角度

1. 知识要点回顾

1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

2、角的表示法（四种）：

（1）用三个大写英文字母表示任意一个角（角的顶点必须写在中间，其它两个字母可以调换位置）；

（2）用一个大写英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角）；

（3）加弧线、标数字表示一个角 （在一个顶点处有两个以上角时，建议使用此法）；

（4）加弧线、标小写希腊字母表示一个角。

3、角的度量单位及换算

●1个周角=2个平角=4个直角=360°

●1°=60′=3600″

●用一副三角尺能画的角都是15°的整数倍

4、角的分类

5、角的平分线

定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线。

·如图，射线OB是∠AOC的平分线，则有

∠AOB=∠BOC=∠AOC 或 2∠AOB=2∠COB=∠AOC

用几何语言表示就是：

∵OB平分

∴∠AOB=∠BOC=∠AOC

（或 2∠AOB=2∠COB=∠AOC）

类似的，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的n个角的射线，叫做这个角n等分线。

6、互余、互补

（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角。其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角。

（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角。其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角。

（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等。

7、方向角

（1）正方向

（2）北（南）偏东（西）方向

（3）东（西）北（南）方向

用角度表示方向：一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向，如图所示，OA方向可表示为北偏西60º 。

2.例题剖析

例1

1、计算：

（3）=_________° （4）36.52°=_____°______′______″

2、2点30分时，时钟与分钟所成的角为度．

3、60°=____平角；直角=______度；周角=______度。

例2、一个角的补角比它的余角的4倍还多15°，求这个角的度数。

例3、如图,BD平分∠ABC,∠ABE：∠EBC=2:5,∠DBE=21°,求∠ABC的度数.

解：设∠ABE=2x,∠EBC=5x，则∠ABC=5x

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD==（ ）

∵∠DBE=∠ABD-；

∴∠DBE==21°

∴x=；

∴∠ABC=°

例4、 如图，∠AOB=60°，OC是∠AOB内部的一条射线，

射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠COB，求∠MON的度数。

例5、用你认为恰当的方法表示出下图中的所有小于平角的角。

（1）以A为顶点：

（2）以B为顶点：

（3）以C为顶点：

（4）以E为顶点：

例6、若∠1∶∠2∶∠3∶∠4=1∶2∶3∶4，四个角的和为180°，

则∠2=______;∠3=______;1与4互为 角。

例7、如图，射线OA的方向是:_______________；

射线OB的方向是:_______________；

射线OC的方向是:_______________；

例8、已知∠AOB=40°，过点O引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3，且OD平分∠AOB．求∠COD的度数．

例9、如右图,OA⊥OB,直线CD过点O,且∠AOC=50°,请计算∠DOB和它的补角的度数。

例10．（1）如图所示，ON是∠BOC的平分线，OM是∠AOC的平分线，若∠AOC=28，∠BOC=42°，那么∠MON是多少度？

（2）如果∠AOB的大小保持与上图相同，而射线OC在∠AOB的内部绕点O转动，那么射线OM、ON的位置是否发生变化？

（3）∠MON的大小是否发生变化？如果不变，请说出其度数，如果变化，请说出变化范围．

思维误区：

误区一、和线段相似，对角的另外一边的位置概念模糊，不能很好的作出图形

例1、已知有共公顶点的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=1200，∠BOC=300，则∠AOC=_________。

误区二、对角平分线的理解不够

例2、如图，∠AOB=130°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，下列叙述正确的是（　　）

A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=65°

C．∠BOE=2∠COD D．∠AOD=

方法规律：

1、牢记角的几种表示方法，尤其三个大写字母的表示方法；

2、注意大写字母表示方法中，哪个字母应该写在中间；

3、度、分、秒之间的转化规律

4、知道什么是补角和余角

5、知道角平分线的几何表示法

3. 巩固训练

1.一个角的补角大于余角的3倍，这个角是（　　）

A．大于45°的锐角 B．45° C．90° D．135°

2.如图，∠AOE＝∠BOC，OD平分∠COE，那么图中除∠AOE＝∠BOC外，相等的角共有（ ）

A．1对 B．2对

C．3对 D．4对

3.已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（　　）

A．20° B．40° C．20°或40° D．30°或10°

4.已知∠AOC=2∠BOC，若∠BOC=30°，∠AOB等于（　　）

A．90° B．30° C．90°或30° D．120°或30°

5.互为余角的两个角之差为35°，则较大角的补角是（ ）

A．117.5° B．112.5° C．125° D．127.5°

6.如图，由A到B的方向是（ ）

A．南偏东30° B．南偏东60°

C．北偏西30 D．北偏西60°

7.下列时刻，时针与分针的夹角为直角的是（　　）

A．3时30分 B．9时30分 C．8时55分 D．6时分

8.（1）如图，图中互补的角有　_________　对．

（2）如果∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，则图中互补的角有　_________　对．

9.计算：30.26°=____ °____′____″； 18°15′36″ =____ __ °；

36°56′+18°14′=____ ； 108°- 56°23′ =________；

27°17′×5 =____ ； 15°20′÷6 =____

10、如图所示，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，求∠AOC+∠DOB．

三 作业布置：（时间90min，满分100分，加油！相信自己能行的，赶紧试试吧！）

1.如图所示，∠α＞∠β，且∠β与（∠α﹣∠β）关系为（　　）

A．互补 B．互余 C．和为45° D．和为22.5°

2.∠α=13°46′，则∠α的补角为（　　）

A．76°54′ B．166°14′ C．76°14′ D．166°54′

3.如图1，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=110°，则∠BOD的度数是（ ）

A．25° B．35°

C．45° D．55°

4. 如图1，三条直线相交于一点O，其中，AB⊥CO，则∠1与∠2（ ）

A．互为补角　　 B．互为余角　　 　C．相等　　 　D．对顶角

5.如图2所示，已知直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，则图中∠AOE和∠DOB的关系为．

6. 76°角的补角是=______．

7.如图3，O为直线AB上一点，∠COB=30°，则∠1=．

8.光线以如图5所示的角度α照射到平面镜Ⅰ上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝60°，∠β＝50°，∠γ＝度。

9.已知有公共顶点的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=1000，∠BOC=200，则∠AOC=_________。

10.如图所示：已知OE⊥OF直线AB经过点O，则∠BOF—∠AOE=__________

若∠AOF=2∠AOE，则∠BOF=___________

11.时钟在2点正时，其时针和分针所成的角的大小为　_________

12、海面上，灯塔位于一艘船的北偏东50°，则这艘船位于这个灯塔的（）

A、南偏西50° B、南偏西40° C、北偏东50° D、北偏东40°

13．如图所示，已知∠AOB=165°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD．

14、如图，∠BOA＝90°，∠BOC＝40°，OD平分∠AOB，求∠COD的度数。

15、如图,若OB平分∠AOC, OD平分∠COE,∠AOC=48°, ∠COE=80°,求∠BOD的度数.

16、如右图，直线CE 与DB相交于O，∠AOD=90°，∠AOC=55°,求∠COB、∠EOD 、∠EOB .

17. 如图1是一副三角尺拼成的图案

（1）则∠EBC的度数为　_________　度；

（2）将图1中的三角尺ABC绕点B旋转α度（0°＜α＜90°）能否使∠ABE=2∠DBC？若能，则求出∠EBC的度数；若不能，说明理由．（图2、图3供参考）