式①，得.

解不等式②，得.

∴不等式组的解集是.

是整数，

∴

原式.

【解析】解：原式

解不等式组：

解不等式①，得.

解不等式②，得.

∴不等式组的解集是.

是整数，

∴

原式.

20．【答案】（1）从喜欢动画节目人数可得（人）.

答：这次被调查的学生共有50人.

（2）

补全条形统计图如图所示.

（第20题）

（3）（人）.

答：估计全校学生中喜欢娱乐节目的有540人.

（4）列表如下：（画树状图法略）

由列表可知，共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好选中甲、乙两名学生的结果有2种，（恰好选中甲、乙两名学生）

【解析】（1）从喜欢动画节目人数可得（人）.

答：这次被调查的学生共有50人.

（2）

补全条形统计图如图所示.

（第20题）

（3）（人）.

答：估计全校学生中喜欢娱乐节目的有540人.

（4）列表如下：（画树状图法略）

由列表可知，共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好选中甲、乙两名学生的结果有2种，（恰好选中甲、乙两名学生）

21．【答案】解：如图，过点作交于点，则在中，即解得又在中，即解得

答：建筑物的高度为，建筑物的高度为.

【解析】如图，过点作交于点，则在中，即解得又在中，即解得

答：建筑物的高度为，建筑物的高度为.

22．【答案】（1）证明：如图，连接

（第22题）

∵直线是的切线

∴.

∴.

∵点是的中点.

∴

∵，

∴

∴

∴

∴,

∴

（2）解：∵,

∴

∴

∵直线是的切线

∴

∴

∴

∵

∴

∴

在中，由勾股定理,得：

.

的长

∴蚁蚂爬过的路程为

【解析】（1）证明：如图，连接

（第22题）

∵直线是的切线

∴.

∴.

∵点是的中点.

∴

∵，

∴

∴

∴

∴,

∴

（2）解：∵,

∴

∴

∵直线是的切线

∴

∴

∴

∵

∴

∴

在中，由勾股定理,得：

.

的长

∴蚁蚂爬过的路程为

23．【答案】（1）∵此设备的年销售量（单位：台）和销售单价（单位：万元）成一次函数关系，

∴可设.根据题意,得

解得：

∴年销售量与销售单价的函数关系式是

（2）∵此设备的销售单价是万元，成本价是30方元，

∴该设备的单件利润为万元.

由题意,得

解得：

∵销售单价不得高于70万元，即,

∴不符合题意，舍去．∴

答：该公可若想获得10 000万元的年利润，则该设备的销售单价应是50万元.

【解析】（1）∵此设备的年销售量（单位：台）和销售单价（单位：万元）成一次函数关系，

∴可设.根据题意,得

解得：

∴年销售量与销售单价的函数关系式是

（2）∵此设备的销售单价是万元，成本价是30方元，

∴该设备的单件利润为万元.

由题意,得

解得：

∵销售单价不得高于70万元，即,

∴不符合题意，舍去．∴

答：该公可若想获得10 000万元的年利润，则该设备的销售单价应是50万元.

24．【答案】（1）

（2）四边形是菱形.

理由如下：∵四边形是矩形，

∴

∴

由折叠的性质，得

∴

∴

∴

∴

∴四边形是平行四边形.

又∵，

∴是菱形．

（3）图4中的黄金矩形有矩形、矩形.

以黄金矩形为例，理由如下:

∵

∴,又∵.

∴.

∴矩形是黄金矩形．

（4）如图，在矩形上添加线段，使四边形为正方形，此时四边形为所要作的黄金矩形,长,宽.

（第24题）

矩形是黄金矩形.

【解析】（1）由题意，得

（2）四边形是菱形.

理由如下：∵四边形是矩形，

∴

∴

由折叠的性质，得

∴

∴

∴

∴

∴四边形是平行四边形.

又∵，

∴是菱形．

（3）图4中的黄金矩形有矩形、矩形.

以黄金矩形为例，理由如下:

∵

∴,又∵.

∴.

∴矩形是黄金矩形．

（4）如图，在矩形上添加线段，使四边形为正方形，此时四边形为所要作的黄金矩形,长,宽.

（第24题）

，四边形是正方形，矩形是黄金矩形.

25．【答案】（1）把点、代入得

∴

∵抛物线过点、，∴

解得：

∴该抛物线的解释式为

(2）如图1，∵和为等直角三角形，

∴

∴

∴为直角三角形.

令，解得：

∴

设，则

∴

=

=

∴当，即时，最大，此时,∴

（3）存在，点坐标为或.

【解析】（1）把点、代入得

∴

∵抛物线过点、，∴

解得：

∴该抛物线的解释式为

(2）如图1，∵和为等直角三角形，

∴

∴

∴为直角三角形.

令，解得：

∴

设，则

∴

=

=

∴当，即时，最大，此时,∴

（3）存在，点坐标为或.