2019年湖北省武汉市初中毕业、升学考试

数 学

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．

1．（2019湖北武汉，1，3分）实数2019的相反数是（ ）

A．2019 B．－2019 C． D．

【答案】B

【解析】∵a的相反数是－a，∴2019的相反数是－2019．故选B．

【知识点】相反数

2．（2019湖北武汉，2，3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

A．x＞0 B．x≥－1 C．x≥1 D．x≤1

【答案】C

【解析】由在实数范围内有意义，得x－1≥0,解得x≥1，故选B．

【知识点】二次根式有意义的条件

3．（2019湖北武汉，3，3分） 不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）

A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球

C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球

【答案】B

【解析】A中，3个球都是黑球是随机事件；B中3个球都是白球是不可能事件；C中，三个球中有黑球是随机事件；D中，3个球中有白球是随机事件．故选B．

【知识点】必然事件、不可能事件、随机事件

4．（2019湖北武汉，4，3分） 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ）

A．诚 B．信 C．友 D．善

【答案】D

【解析】四个方块字中可以看作轴对称图形的是“善”，故选D．

【知识点】轴对称图形

5．（2019湖北武汉，5，3分） 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何题的左视图是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】从左面看易得第一层有1个正方形，第二层有2个正方形，

如图所示：故选A．

【知识点】简单组合体的三视图

6．（2019湖北武汉，6，3分）“漏壶”是一种这个古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（ ）

【答案】A

【解析】由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置大于0，可以排除B；由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C、D选项．故选A．

【知识点】函数图象

7．（2019湖北武汉，7，3分）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2＋4x＋c＝0有实数解的概率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】列表如下：

所有等可能的情况有12种，其中关于x的一元二次方程ax2＋4x＋c＝0有实数根的情况有6种，分别为（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1），则P＝．故选C．

【知识点】概率，一元二次方程

8．（2019湖北武汉，8，3分） 已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，下列命题：① 过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝－6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③ 若x1＋x2＝0，则y1＋y2＝0其中真命题个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解题过程】①中，由反比例的几何意义可知，S△ACO＝|xy|＝3，∴|k|＝|xy|＝6,∵图象位于第二、第四象限，∴k＝－6．正确；∵x1＜0＜x2，∴点A在第二象限，点B在第四象限，故y1＞y2,正确；③中，∵y1＝,y2＝,∴y1＋y2＝＋＝,若x1＋x2＝0，∴ y1＋y2＝0．正确，其中真命题有3个．故选D．

【知识点】反比例函数的图象与性质，反比例函数的几何意义，命题

9．（2019湖北武汉，9，3分） 如图，AB是⊙O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN

上动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【思路分析】由条件可求∠AEB＝135°，∴E在以AD为半径的⊙D上（定角定圆），分别找到C和E的路径、半径、圆心角，然后用弧长公式求路径比值

【解题过程】由题得∠1＝∠2＝∠C＝45°，∠3＝∠4，∠5＝∠6

设∠3＝∠4＝m，∠5＝∠6＝n，得m＋n＝45°，∴∠AEB＝∠C＋m＋n＝90°＋45°＝135°

∴E在以AD为半径的⊙D上（定角定圆）

如图，C的路径为,E的路径为

设⊙O的半径为1，则⊙D的半径为，

∴＝＝

【知识点】圆轨迹（定角），角平分线的性质，圆周角定理，弧长公式

10．（2019湖北武汉，10，3分）观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）

A．2a2－2a B．2a2－2a－2 C．2a2－a D．2a2＋a

【答案】C

【思路分析】①设y1＝2＋22＋…＋2100，y2＝2＋22＋…＋249，②250＋251＋252＋…＋299＋2100＝y1－y2．

【解题过程】设y1＝2＋22＋…＋2100，y2＝2＋22＋…＋249,∴250＋251＋252＋…＋299＋2100＝y1－y2＝（2＋22＋…＋2100）－（2＋22＋…＋249）＝（2101－2）－（250－2）＝2101－2－250＋2＝2101－250＝250（251－1）＝250（2×250－1）．∵250＝a，∴原式＝a（2a－1）＝2a2－a．故选C．

