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    【典型题】数学高考试题(及答案)-

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    【典型题】数学高考试题(及答案

    一、选择题
    1．若tanA．3 ，则cos22sin2（ ）
    4B．64 2548
    25C．1 D．16
    252．已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2），ab与a垂直，则是（ ） A．2 A．2 B．1 B．3 C．－2 C．5 D．－1 D．7
    3．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则MN中元素的个数为( 4．设向量a，b满足a2，|b||ab|3，则a2b（ ） A．6
    B．32
    C．10
    D．42
    5．已知平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a⊥(a+2b,则向量b在向量a方向上的投影为( A．1
    A．a1,b1
    B．-1
    B．a1,b1
    C．2
    C．a1,b1
    D．-2
    D．a1,b1
    6．若a,bR,i为虚数单位，且(aiibi，则
    7．已知函数f(x3sin2xcos2xm在[0,A．（1,2）
    A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
    B．[1,2）
    2]上有两个零点，则m的取值范围是
    D．[l,2]
    C．（1,2] B．必要而不充分条件
    8．设a,bR，“a0”是“复数abi是纯虚数”的（ ）
    D．既不充分也不必要条件
    ，9．函数yf(x的导函数yf(x的图像如图所示，则函数yf(x的图像可能是

    A． B．

    C． D．
    10．设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
    X
    P
    0
    a 1 1
    31 31
    3
    则当a在（0，1）内增大时（ ） A．D(X增大 C．D(X先增大后减小
    B．D(X减小 D．D(X先减小后增大
    A．x2x2
    11．设集合Mxlog2x10，集合Nxx2，则MN（ ）
    D．x1x2
    B．xx2 C．xx2
    12．若奇函数f(x在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]上 （ ） A．是减函数，有最小值0 B．是增函数，有最小值0 C．是减函数，有最大值0 D．是增函数，有最大值0
    二、填空题
    13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m= _________ ．
    *14．设Sn是等差数列an(nN的前n项和，且a11,a47，则S5______
    15．设2a5bm,且112,则m______. ab316．若函数f(xx范围是_______.
    13122x2ax 在,上存在单调增区间，则实数a的取值23x2y217．双曲线221(a0，b0的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直ab线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a=_______________. 18．已知圆C经过A(5,1,B(1,3两点，圆心在x轴上，则C的方程为__________． 19．如图，圆C（圆心为C）的一条弦AB的长为2，则ABAC=______．


    20．若函数f(xxx1alnx在(0,上单调递增，则实数a的最小值是2__________．
    三、解答题
    21．已知数列an满足a12,an12an2n1. （1）设bnan，求数列bn的通项公式； 2n（2）求数列an的前n项和Sn； （3）记cn1nn24n22nanan1，求数列cn的前n项和Tn.
    22．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，ABAD2，CACBCDBD2. （1）求证：AO平面BCD；
    （2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值； （3）求点E到平面ACD的距离．

    23．如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，连接BD，其中DADP，BABP.

    （1）求证：PABD；
    （2）若DADP，ABP600，BABPBD2，求二面角DPCB的正弦值.
    24．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
    x2tcos (t为参数，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原y1tsin点为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为6cos.
    （1）求圆C的直角坐标方程；
    （2）设圆C与直线l交于点A,B，若点P的坐标为2,1，求PAPB的最小值. 25．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB． （Ⅰ）求B；
    （Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值. 26．已知a(3cosx,cosx，b(sinx,cosx，函数f(xab.
    （1）求f(x的最小正周期及对称轴方程； （2）当x(,]时，求f(x单调递增区间.

    【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除


    一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
    试题分析：由tan33434，得sin,cos或sin,cos，所以45555cos22sin21612644，故选A． 252525【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．
    【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
    2．D 解析：D 【解析】 【详解】
    试题分析：ab,34,24,32，由ab与a垂直可知
    a0433201 ab·考点：向量垂直与坐标运算
    3．B
    解析：B 【解析】
    试题分析：MN{1,2,6.故选B. 考点：集合的运算.
    4．D 解析：D 【解析】 【分析】
    由题意，根据向量的模的运算，可得22+32+2ab3，求得ab2，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】
    ∵向量a，b满足a2，bab3，∴22322ab3，解得ab2． 则a2ba4b4ab224324242．故选D． 【点睛】
    本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
    2    25．B 解析：B 【解析】 【分析】
    先根据向量垂直得到a(a+2b,=0，化简得到ab=﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】
    ∵平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a⊥(a+2b, ∴a(a+2b,=0， 即a·a2b0 即ab=﹣2
    ∴向量b在向量a方向上的投影为故选B． 【点睛】
    本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．
    2a·b2=﹣1， a26．C 解析：C

