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    2019年青海省中考数学试卷以及解析版-

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    2019年青海省中考数学试卷
    一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分） 1．（4分）5的绝对值是 ；27的立方根是 ．
    82．（4分）分解因式：ma26ma9m ；分式方程32的解为 ． x3x3．（2分）世界科技不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有0.000000006米的晶体管，该数用科学记数法表示为 米．
    4．（2分）某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为 ． 5．（2分）如图，P是反比例函数yk图象上的一点，过点P向x轴作垂线交于点A，连x接OP．若图中阴影部分的面积是1，则此反比例函数的解析式为 ．

    6．（2分）如图，在直角坐标系中，已知点A(3,2，将ABO绕点O逆时针方向旋转180后得到CDO，则点C的坐标是 ．

    7．（2分）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：（结果保留根AM4米，AB8米，MAD45，MBC30，则CD的长为 米．号）
    第1页（共26页）




    8．（2分）一只不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是3个红珠子，4个白珠子和5个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续9次摸出的都是红珠子的情况下，第10次摸出红珠子的概率是 ．
    9．（2分）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5:1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 cm．

    10．（2分）根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y值等于 ．

    11．（2分）如图在正方形ABCD中，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为 ．

    12．（4分）如图，将图1中的菱形剪开得到图2，图中共有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3，图中共有7个菱形；如此剪下去，第5图中共有 个菱形，第n个图中共有 个菱形．
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    二、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）
    13．（3分）下面几何体中，俯视图为三角形的是(
    A． B．

    C． D．
    14．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两个三角板的一直角边重合，含30角的三角板的斜边与纸条一边重合，含45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1的度数是(

    A．15
    B．22.5
    C．30
    D．45
    15．（3分）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为(

    A．10g，40g B．15g，35g C．20g，30g D．30g，20g
    16．（3分）为了了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如下表，这组数据的中位数和众数为(
    第3页（共26页）



    每周做家务的时间(h
    人数（人 A．2.5和2.5
    0 2
    1 2
    1.5 6
    2 8 C．2.5和3
    2.5 12
    3 13
    3.5 4
    4 3
    B．2.25和3 D．10和13
    17．（3分）如图，小莉从A点出发，沿直线前进10米后左转20，再沿直线前进10米，又向左转20，，照这样走下去，她第一次回到出发点A时，一共走的路程是(

    A．150米
    B．160米
    C．180米
    D．200米
    18．（3分）如图，AD//BE//CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB1，BC3，DE1.2，则DF的长为(

    A．3.6
    B．4.8
    C．5
    D．5，2
    19．（3分）如图，在扇形AOB中，AC为弦，AOB140，CAO60，OA6，则BC的长为(

    A．4
    3B．8
    3C．23 D．2
    20．（3分）大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是(
    第4页（共26页）




    A． B．

    C． D．
    三、（本大题共3小题，第21题5分，第2题5分，第23题8分，共18分） 121．（5分）计算：(4910(1|21|2cos45
    33m22m122．（5分）化简求值：(；其中m21 m2m2m223．（8分）如图，在ABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F，连接CF．
    （1）求证：AEFDEB； （2）证明四边形ADCF是菱形．

    四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题8分，第26题9分，共26分）
    24．（9分）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨．
    （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；
    （2）若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？
    25．（8分）如图，在O中，点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，过点A作AECD于点E．
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    （1）求证：AE是O的切线； （2）若AE2，sinADE2，求O的半径．
    3
    26．（9分）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某大学利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表，图）: 血型统计表
    血型 人数
    A


    B
    10
    AB
    5
    O

    （1）本次随机抽取献血者人数为 人，图中m ； （2）补全表中的数据；
    （3）若这次活动中该校有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？
    （4）现有4个自愿献血者，2人为O型，1人为A型，1人为B型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为O型的概率．

