人在雨中奔跑速度与淋雨量的关系

1、问题重述

淋雨是我们生活中常见的事件，已知要在雨中的一处沿直线跑到另一处，设雨速为常数且保持方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快淋雨量越少。

可以将人体的模型简化为一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m,设跑步距离word/media/image1_1.png=1000m，跑步最大速度word/media/image2_1.png=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v。

问题一，在不考虑雨方向的情况下，设降雨淋遍全身，人体以最大速度跑步，建立模型估计跑完全程的总淋雨量。

问题二，雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1,建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,l,w,θ之间的关系，问速度多大时，总淋雨量最少，计算word/media/image3_1.png 和word/media/image4_1.png时的总淋雨量。

问题三，与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,l,u,w之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算αword/media/image5_1.png时的总淋雨量。

2、问题分析

问题一，将人体简化成长方体，雨以降雨量w均匀地淋遍全身，求出人接受雨的总 面积，人以最大速度跑步，并计算淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量w。

问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为θ，如图1所示。根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前后左右几个方向上。雨迎面吹来时，由于雨相对于人的速度有变化，因此人单位时间内接收雨量变化，且与相对速度成正比。据此，推算出前后侧上单位时间接受雨量。同理，头顶部位接雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比。分别计算出头顶侧与前后侧单位时间接雨量，并分别乘以各自面积以及时间d/t,即得到头顶及两侧淋雨的总量。在人体总的淋雨量.据此可得w与v之间关系，并能求出word/media/image7_1.png和word/media/image8_1.png时的总淋雨量。

问题三，与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,l,u,w之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算αword/media/image5_1.png时的总淋雨量。

3、模型的假设与符号说明

3、1 基本假设

1、假设人行走的路线是直线； 2、不考虑风的方向（即假定前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数； 3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c 表示，且abc都是定值。

3、2 符号说明

a---长方体的长 单位：m b---长方体的宽 单位：m

c---长方体的厚度 单位：m w---降雨量 单位：L

v---人跑步的速度 单位：m/s l---路程 单位:m

word/media/image2_1.png---人跑步的最大速度 单位：m/s t---淋雨时间 单位:s

u---雨滴下落的速度 单位：m/s word/media/image9_1.png---雨迎面吹来时与人体的夹角

α---与从后面吹来与人体的夹角 Q---淋雨量 单位：L

s---全身面积 单位：word/media/image10_1.png

4、模型的建立与求解

4.1 问题一：

全身面积 s= 2(ab+bc+ac)=2.2word/media/image10_1.png

淋雨时间 t=l/v=1000/5=200s

降雨量 w=2cm/h=word/media/image11_1.pngcm/s

故，淋雨量 Q=stw=word/media/image12_1.pngL

4.2 问题二：

若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量。 （如图1）

设雨从迎面吹来时与人体夹角为word/media/image14_1.png ，且 0°<word/media/image15_1.png<90°，建立a，b，c，d，u，word/media/image16_1.png，word/media/image14_1.png之间的关系为：

（1）考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为word/media/image17_1.png且方向与v相反，故人相对于雨的水平速度为：

word/media/image18_1.png

则前部单位时间单位面积淋雨量为：

word/media/image19_1.png

又因为前部的淋雨面积为：word/media/image20_1.png，时间为： d/v

于是前部淋雨量V2为 ：

word/media/image21_1.png

即：

word/media/image22_1.png ①

（2）考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为word/media/image23_1.png，顶部面积为word/media/image24_1.png ，淋雨时间为word/media/image25_1.png ，于是顶部淋雨量为：

word/media/image26_1.png ②

由①②可算得总淋雨量：

word/media/image27_1.png

代入数据求得：

word/media/image28_1.png

由V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度（v）以及雨线与人的夹角（word/media/image29_1.png）两者有关。

对函数V（v）求导，得：

word/media/image30_1.png

显然：word/media/image31_1.png<0， 所以V为v的减函数，V随v增大而减小。

因此，速度v=vm=5m/s ，总淋雨量最小。

（Ⅰ）当θ=0，代入数据，解得：

V＝0.0011527778（m³）≈1.153（L）

（Ⅱ）当θ=30°，代入数据，解得：

V＝0.0014025(m³)≈1.403（L）

4.3 问题三

若雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后部淋雨量。（如图2）

设雨从背部吹来时与人体夹角为word/media/image33_1.png， 且0°＜word/media/image33_1.png﹤90°,建立a，b，c，d，u，word/media/image33_1.png，word/media/image16_1.png之间的关系为：

（1）先考虑顶部淋雨量：当雨从背面吹来，而对于人顶部的淋雨量 V1 ，它与模型①中一样，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：

word/media/image34_1.png

（2）后部淋雨量：人相对于雨的水平速度为：word/media/image35_1.png

从而可得，人背部单位时间单位面积淋雨量为：word/media/image36_1.png

可得人背部淋雨量为： word/media/image37_1.png

而总淋雨量：V=V1＋ V3

从而有：word/media/image38_1.png ③

化简③式得：word/media/image39_1.png ④

代入相关数据化简得：word/media/image40_1.png ⑤

由V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度（v）以及雨线与人的夹角（word/media/image33_1.png）两者有关。

（Ⅰ） 当word/media/image41_1.png时，且0°＜word/media/image33_1.png﹤90°，可得：c cosα＋a sinα>0

对⑤式求导，易知word/media/image42_1.png<0；所以，总淋雨量（V）随着速度（v）的增加而减少，

因此，word/media/image43_1.png 总淋雨量最小。

（Ⅱ）当v >u sinα时，且0°＜α﹤90°，对⑤式求导：

解得：word/media/image44_1.png

(1)当1.5sinα－0.2 cosα<0时，即 ：tanα<2/15,即V`<0；从而推出，总淋雨量（V）随着速度（v）的增加而减少，所以，速度v=vm ，总淋雨量最小。

（2）当1.5sinα－0.2 cosα>0时，即 ：tanα>2/15,即V`>0；从而推出，

总淋雨量（V）随着速度（v）的增加而增加，所以，当速度（v）取最小，

即v=u sinα 总淋雨量最小。

当α＝30°，tanα>2/15 ，由模型⑶分析的，当v=u sinα=4×1/2=2（m/s）

总淋雨量最小，且V=0.0002405（m³）=0.2405(L)