2019年江苏省无锡市中考数学一模试卷

一．选择题（共10小题，满分30分）

1．﹣5的绝对值是（　　）

A． B．5 C．﹣5 D．﹣

2．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣2且x≠0 B．x≤2且x≠0 C．x≠0 D．x≤﹣2

3．下列计算正确的是（　　）

A．（a+b）2＝a2+b2 B．（﹣2a2）2＝﹣4a4

C．a5÷a3＝a2 D．a4+a7＝a11

4．在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A． 晴 B．冰雹 C． 雷阵雨 D．大雪

5．在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22．则这组数据中的众数和中位数分别是（　　）

A．22个、20个 B．22个、21个 C．20个、21个 D．20个、22个

6．若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为（　　）

A．15πcm2 B．24πcm2 C．39πcm2 D．48πcm2

7．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）

A．两组对边分别相等

B．两条对角线相等

C．四个内角都是直角

D．每一条对角线平分一组对角

8．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．

10．如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点M，N，并且点M坐标为（1，3），点N坐标为（﹣3，﹣1），根据图象信息可得关于x的不等式＜kx+b的解为（　　）

A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜0

C．﹣3＜x＜1 D．﹣3＜x＜0或x＞1

二．填空题（满分16分，每小题2分）

11．分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2＝　 　．

12．将473000用科学记数法表示为　 　．

13．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是　 　．

14．若函数y＝的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围为　 　．

15．如图，点E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，联结CE交AD于F，交对角线BD于G，若DF＝2AF，那么EF：FG：GC＝　 　．

16．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是　 　cm．

17．直角三角形纸片的两直角边BC，AC的长分别为6，8，现将△ABC如下图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则CE的长为　 　．

18．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段

PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是　 　．

三．解答题（共10小题，满分84分）

19．（8分）（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30°

（2）化简：（a+1）2﹣a（a+1）﹣1．

20．（8分）（1）解方程：＝．

（2）解不等式组：

21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．

22．（6分）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．

（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；

（2）在图2中分别画出三个顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；

（3）在△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．

23．（8分）为庆祝建党90周年，某校开展学党史活动，学校决定围绕“你最喜欢的了解党史的途径是什么”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．问卷要求学生从“自己阅读、听讲座、网上查找资料、其他形式”四种途径任选一种，学校将收集的调查问卷适当整理后，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图所给的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

（2）请补全下面的条形统计图和扇形统计图；

（3）如果全校有1500名学生，请你估计全校最喜欢“网上查找资料”这种途径的学生约有多少名？

24．（8分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．

（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是　 　．

（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．

（1）求AB的长；

（2）求点C和点D的坐标；

（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（10分）如图①，Rt△ABC中，∠B＝90°∠CAB＝30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）

（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．

（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．

（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO＝PQ，请说明理由．

27．（10分）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．

（1）当DC⊥AB时，则＝　 　；

（2）①当点D在上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；

②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；

（3）当＝时，求的值．

28．（10分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．

（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．

①分别求函数y1、y2的表达式；

②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；

（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；

（3）设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．

参考答案

一．选择题

1．解：﹣5的绝对值是5，

故选：B．

2．解：根据题意得：x+2≥0且3x≠0，

解得：x≥﹣2且x≠0．

故选：A．

3．解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，此选项错误；

B、（﹣2a2）2＝4a4，此选项计算错误；

C、a5÷a3＝a2，此选项计算正确；

D、a4，a7不是同类项，此选项计算错误；

故选：C．

4．解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．

故选：A．

5．解：在这一组数据中20出现了3次，次数最多，故众数是20；

把数据按从小到大的顺序排列：19，20，20，20，22，22，23，24，

处于这组数据中间位置的数20和22，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是21．

故选：C．

6．解：这个圆锥的全面积＝•2π•3•5+π•32＝24π（cm2）．

故选：B．

7．解：∵菱形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角，；平行四边形具有的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分；

∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：每一条对角线平分一组对角．

故选：D．

8．解：如图，连接OA、OB，

∵BM是⊙O的切线，

∴∠OBM＝90°，

∵∠MBA＝140°，

∴∠ABO＝50°，

∵OA＝OB，

∴∠ABO＝∠BAO＝50°，

∴∠AOB＝80°，

∴∠ACB＝∠AOB＝40°，

故选：A．

9．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，

∴，故A正确，，

∵AD＝BC，

∴，故B正确；

∵DE∥BC，

∴，

∴，故C错误；

∵DF∥AB，

∴，故D正确．

故选：C．

10．解：∵点M坐标为（1，3），点N坐标为（﹣3，﹣1），

∴关于x不等式＜kx+b的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1，

故选：D．

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

11．解：原式＝3x（x﹣2xy+y2），

故答案为：3x（x﹣2xy+y2）

12．解：将473000用科学记数法表示为4.73×105．

故答案为：4.73×105．

13．解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，

据此可得＝40，

解得n＝9．

故答案为9．

14．解：∵函数y＝的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，

∴m﹣2＜0，解得m＜2．

故答案为m＜2．

15．解：设AF＝x，则DF＝2x，

∵▱ABCD，

∴EB∥CD，AD∥BC，AD＝BC＝AF+DF＝3x

∴△AEF∽DCF，△DFG∽△GBC，

∴，＝，

∴EF：FG：GC＝5：4：6，

故答案为：5：4：6．

16．解：由题意得，BH⊥AC，

则BH＝18×4＝72，

∵斜坡BC的坡度i＝1：5，

∴CH＝72×5＝360，

∴AC＝360﹣30×3＝270（cm），

故答案为：270．

17．解：设CE为x，则BE＝AE＝8﹣x，

∵∠C＝90°，

∴BE2﹣CE2＝BC2，（8﹣x）2﹣x2＝36，

解得x＝．

18．解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．

∵AB＝4，O为AB的中点，

∴A（﹣2，0），B（2，0）．

设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．

∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，

∴∠ECP＝∠FPB．

由旋转的性质可知：PC＝PB．

在△ECP和△FPB中，

，

∴△ECP≌△FPB．

∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．

∴C（x+y，y+2﹣x）．

∵AB＝4，O为AB的中点，

∴AC＝＝．

∵x2+y2＝1，

∴AC＝．

∵﹣1≤y≤1，

∴当y＝1时，AC有最大值，AC的最大值为＝3．

故答案为：3．

三．解答题（共10小题，满分84分）

19．解：（1）原式＝+1﹣＝1；

（2）原式＝a2+2a+1﹣a2﹣a﹣1＝a．

20．解：（1）由题意可得：5（x+2）＝3（2x﹣1），

解得：x＝13，

检验：当x＝13时，（x+2）≠0，2x﹣1≠0，

故x＝13是原方程的解；

（2）解①得：x＞﹣1，

解②得：x≤6，

故不等式组的解集为：﹣1＜x≤6．

21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵AE＝CF，

∴AD﹣AE＝BC﹣CF，

即DE＝BF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

22．解：（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∵BD＝BC＝AD，

∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，

设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝（180°﹣x），

可得2x＝（180°﹣x），

解得：x＝36°，

则∠A＝36°；

（2）如图所示：

（3）分两种情况：

①如图所示：当AD＝AE时，

∵2x+x＝36°+36°，

∴x＝24°；

②如图所示：当AD＝DE时，

∵36°+36°+2x+x＝180°，

∴x＝36°；

综上所述，∠C的度数为24°或36°．

23．解：（1）16÷32%＝50（名）．

∴在这次调查中，一共抽取了50名学生；

（2）50﹣16﹣9﹣7＝18（名），

9÷50＝18%，

18÷50＝36%．

如图；

（3）1500×＝540（名）．

所以全校最喜欢“网上查找资料”这种途径的学生约有540名．

24．解：（1）选择A通道通过的概率＝，

故答案为：；

（2）设两辆车为甲，乙，

如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，

∴选择不同通道通过的概率＝＝．

25．解：（1）令x＝0得：y＝4，

∴B（0，4）．

