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    高中数学：2018年数学高考真题 -

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    2018年数学高考真题





    2018年数学高考真题
    对应学生用书P105

    剖析解读
    高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．在难度上会有一些差异，在试卷结构，命题方向上基本都是相同的．
    “稳定是高考的主旋律”．在今年的高考试卷中，试题分布和考核内容没有太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的重点．每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础．试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定的梯度．今年数学试题与去年相比整体难度有所降低．
    “创新是高考的生命线”．与历年试卷对比，Ⅰ、Ⅱ卷解答题顺序有变，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心理解归纳，是难以拿到高分的．在对数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势．



    ruize 全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对必修4三角函数、三角恒等变换的考查，相对来说难度不大，综合性较低，但比去年难度有所提高，位置有所移后，其中，全国Ⅰ卷文科把三角函数放到第11题，略微有一点难度，是一个很明显的例子；但是对于平面向量的考查，全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷通常放在填空题第1题或选择题中间的位置，难度相对于去年有所降低，2017年把基本平面向量放到第12题的位置，综合性较强．
    其他自主命题省市高考题对于三角函数、三角恒等变换的考查，难度都不大，而平面向量的考查难度各省市有较大区别，比如：天津卷、江苏卷、北京卷、浙江卷等较难，要求学生有较强的分析问题、转化问题的能力以及运算能力．下面列出了2018年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及各地区必修4所考查全部试题，请同学们根据所学必修4的知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学的内容的小综合试题，同学们可根据目前所学习的内容，有选择性的试做！

    穿越自测
    一、选择题
    11．(2018·全国卷Ⅲ，文4若sinα＝3，则cos2α＝( 8778A．9 B．9 C．－9 D．－9 ★答案★ B
    27解析 cos2α＝1－2sin2α＝1－9＝9．故选B．
    2．(2018·全国卷Ⅱ，文4理4已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a
    ruize －b＝(
    A．4 B．3 C．2 D．0 ★答案★ B
    解析 因为a·(2a－b＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1＝2＋1＝3．所以选B． 3．(2018·全国卷Ⅲ，文6函数f(x＝ππA． B． C．π D．2π
    42★答案★ C
    sinxcosxtanx1解析 由已知得f(x＝＝＝sinxcosx＝sinx22sin2x，f(x的最小正周1＋tan2x1＋cosx2π期T＝2＝π．故选C．
    4．(2018·全国卷Ⅱ，文10若f(x＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是(
    ππ3πA．4 B．2 C．4 D．π ★答案★ C
    π解析 ∵f(x＝cosx－sinx＝2cosx＋4，
    ππ3π∴由2kπ≤x＋4≤π＋2kπ(k∈Z，得－4＋2kπ≤x≤4＋2kπ(k∈Z，因此[0，π3π3π3πa]⊆－4，4，∴a>0且a≤4，即a的最大值为4．故选C．

    5．(2018·全国卷Ⅱ，理10若f(x＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的tanx的最小正周期为(
    1＋tan2x
    ruize 最大值是(
    ππ3πA．4 B．2 C．4 D．π ★答案★ A
    π解析 ∵f(x＝cosx－sinx＝2cosx＋4，
    ππ3π∴由2kπ≤x＋4≤π＋2kπ(k∈Z得－4＋2kπ≤x≤4＋2kπ(k∈Z，因此[－a，π3πa]⊆－4，4．
    π3πππ∴－a<a，－a≥－4，a≤4，∴0<a≤4，从而a的最大值为4，选A． ππ6．(2018·天津高考，文6将函数y＝sin2x＋5的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数(
    ππA．在区间－4，4上单调递增
    πB．在区间－4，0上单调递减 ππC．在区间4，2上单调递增
    πD．在区间2，π上单调递减 ★答案★ A
    ππ解析 将函数y＝sin2x＋5的图象向右平移10个单位长度后，得到函数y＝ππsin2x的图象，该函数在区间－4，4上单调递增．故选A．
    ππ7．(2018·天津高考，理6将函数y＝sin2x＋5的图象向右平移10个单位长度，
    ruize 所得图象对应的函数(
    3π5πA．在区间4，4上单调递增
    3πB．在区间4，π上单调递减 5π3πC．在区间4，2上单调递增
    3πD．在区间2，2π上单调递减 ★答案★ A
    ππ解析 将函数y＝sin2x＋5的图象向右平移10个单位长度后，得到函数y＝ππsin2x的图象，函数y＝sin2x的单调递增区间为kπ－4，kπ＋4，k∈Z，单调递减π3π3π5π区间为kπ＋4，kπ＋4，k∈Z，故其在区间4，4上单调递增．故选A．
    8．(2018·全国卷Ⅰ，文8已知函数f(x＝2cos2x－sin2x＋2，则( A．f(x的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x的最小正周期为2π，最大值为4 ★答案★ B
    352π解析 根据题意，有f(x＝2cos2x＋2，所以函数f(x的最小正周期为T＝2＝35π，且最大值为f(xmax＝2＋2＝4．故选B．
    9．(2018·全国卷Ⅰ，文11已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负
    ruize     2半轴重合，终边上有两点A(1，a，B(2，b，且cos2α＝3，则|a－b|＝(
    1525A．5 B．5 C．5 D．1 ★答案★ B
    解析 根据题给条件，可知O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，因为cos2α＝2cos2α－1＝2·55．故选B．