【知识点】规律探究型，整式的乘除，幂的运算性质

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．

11．（2019湖北武汉，11，3分）计算的结果是___________．

【答案】4

【解析】＝＝4．

【知识点】二次根式的性质

12．（2019湖北武汉，12，3分）武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：℃），分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是___________．

【答案】23

【解析】把这一组数据从小到大的顺序排列为：18、20、23、25、27，位于中间的数为23．故这组数据的中位数为23．

【知识点】中位数

13．（2019湖北武汉，13，3分） 计算的结果是___________．

【答案】

【解析】原式＝ ＝ ＝ ＝ ．

【知识点】分式的加减

14．（2019湖北武汉，14，3分） 如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为___________．

【答案】21°

【解析】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠5．∵∠ADF＝90°，AE＝EF，∴DE＝AF＝AE，∴∠1＝∠2．∴∠5＝∠2．∵AE＝CD，DE＝AE,∴DE＝CD．∴∠3＝∠4．∵∠3＝∠1＋∠2＝2∠2．∴∠4＝2∠2． ∵ ∠BCD＝63°，∴∠5＋∠4＝63°．即3∠2＝63°，∴∠2＝21°．即∠ADE＝21°．

【知识点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质

15．（2019湖北武汉，15，3分） 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－3，0）、B（4，0）两点，则

关于x的一元二次方程a（x－1）2＋c＝b－bx的解是___________．

【答案】x＝－2或5

【思路分析】①利用待定系数法求出抛物线的解析式，把b，c分别用含a的代数式表示；

②把b,c的值代入一元二次方程a（x－1）2＋c＝b－bx中，并整理；

③解这个一元二次方程．

【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－3，0）、B（4，0）两点，∴y＝a（x＋3）（x－4）＝ax2－2ax－12a．∴b＝－2a，c＝－12a．∴一元二次方程为 a（x－1）2－12a＝－2a＋2ax，整理，得ax2－3ax－10a＝0,∵a≠0，∴x2－3x－10＝0，解得x1＝－2，x2＝5．

【知识点】二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，一元二次方程的解法

16．（2019湖北武汉，16，3分）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，

DE与BC交于点P，可推出结论：PA＋PC＝PE．

问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是___________．

【答案】2

【思路分析】由题构造等边△MFN，△MHO，图中2个彩色三角形全等，∴OM＋ON＋OG＝HO＋HF＋OG，∴距离和最小值为FG＝2（RT△FQG勾股定理）

【解题过程】由题构造等边△MFN，△MHO，图中2个彩色三角形全等（△MFH≌△MNO（SAS））

∴OM＋ON＋OG＝HO＋HF＋OG，

∴距离和最小值为FG＝2（Rt△FQG勾股定理）

【知识点】最短路径问题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质

三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2019湖北武汉，17，8分）计算：（2x2）3－x2·x4

【思路分析】根据同底数幂的乘法运算法则和积的乘方运算法则进行计算即可．

【解题过程】解：原式＝8x6－x6＝7x6

【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方

18．（2019湖北武汉，18，8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F

【思路分析】由∠A＝∠1可得到AE∥BF，进而得到∠2＝∠E，由，CE∥DF可得到∠2＝∠F，∠E＝∠F即可得证．

【解题过程】证明：∵∠A＝∠1，

∴AE∥BF，

∴∠E＝∠2．

∵CE∥DF，

∴∠F＝∠2．

∴∠E＝∠F．

【知识点】平行线的判定和性质

19．（2019湖北武汉，19，8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

各类学生人数条形统计图 各类学生人数扇形统计图

（1） 这次共抽取_________名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为__________

（2） 将条形统计图补充完整

（3） 该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？

【思路分析】（1）由条形统计图中可以看出C类的人数为12，扇形统计图中可以看出C类所占抽取学生人数的比例为24%，C类的人数除以所占抽取学生人数的比例即可得到学生总人数；D类人数所占抽取学生人数的比例乘以360°，即可得到D类所对应的扇形圆心角度数；