    五、（本大题共2小题，第27题10分，第28题12分，共22分）
    27．（10分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形122a2b2c22[ab(]① 式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S42这是中国古代数学的瑰宝之一．
    第6页（共26页）



    而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设pabc（周长的一半），则S2p(pa(pb(pc②
    （1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
    （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①②或者②①；
    （3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记pabc，S为三角形面积，则Spr．
    2
    28．（12分）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A(1,0、B(5,0、C(0,4三点．

    （1）求抛物线的解析式和对称轴；
    （2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PAPC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；
    （3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）


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    2019年青海省中考数学试卷答案与解析
    一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分） 1．（4分）
    【分析】分别根据绝对值的定义、立方根的定义即可求解． 【解答】解：5的绝对值是5； 273的立方根是． 82故答案为：5，3．
    2【点评】此题主要考查了实数的定义及有关性质，要求学生熟悉立方根、绝对值的相关概念和性质． 2．（4分）
    【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：原式m(a26a9m(a32； 去分母得：3x2x6， 解得：x6，
    经检验x6是分式方程的解． 故答案为：m(a32；x6
    【点评】此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2分）．
    【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
    【解答】解：0.0000000066109． 故答案为：6109
    【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10n，其中1„|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．（2分）．
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    【分析】设平均每次降价的百分比是x，则第一次降价后的价格为60(1x元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60(1x(1x元，从而列出方程，然后求解即可．
    【解答】解：设平均每次降价的百分比是x，根据题意得：
    60(1x248.6，
    解得：x10.110%，x21.9（不合题意，舍去）， 答：平均每次降价的百分比是10%； 故答案为：10%．
    【点评】本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1x2b． 5．（2分）
    【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，PAO的面积限求出k的值即可．
    【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得，
    1PAO面积等于|k|，
    21即|k|1， 21k，
    2    1|k|，再根据图象所在象2由于函数图象位于第一、三象限，则k故答案为：1．
    21， 2【点评】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．该知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 6．（2分）
    【分析】根据中心对称的性质解决问题即可． 【解答】解：由题意A，C关于原点对称， A(3,2， C(3,2，
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    股本答案为(3,2．
    【点评】本题考查中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（2分）
    【分析】在RtCMB中求出CM，在RtADM中求出DM即可解决问题．
    【解答】解：在RtCMB中，CMB90，MBAMAB12米，MBC30， CMMBtan3012343，
    3在RtADM中，AMD90，MAD45， MADMDA45，
    MDAM4米，
    CDCMDM(434米，
    故答案为：434．

    【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题中考常考题型． 8．（2分）．
    【分析】每次只摸出一个珠子时，布袋中共有珠子12个，其中红珠子3个，可以直接应用求概率的公式．
    【解答】解：因为每次只摸出一个珠子时，布袋中共有珠子12个，其中红珠子3个， 所以第10次摸出红珠子的概率是故答案是：1．
    431． 124【点评】本题考查了概率的意义，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式． 9．（2分）
    【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A第10页（共26页）



    向下压的长度．
    【解答】解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM//BN； 易知：ACM∽BCN；
    ACAM，
    BCBN杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5:1，
    AM5，即AM5BN； BN1当BN…10cm时，AM…50cm；
    故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50cm． 故答案为：50．

    【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键． 10．（2分）
    【分析】由题意输入x1然后平方得x2，然后再3小于0，乘以13，可得y的值． 【解答】解：当x1时，x23130， y(13(13132，
    故答案为：2．
    【点评】此题是一道程序题，做题时要按照程序一步一步做，主要考查代数式求值，是一道常考的题型． 11．（2分）
    【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积SCEB，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：连接BE，

