数学证明的教育价值
时间:2022-11-08 22:31:21 下载该word文档
>>>>数学证明的教育价值目前,数学教育界都在关注《国家数学课程标准(初稿--目标体系》的研讨,其中一个热门的话题是如何处理中学几何课程的改革。争论焦点之一是如何看待几何中逻辑推理的教育价值。为此,笔者认为首先应该探讨一下数学证明>>>>的教育价值。一、问题的提出从一组原始概念和命题(即公理出发,经过逻辑推理得到一系列的定理和证明,这就是几千年来数学学科所遵循的研究模式。但随着数学的发展,特别是电子计算机的出现,人们对上述研究模式产生了怀疑。其中最典型的一个例子就是所谓“四色问题”的证明。下面详细谈一下由“四色问题”所>>>>引起的争论。1852年,英国数学家(格思里在给他弟弟的一封信中说:“看来每幅地图若用不同颜色标出邻国,只要用四种颜色就够了。”这就是“四色问题”的由来。一百多年来数学家们不断努力企图用数学方法来证明这个结论。直至1970年左右,问题归结为计算几千个不可约构形的问题〔1〕,但其计算量之大是难以想像的,因此人们望而生畏。1976年美国两位计算机专家(阿佩尔和(哈肯找到了一种新的计算方法。他们用了三台IBM计算机经过1000多个小时(约52天的运算,“证
>>>>明”了格思里提出的结论是正确的。因此,“四色问题”得到了“证明”>>>>。阿佩尔和哈肯的“证明”引起了人们的争论。首先,他们的“证明”,其计算机程序就达400多页,要用人工去检验其程序有无问题是十分吃力的。因此,似乎无人愿意再去重复阿-哈的“证明”。其次,能否保证计算机在计算过程中绝对不出错误?第三,人们无法确定计算出现错误是计算机本身的机械或电子方面的毛病,还是“证明”>>>>过程本身逻辑有问题。于是就引起了什么是“数学证明”>>>>的争论。有些数学家认为数学证明只能是以人工可重复检验的逻辑演绎(计算也是一种演绎过程,否则只能称为计算机证明,二者不能混为一谈。因此,按这种观点,“四色问题”只>>>>能称已得到了计算机证明,而不能称已得到了数学证明。但是,另一些数学家反驳说,用人工来检验也可能产生错误。例如,数学史上曾有不少数学家(如意大利的Saccheri,法国的Legendre声称他们已“证明”了欧几里得第五公设(即欧氏平行公理。但后来发现他们的“证明”均有问题,其主要错误在于他们利用了与第五公设等价的命题,因此从逻辑上>>>>说他们都犯了循环论证的错误。>>>>另外人工逻辑演绎证明可以重复吗众所周知,群论中有一个著名的所谓有限单群的分类定
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