（2）用抽取学生人数减去B、C、D类的人数即可得到A类的人数，即可补充条形统计图；

（3）用B类学生所占抽取学生人数的比例乘以学校总人数即可得到该校B类的学生人数．

【解题过程】（1）抽取学生人数为12÷24%＝50；D类所对应的扇形圆心角的大小为，故答案为50，72°

（2）A类人数为50－23－12－10＝5，补充条形统计图如图

（3）1500×＝690（人），∴估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人．

【知识点】条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体．

20．（2019湖北武汉，20，8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由

（1） 如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC

（2） 如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC

（3） 如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB

图1 图2

【思路分析】（1）作平行四边形AFDC即可；

（2）作C关于AB的对称点C′，连接C′D，交AB于点G即可

（3）将线段CD向下平移三个单位长度，得到C1D1，过E作EM∥CC1，交C1D1于点M即为所求．

【解题过程】（1）画图如图1；（2）画图如图1；（3）画图如图2．

图1 图2

【知识点】网格作图

21．（2019湖北武汉，21，8分）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点

（1） 如图1，求证：AB2＝4AD·BC

（2） 如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积

图1 图2

【思路分析】（1）分别连接OD、OE、OC，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，由切线的性质可得OD平分∠ADC，OC平分∠BCD，由于AD∥BC，不难得到∠ODE＋∠OCE＝90°，因为∠ODE＋∠DOE＝90°，从而∠DOE＝∠OCE，进而可得△ODE∽△COE，则OE2＝ED·EC，又AB＝2OE，AD＝ED，EC＝BC，带入即可得到AB2＝4AD·BC

（2）由（1）知∠ADE＝∠BOE，又∠ADE＝2∠OFC，∠BOE＝2∠COF＝2∠BOC，即∠COF＝∠OFC＝∠BOC，则CD垂直平分OF，则∠AOD＝∠DOE＝∠OFD＝30°，∠BOE＝120°，从而求得圆的半径OA＝，用2S△OBC－S扇形OBE即可得到阴影部分的面积．

【解题过程】

证明：（1）如图1，连接OD，OC，OE．

∵AD，BC，CD是⊙O的切线，

∴OA⊥AD，OB⊥BC，OE⊥CD，AD＝ED，BC＝EC，∠ODE＝∠ADC，∠OCE＝∠BCD

∴AD//BC，∴∠ODE＋∠OCE＝（∠ADC＋∠BCD）＝90°，

∵∠ODE＋∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠OCE．

又∵∠OED＝∠CEO＝90°，

∴△ODE∽△COE．

∴，OE2＝ED·EC

∴4OE2＝4AD·BC，∴AB2＝4AD·BC

（2）解：如图2，由（1）知∠ADE＝∠BOE，

∵∠ADE＝2∠OFC，∠BOE＝∠2COF，

∴∠COF＝∠OFC，∴△COF等腰三角形。

∵OE⊥CD，∴CD垂直平分OF．

∴∠AOD＝∠DOE＝∠OFD＝30°，∠BOE＝120°．

∴，BC＝OB tan60°＝3．

∴S阴影＝2S△OBC－S扇形OBE＝3－π．

图1 图2

【知识点】切线的性质，切线长定理，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，扇形面积的计算

22．（2019湖北武汉，22，10分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：

注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）

（1） ① 求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）

② 该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元

（2） 由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值

【思路分析】（1）①利用待定系数法设y＝kx＋b，带入两个点的坐标即可求得y关于x的函数解析式为y＝－2x＋200；

②将售价50，周销售量100，周销售利润1000，带入周销售利润＝周销售量×（售价－进价）即可得到进价为40；周销售利润w＝（x－40）y＝（x－40）（－2x＋200），利用二次函数性质求出w的最大值即可，w取得最大值的点即为所对应的售价．

（2）w＝（x－40－m）（－2x＋200），其中x≤65，利用二次函数性质求出w的最大值令其等于1400，即可求得m的值．

【解题过程】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，依题意有，，解得，k＝－2，b＝200，y与x的函数关系式是y＝－2x＋200；