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    可得，AEBE，AEB90，
    111且阴影部分面积SCEBSABCS正方形ABCD221
    244故答案为1
    【点评】本题考查正方形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形，属于中考常考题型． 12．（4分）
    【分析】观察图形可知，每剪开一次多出3个菱形，然后写出前4个图形中菱形的个数，根据这一规律写出第n个图形中的菱形的个数的表达式； 【解答】解：（1）第1个图形有菱形1个， 第2个图形有菱形413个， 第3个图形有菱形7132个， 第4个图形有菱形10133个，
    ，
    第n个图形有菱形13(n1(3n2个， 当n5时，3n213， 故答案为：13，(3n2．
    【点评】此题考查图形的变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
    二、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）
    13．（3分）下面几何体中，俯视图为三角形的是(
    A． B．

    C． D．
    【分析】利用从上面看到的图叫做俯视图判断即可． 【解答】解：A、俯视图为矩形；
    第12页（共26页）



    ； B、俯视图为圆（带有圆心）C、俯视图为圆；
    D、俯视图为三角形；
    故选：D．
    【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题关键． 14．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两个三角板的一直角边重合，含30角的三角板的斜边与纸条一边重合，含45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1的度数是(

    A．15
    B．22.5
    C．30
    D．45
    【分析】过A点作AB//a，利用平行线的性质得AB//b，所以12，3430，加上2345，易得115． 【解答】解：如图，过A点作AB//a，
    12，
    a//b， AB//b， 3430，
    而2345， 215， 115．
    故选：A．

    【点评】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
    15．（3分）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别为(
    第13页（共26页）




    A．10g，40g B．15g，35g C．20g，30g D．30g，20g
    【分析】根据图可得：3块巧克力的重2个果冻的重；1块巧克力的重1个果冻的重50克，由此可设出未知数，列出方程组．
    【解答】解：设每块巧克力的重x克，每个果冻的重y克，由题意得：
    3x2y，
    xy50x20解得：．
    y30故选：C．
    【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的相等关系，列出方程组．
    16．（3分）为了了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如下表，这组数据的中位数和众数为( 每周做家务的时间(h
    人数（人 A．2.5和2.5
    0 2
    1 2
    1.5 6
    2 8 C．2.5和3
    2.5 12
    3 13
    3.5 4
    4 3
    B．2.25和3 D．10和13
    【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【解答】解：表中数据为从小到大排列，第25个，第26个数都是2.5，故中位数是2.5； 数据3小时出现了13次最多为众数． 故选：C．
    【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
    17．（3分）如图，小莉从A点出发，沿直线前进10米后左转20，再沿直线前进10米，又第14页（共26页）



    向左转20，，照这样走下去，她第一次回到出发点A时，一共走的路程是(

    A．150米
    B．160米
    C．180米
    D．200米
    【分析】多边形的外角和为360，每一个外角都为20，依此可求边数，再求多边形的周长． 【解答】解：多边形的外角和为360，而每一个外角为20，
    多边形的边数为3602018， 小莉一共走了：1810180（米．
    故选：C．
    【点评】本题考查了多边形的外角与内角，利用多边形外角和除以一个外角得出多边形的边数是解题关键．
    18．（3分）如图，AD//BE//CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB1，BC3，DE1.2，则DF的长为(

    A．3.6
    B．4.8
    C．5
    D．5，2
    【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【解答】解：AD//BE//CF，
    ABDE11.2，即，
    BCEF3EFEF3.6，
    DFEFDE3.61.24.8，
    故选：B．
    【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
    第15页（共26页）



    19．（3分）如图，在扇形AOB中，AC为弦，AOB140，CAO60，OA6，则BC的长为(

    A．4
    3B．8
    3C．23 D．2
    【分析】连接OC，根据等边三角形的性质得到BOC80，根据弧长公式计算即可． 【解答】解：连接OC， OAOC，CAO60， AOC为等边三角形， AOC60，
    BOCAOBAOC1406080，
    则BC的长故选：B．
    8068，
    1803
    【点评】本题考查的是弧长的计算，等边三角形的判定和性质，掌握弧长公式：l解题的关键．
    20．（3分）大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是(
    nr是180
    第16页（共26页）