∴OB＝4

令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，

∴A（3，0）．

∴OA＝3．

在Rt△OAB中，AB＝＝5．

∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，

∴C（8，0）．

设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．

在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，

∴D（0，﹣6）．

（3）∵S△PAB＝S△OCD，

∴S△PAB＝××6×8＝12．

∵点Py轴上，S△PAB＝12，

∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，

∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．

26．解：（1）如图，

过点B作BE⊥OA于E，则OE＝5，BE＝5，OA＝10，

∴AE＝5，Rt△ABE中，tan∠BAO＝＝，

∴∠BAO＝60°；

（2）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时AB＝10，因此点P的运动速度为10÷5＝2个单位/秒，

点P的运动速度为2个单位/秒；

（3）P（10﹣t， t）（0≤t≤5），

∵S＝（2t+2）（10﹣t），

＝﹣（t﹣）2+，

∴当时，S有最大值为，

此时；

（4）当P在AB上时，根据P点纵坐标得出：

，

解得：，

当P在BC上时，，

此方程无解，故t不存在，

综上所知当t＝时，PO＝PQ．

27．解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵C为的中点，

∴，

∴∠ADC＝∠BDC＝45°，

∵DC⊥AB，

∴∠DEA＝∠DEB＝90°，

∴∠DAE＝∠DBE＝45°，

∴AE＝BE，

∴点E与点O重合，

∴DC为⊙O的直径，

∴DC＝AB，

在等腰直角三角形DAB中，

DA＝DB＝AB，

∴DA+DB＝AB＝CD，

∴＝；

（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，

由（1）知，

∴AC＝BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，

∴∠NBC+∠BCN＝90°，∠BCN+∠MCA＝90°，

∴∠NBC＝∠MCA，

在△NBC和△MCA中，

，

∴△NBC≌△MCA（AAS），

∴CN＝AM，

由（1）知∠DAE＝∠DBE＝45°，

AM＝DA，DN＝DB，

∴DC＝DN+NC＝DB+DA＝（DB+DA），

即DA+DB＝DC；

②在Rt△DAB中，

DA2+DB2＝AB2＝m2，

∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB，

且由①知DA+DB＝DC＝t，

∴（t）2＝m2+2DA•DB，

∴DA•DB＝t2﹣m2，

∴S△ADB＝DA•DB＝t2﹣m2，

∴△ADB的面积S与t的函数关系式S＝t2﹣m2；

（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，

则NE＝ME，四边形DHEG为正方形，

由（1）知，

∴AC＝BC，

∴△ACB为等腰直角三角形，

∴AB＝AC，

∵，

设PD＝9，则AC＝20，AB＝20，

∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB，

∴△ABD∽△PBA，

∴，

∴，

∴DB＝16，

∴AD＝＝12，

设NE＝ME＝x，

∵S△ABD＝AD•BD＝AD•NE+BD•ME，

∴×12×16＝×12•x+×16•x，

∴x＝，

∴DE＝HE＝x＝，

又∵AO＝AB＝10，

∴＝×＝．

28．解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上

∴k＝8

∴y1＝

∵a＝2

∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）

把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2＝mx+n

解得

∴y2＝x﹣2

②当y1＞y2＞0时，y1＝图象在y2＝x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方

∴由图象得：2＜x＜4

（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO

∵O为AA′中点

S△AOB＝S△ABA′＝8

∵点A、B在双曲线上

∴S△AOC＝S△BOD

∴S△AOB＝S四边形ACDB＝8

由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）

∴

解得k＝6

（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）

把A′代入到y＝

﹣

∴n＝

∴A′D解析式为y＝

当x＝a时，点D纵坐标为

∴AD＝

∵AD＝AF，

∴点F和点P横坐标为

∴点P纵坐标为

∴点P在y1═（x＞0）的图象上