（2）将售价50，周销售量100，周销售利润1000，带入周销售利润＝周销售量×（售价－进价）得到，1000＝100×（50－进价），即进价为40元/件；周销售利润w＝（x－40）y＝（x－40）（－2x＋200）＝－2（x－70）2＋1800，故当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元，故答案为40，70，1800；

（3）依题意有，w＝（－2x＋200）（x－40－m）＝－2x2＋（2m＋280）x－8000－200m＝

∵m＞0，∴对称轴，

∵－2＜0，∴抛物线开口向下，

∵x≤65，∴w随x的增大而增大，

∴当x＝65时，w有最大值（－2×65＋200）（65－40－m），

∴（－2×65＋200）（65－40－m）＝1400，

∴m＝5．

【知识点】待定系数法，二次函数的性质，二次函数的实际应用

23．（2019湖北武汉，23，20分）在△ABC中，∠ABC＝90°，，M是BC上一点，连接AM

（1） 如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN

（2） 过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q

① 如图2，若n＝1，求证：

② 如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）

【思路分析】（1）n＝1，即AB＝BC，延长AM交CN于点H，由∠BAM＋∠N＝90°，∠BCN＋∠N＝90°得∠BAM＝∠BCN，则△ABM≌△CBN，故BM＝BN；

（2）过点C作CD∥BP交AB的延长线于点D，由平行线分线段成比例可得，由（1）可知BM＝BD，即得证；

（3）延长PM到N，使得MN＝PM，易知△PBM≌△NCM，则∠CNM＝∠BPM＝90°，即BP∥CN，所以∠BPQ＝∠NCP，由得，设PM＝MN＝1，则BP＝CN＝2n，tan∠BPQ＝tan∠NCP＝即可求解．

【解题过程】

（1）证明：延长AM交CN于点H，

∵AM与CN垂直，∠ABC＝90°，

∴∠BAM＋∠N＝90°，∠BCN＋∠N＝90°，

∴∠BAM＝∠BCN．

∵n＝1，∠ABC＝90°，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠CBN．

∴△ABM≌△CBN，

∴BM＝BN．

（2）①证明：过点C作CD//BP交AB的延长线于点D，则AM与CD垂直．

由（1），得BM＝BD．

∵CD//BP，∴，即

②

提示：延长PM到N，使得MN＝PM，易知△PBM≌△NCM，则∠CNM＝∠BPM＝90°，∵，BC＝2BM，∴，设PM＝MN＝1，则PB＝CN＝2n，tan∠BPQ＝tan∠NCP＝＝＝＝

【知识点】全等三角形的判定和性质；平行线分线段成比例；平行线的判定和性质；锐角三角函数的定义．

24．（2019湖北武汉，24，12分）已知抛物线C1：y＝（x－1）2－4和C2：y＝x2

（1） 如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？

（2） 如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ

① 若AP＝AQ，求点P的横坐标

② 若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标

（3） 如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系

【思路分析】（1）由抛物线平移规则“左加右减，上加下减”

（2）①如图1①，kAB＝和A（3，0），AP＝AQ，PQ⊥AO．∠PAO＝∠QAO易求AB：y＝

AQ：y＝联立得∴

②如图1②，设P和Q横坐标设为t，表示P和Q的坐标，易求：PQ＝，PA＝

∵PA＝PQ∴ ∴

（3）设ME：联立ME和抛物线 可得

同理： 从而求出交点

∴S△MNE

化简得：

【解题过程】

（1）先向左平移1个单位，在向上平移4个单位

（2）①kAB＝和A（3，0）易求AB：y＝

∵AP＝AQ，PQ⊥AO．∠PAO＝∠QAO

∴AQ：y＝

联立得∴

②设P（t，）则Q（t，）易求：PQ＝，PA＝

∵PA＝PQ

∴ ∴

（3）设ME：

联立则

∴

∴

∴

同理：

化简得：

【知识点】抛物线平移规则，直线与抛物线相交线段相等问题，抛物线双切线问题