    A． B．

    C． D．
    【分析】由于原来水位较低，乌鸦沉思一会后才想出办法，说明将在沉思的这段时间内水位没有变化，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，由此即可作出判断．
    【解答】解：乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化，
    排除C，
    乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，
    排除A，
    乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，
    排除B，
    D正确．
    故选：D．
    【点评】本题考查动点问题的函数图象问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
    三、（本大题共3小题，第21题5分，第2题5分，第23题8分，共18分） 121．（5分）计算：(4910(1|21|2cos45
    3【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
    【解答】解：原式1321213212
    2
    23．
    【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
    第17页（共26页）



    3m22m122．（5分）化简求值：(；其中m21 m2m2m2【分析】先化简分式，然后将m的值代入求值．
    3m24(m12【解答】解：原式( m2m2m2(m1(m1m2
    m2(m12m1， m1当m21时， 原式21121121．
    【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
    23．（8分）如图，在ABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F，连接CF．
    （1）求证：AEFDEB； （2）证明四边形ADCF是菱形．

    【分析】（1）由“AAS”可证AFEDBE；
    （2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形的性质可得ADCD，即可得四边形ADCF是菱形． 【解答】证明：（1）AF//BC，
    AFEDBE
    ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
    AEDE，BDCD
    在AFE和DBE中， AFEDBEAEFBED， AEDEAFEDBE(AAS
    （2）由（1）知，AFBD，且BDCD，
    第18页（共26页）



    AFCD，且AF//BC，
    四边形ADCF是平行四边形
    BAC90，D是BC的中点， AD1BCCD，
    2四边形ADCF是菱形．
    【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明ADCD是本题的关系．
    四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题8分，第26题9分，共26分）
    24．（9分）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨．
    （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；
    （2）若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？
    【分析】（1）设安排x辆大型车，则安排(30x辆中型车，根据30辆车调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可得出各运输方案；
    （2）根据总运费单辆车所需费用租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
    【解答】解：（1）设安排x辆大型车，则安排(30x辆中型车， 8x3(30x„190依题意，得：，
    5x6(30x„162解得：18剟x20．
    x为整数，
    x18，19，20．
    符合题意的运输方案有3种，方案1：安排18辆大型车，12辆中型车；方案2：安排19辆大型车，11辆中型车；方案3：安排20辆大型车，10辆中型车． （2）方案1所需费用为：900186001223400（元， 方案2所需费用为：900196001123700（元，
    第19页（共26页）



    方案3所需费用为：900206001024000（元． 234002370024000，
    方案1安排18辆大型车，12辆中型车所需费用最低，最低费用是23400元．
    【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
    25．（8分）如图，在O中，点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，过点A作AECD于点E．
    （1）求证：AE是O的切线； （2）若AE2，sinADE2，求O的半径．
    3
    【分析】（1）连接OA，如图，利用AOB的中位线得到CD//OA．则可判断AOAE，即可证得结论；
    （2）连接OD，如图，利用垂径定理得到ODAB，再在RtAED中利用正弦定义计算出AD3，接着证明OADADE．从而在RtOAD中有sinOAD2，设OD2x，则3OA3x，利用勾股定理可计算出AD5x，从而得到5x3，然后解方程求出x即可得到O的半径长．
    【解答】（1）证明：连接OA，如图， 点C、D分别是半径OB、弦AB的中点， DC//OA，即EC//OA， AECD， AEAO，
    AE是O的切线；
    （2）解：连接OD，如图， ADCD， ODAB，
    第20页（共26页）



    ODA90，
    在RtAED中，sinADEAD3， CD//OA， OADADE．
    AE2， AD3在RtOAD中，sinOAD设OD2x，则OA3x，
    2，
    3AD(3x2(2x25x，
    即5x3，解得xOA3x95，
    595． 535，
    5即O的半径长为
    【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用以及解直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键．
    26．（9分）“只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”．某大学利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表，图）: 血型统计表
    血型 人数
    A
    12