    【解析】 【分析】
    利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果. 【详解】
    因为(aiibi， 即1aibi，
    因为a,bR,i为虚数单位，所以a1,b1， 故选C. 【点睛】
    本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.
    7．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
    试题分析：利用辅助角公式化简函数为f(x3sin2xcos2xm时函数即为.令有,令,根据题意可知,则,所以此上有两个解,在根据在函数图像可知,

    .
    考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.
    8．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
    当a=0时，如果b=0，此时abi0是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果
    abi已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B
    【考点定位】
    本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义
    9．D 解析：D 【解析】
    原函数先减再增，再减再增，且x0位于增区间内，因此选D．
    【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x轴的交点为x0，且图象在x0两侧附近连续分布于x轴上下方，则x0为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数f'(x的正负，得出原函数f(x的单调区间．
    10．D 解析：D 【解析】 【分析】
    利用方差公式结合二次函数的单调性可得结论； 【详解】
    111a1解：E(X0a1，
    3333D(X(a121a121a121(a(1 33333312211[(a12(2a12(a22](a2a1(a2 2799260a1，D(X先减小后增大 故选：D． 【点睛】
    本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
    11．B 解析：B 【解析】 【分析】
    求解出集合M，根据并集的定义求得结果. 【详解】
    Mxlog2x10x0x11x1x2 MNxx2
    本题正确选项：B 【点睛】

    本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
    12．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
    因为f(x为奇函数，且在[1,3]上为增函数，且有最小值0， 所以f(x在[3,1]上为增函数，且有最大值0，选D.
    二、填空题

    13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x若x满足|x|≤m的概率为若m对于3概率大于若m小于3概率小于所以m=3故答案为3 解析：3 【解析】 【分析】 【详解】
    如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，若m对于3概率大于，若m小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．

    14．25【解析】由可得所以
    解析：25 【解析】
    由a11,a47可得a11,d2,an2n1，所以S5(19525．
    215．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力 解析：10
    【解析】 【分析】
    变换得到alog2m，blog5m，代入化简得到【详解】
    11logm102，得到答案. ab2a5bm，则alog2m，blog5m，

    故11logm2logm5logm102,m10. ab故答案为：10. 【点睛】
    本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.
    16．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性
    1解析：(,
    9【解析】 【分析】 【详解】
    2211时，f(x的试题分析：f(xxx2ax2a．当x，3242最大值为
    21221f2a，令2a0，解得a，所以a的取值范围是,．
    99939考点：利用导数判断函数的单调性．
    17．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容
    解析：2 【解析】
    试题分析：因为四边形OABC是正方形，所以AOB45，所以直线OA的方程为yx，此为双曲线的渐近线，因此ab，又由题意知OB22，所以a2b2a2a2(222，a2．故答案为2．
    【考点】双曲线的性质
    【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1掌握方程；(2掌握其倾斜角、斜率的求法；(3会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
    求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为时为椭圆，当时为双曲线.
    的形式，当    ，    ，18．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令

    解析：(x22y210. 【解析】 【分析】
    由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上,结合题意知，求出AB的垂直平分线方程，令y0，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】
    由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上,结合题意知，AB的垂直平分线为y2x4，令y0，得x2，故圆心坐标为(2,0，所以圆的半径22(522(10210，故圆的方程为(x2y10.
    【点睛】
    本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
    19．2【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D可得Rt△ACD中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C作CD⊥AB于D则D为AB的中点Rt△ACD中可得cosA==2故答
    解析：2 【解析】 【分析】
    过点C作CD⊥AB于D，可得AD1AB1，Rt△ACD中利用三角函数的定义算出2cosA1 ，再由向量数量积的公式加以计算，可得ABAC的值．
    AC【详解】
    过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点．

    Rt△ACD中，AD可得cosA=故答案为2 【点睛】
    1AB1，
    2AD11,ABACABACcosAABACAB=2． ACACAC本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．
    20．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得
    到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的
    1解析：
    8【解析】 【分析】
    由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到ax2x2在0,上恒成立，利用二次函数的性质求得x2x2的最大值，进而得到结果. 【详解】
    函数fxxx1alnx在0,上单调递增
    2fx2x12a0在0,上恒成立 ax2x2在0,上恒成立
    x令gxx2x，x0 根据二次函数的性质可知：当x11时， gxmax
    84a11，故实数a的最小值是 881
    8本题正确结果：【点睛】
    本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.
    三、解答题

    2n41n121．（1）bnn（2）Snn122（3） n133n12【解析】 【分析】 【详解】
    n1（1）由an12an2得bn1bn1，得bnn；
    n112n（2）易得ann2，Sn1222n2n,2Sn122223n2n1,

    错位相减得Sn22所以其前n项和Snn12（3）cn122n2n1nn112n2n2n1
    122；
    1nn24n22n1nn24n2n·2n?n12n1n?n12n11nn2n2n1nn?n12n1