    B
    10
    AB
    5
    O


    （1）本次随机抽取献血者人数为 人，图中m ； （2）补全表中的数据；
    （3）若这次活动中该校有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？
    （4）现有4个自愿献血者，2人为O型，1人为A型，1人为B型，若在4人中随机挑选2第21页（共26页）



    人，利用树状图或列表法求两人血型均为O型的概率．

    【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；
    （2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；
    （3）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的概率，然后用3000乘以此概率可估计这3000人中是A型血的人数；
    （4）画出树状图，根据概率公式即可得到结果．
    【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为510%50（人， 所以m1010020；
    50故答案为50，20；

    （2）O型献血的人数为46%5023（人，
    A型献血的人数为501052312（人，
    血型 人数
    A
    12
    B
    10
    AB
    5
    O
    23
    故答案为12，23；

    （3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率13006312，
    25126， 5025估计这1300人中大约有312人是A型血；

    （4）画树状图如图所示，
    第22页（共26页）




    所以P两个O型21． 126【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图．
    五、（本大题共2小题，第27题10分，第28题12分，共22分）
    27．（10分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形122a2b2c22[ab(]① 式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S42这是中国古代数学的瑰宝之一．
    而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设pabc（周长的一半），则S2p(pa(pb(pc②
    （1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
    （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①②或者②①；
    （3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记pabc，S为三角形面积，则Spr．
    2
    1252728225782S[57(]103，【分析】（1）由公式①得：由②得：p10，422S10(105(107(108103；
    第23页（共26页）



    （2）求出2pab，c把①中根号内的式子可化为：1a2b2c2a2b2c211(ab(ab(abc(abc(cab(cab2p(2p2c(2p2b(2p2ap(pa(pb(pc4221616，即可得出结论；
    （3）连接OA、OB、OC，SSAOBSAOCSBOC，由三角形面积公式即可得出结论． 1225272822[57(]103， 【解答】解：（1）由①得：S42由②得：p578210， S10(105(107(108103；
    （2）公式①和②等价；推导过程如下： pabc2， 2pabc，
    ①中根号内的式子可化为：
    1a2b2c2a2b2c24(ab2(ab2 1(2aba2b2c2(2aba2b216c2 1[(ab2c2][c2(ab216] 116(abc(abc(cab(cab
    1    162p(2p2c(2p2b(2p2a p(pa(pb(pc，
    122a2b2c24[ab(22]p(pa(pb(pc；
    （3）连接OA、OB、OC，如图所示：
    SS111abcAOBSAOCSBOC2rc2rb2ra(2rpr．第24页（共26页）





    【点评】本题考查了三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式；熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键．
    28．（12分）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A(1,0、B(5,0、C(0,4三点．

    （1）求抛物线的解析式和对称轴；
    （2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PAPC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；
    （3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索） 【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：ya(x1(x5a(x26x5，即可求解；
    （2）连接B、C交对称轴于点P，此时PAPC的值为最小，即可求解；
    S四边形OEBFOByE5yE12，（3）则yE12，将该坐标代入二次函数表达式即可求解．
    5【解答】解：（1）将点A、 B的坐标代入二次函数表达式得：ya(x1(x5a(x26x5，则5a4，解得：a4， 54424抛物线的表达式为：y(x26x5x2x4，
    555函数的对称轴为：x3，
    第25页（共26页）



    顶点坐标为(3,16；
    5（2）连接B、C交对称轴于点P，此时PAPC的值为最小，

    05kb将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ykxb得：，
    b44k解得：5，
    b44直线BC的表达式为：yx4，
    5当x3时，y8故点P(3,；
    58， 5
    （3）存在，理由：
    四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形， 则S四边形OEBFOByE5yE12， 则yE12，将该坐标代入二次函数表达式得：
    5412， y(x26x555解得：x37， 故点E的坐标为(37，1212或(37，． 55【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（2），求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法

    第26页（共26页）


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