    1n2n1nn1111n1111nn1nn1， n?222n?2n1?22n1?n2111Tn222n12n1n112121312231?22?22?23?2n1n11n1n?2nn1?2n11或写成2n41.211 n1n1362n1?233n1?2点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．（1）见解析（2）【解析】 【分析】
    （1）连接OC，由BO＝DO，AB＝AD，知AO⊥BD，由BO＝DO，BC＝CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知AO1，CO3，AC＝2，故AO2+CO2＝AC2，由此能够证明AO⊥平面BCD；
    （2）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，EM余弦；
    （3）设点E到平面ACD的距离为h．在△ACD中，CACD2，AD212（3）
    74121AB，OEDC1，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的2222，故SACD217，由AO＝1，知S242222CDE1323，由此能2242求出点E到平面ACD的距离． 【详解】
    （1）证明：连接OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD， ∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD．
    在△AOC中，由题设知AO1，CO3，AC＝2， ∴AO2+CO2＝AC2，
    ∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC． ∵AO⊥BD，BD∩OC＝O， ∴AO⊥平面BCD．
    （2）解：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，

    知ME∥AB，OE∥DC，
    ∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角． 在△OME中，EM121AB，OEDC1， 222∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，∴OM1AC1，
    21122∴cosOEM， 422121∴异面直线AB与CD所成角大小的余弦为2
    4（3）解：设点E到平面ACD的距离为h．
    VEACDVACDE，
    1h．S3ACD1．AO．S3CDE，
    在△ACD中，CACD2，AD22，
    ∴S    ACD217， 24222CDE∵AO＝1，S1323， 2242∴hAOSCDESACD13221，
    77    221．
    7∴点E到平面ACD的距离为
    【点睛】
    本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．

    23．(1见解析；(2 sin【解析】
    43 7试题分析：.（1）取AP中点M，易证PA面DMB，所以PABD，（2）以MP,MB,MD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，平面DPC的法向量n13,1,3，设平面PCB的法向量n2=即sin3,1,3，cosn1,n2n1•n2n1n21，743.
    7试题解析：
    （1）证明：取AP中点M，连DM,BM， ∵DADP，BABP
    ∴PADM，PABM，∵DMBMM ∴PA面DMB，又∵BD面DMB，∴PABD

    （2）∵DADP，BABP，DADP，ABP600
    ∴DAP是等腰三角形，ABP是等边三角形，∵ABPBBD2，∴DM1，BM3.
    ∴BD2MB2MD2，∴MDMB
    以MP,MB,MD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A1,0,0，B0,3,0，P1,0,0，D0,0,1
    从而得DP1,0,1，DCAB1,3,0，BP1,3,0，BCAD1,0,1 设平面DPC的法向量n1x1,y1,z1
    n1•DP0x1z10则，即，∴n13,1,3， n1•DC0x13y10设平面PCB的法向量n2x2,y1,z2，

    x2z20n2•BC0由，得，∴n2n2•BP0x23y20∴cosn1,n23,1,3
    n1•n2n1n217
    43
    7设二面角DPCB为，∴sin1cos2n1,n2点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 24．（1）x3y29（2）27. 【解析】
    分析：（1）将6cos两边同乘，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；
    （2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出2PAPB．
    详解：
    （1）由6cos,得6cos，化为直角坐标方程为xy6x， 即x3y29
    （2）将l的参数方程带入圆C的直角坐标方程，得t2cossint70
    2    2    2    2    2t1t22cossin因为0，可设t1,t2是上述方程的两根，所以
    tt712又因为（2，1）为直线所过定点，
    PAPBt1t2t1t2t1t224t1t2
    324sin232427所以PAPB的最小值为27
    点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题． 25．（Ⅰ）B=【解析】 【分析】 【详解】 (1∵a=bcosC+csinB
    （Ⅱ）21
    4
    ∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ① 在三角形ABC中，A=－(B+C
    ∴sinA=sin(B+C=sinBcosC+cosBsinC ② 由①和②得sinBsinC=cosBsinC 而C∈(0，，∴sinC≠0，∴sinB=cosB 又B(0，，∴B=(2 S△ABC
    12acsinBac， 24由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos整理得：ac42ac﹣2ac2，
    2    4，当且仅当a＝c时，等号成立， 22则△ABC面积的最大值为12412（22）21． 2222226．(1 T ；x5k（kZ）. (2 (,]，[,]和26636[2,]
    3【解析】 【分析】
    （1）化简得fxsin2x在R上的增区间为[k【详解】
    解：（1）fxab3sinxcosxcosx
    21，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数623,k6] （kZ），再给k赋值与定义域求交集得解.
    3111sin2xcos2xsin2x 222622,
    2k（kZ） 26所以fx的周期T令2x6k2（kZ），即x所以fx的对称轴方程为x（2）令2kk（kZ）. 2622x62k2 （kZ）

    解得k36所以当k1,0或1时，
    xk （kZ），由于x,
    得函数fx的单调递增区间为,【点睛】
    52,,，和. 6363本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

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