    10．(2018·北京高考，文7在平面坐标系中，AB，CD，EF，GH是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tanααα，则P所在的圆弧是(
    A．AB B．CD C．EF D．GH ★答案★ C
    解析 解法一：由三角函数线知，在第一象限内，同角的正切线最长，排除A，B；当角α的终边位于第三象限时，正切值为正，正弦、余弦值为负，排除选项D．
    解法二：设角α的终边与单位圆的交点坐标为(x，y，由任意角的三角函数yx－1yyy定义得x<x<y，若x<0，则由x<x得y>x2，排除选项D，由x<y可得x>0，进而得x，y异号．故选C．
    11．(2018·全国卷Ⅰ，文7理6在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD122152－1＝，解得a＝，即|a|＝355，所以|a－b|＝|a－2a|＝a2＋1
    ruize     →的中点，则EB＝(
    3→1→1→3→A．4AB－4AC B．4AB－4AC 3→1→1→3→C．4AB＋4AC D． 4AB＋4AC

    ★答案★ A
    →＝AB→－AE→＝AB→－1AD→＝AB→－1(AB→＋AC→解析 根据向量的运算法则，可得EB243→1→＝4AB－4AC，故选A．
    12．
    (2018·天津高考，文8在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON→＝2MA→，CN→＝2NA→，则BC→·OM→的值为( ＝120°，BMA ．－15 B． －9 C． －6 D． 0 ★答案★ C
    →＝2MA→，CN→＝2NA→，可得MN∥BC，且BC＝3MN，解析 连接MN，由BM→＝3MN→，所以BC→·OM→＝3MN→·OM→＝3(ON→－OM→·OM→＝3(ON→·OM→－OM→2＝所以BC3×(1×2×cos120°－12＝－6．故选C．

    13．(2018·天津高考，理8如图所示，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD→·BE→的最小⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则AE值为(
    21325A．16 B．2 C．16 D．3

    ruize ★答案★ A
    解析 解法一：连接DB．根据余弦定理可得DB＝3．由题易知△BCD为→＝λDC→，0≤λ≤1，则AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋λDC→，正三角形，所以DC＝3．设DE→＝AE→－AB→＝AD→＋λDC→－AB→，所以AE→·BE→＝(AD→＋λDC→·(AD→＋λDC→－AB→＝AD→2BE→·AB→＋λ2DC→2－λDC→·AB→，→2＝1，→·AB→＝－1，→2＝3，→·DC→＝1×3－AD其中ADADDCAB2333133→→cos30°＝2，所以AE·BE＝3λ2－2λ＋2，该式当λ＝4时取得最小值，最小值为16－8321＋2＝16． 故选A．

    1333解法二：如图所示，易知A0，－2，B2，0，C0，2，D－2，0．
    3设Em，3m＋2于是：
    →·BE→＝(m，3m＋2·m－3，3m＋3
    AE2233＝mm－2＋(3m＋23m＋2 ＝4m2＋33m＋3 3321＝4m＋82＋16
    3其中m∈－2，0，
    33→·BE→取最小值21．故选A．
    所以当m＝－8时，AE1614．(2018·浙江高考，9已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向
    ruize     π量a与e的夹角为3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(
    A．3－1 B．3＋1 C．2 D．2－3 ★答案★ A 解析

    π建立平面直角坐标系，设e＝(1，0，向量a与e的夹角为，则向量a的终3点在射线y＝3x(x>0上．设向量b＝(x，y，则x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－22＋y2＝1，则|a－b|表示圆上任意一点P到射线y＝3x(x>0上任意一点A的距离，显然当A，P，C三点在同一条直线上，且AC垂直于射线y＝3x(x>0时，|a－b|取得最小值，最小值为|AC|－1＝3－1．故选A．
    二、填空题
    5π115．(2018·全国卷Ⅱ，文15已知tanα－4＝5，则tanα＝________．
    3★答案★ 2
    5πtanα－tan45π解析 tanα－4＝tanα－1135π＝1＋tanα＝5，解方程得tanα＝2．
    1＋tanα·tan416．(2018·全国卷Ⅲ，文13理13已知向量a＝(1，2，b＝(2，－2，c＝(1，λ．若c∥(2a＋b，则λ＝________．
    1★答案★ 2
    解析 由题可得2a＋b＝(4，2，∵c∥(2a＋b，c＝(1，λ，∴4λ－2＝0，即
    ruize 1λ＝2．
    17．(2018·全国卷Ⅱ，理15已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β＝______．
    1★答案★ －2
    解析 解法一：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα2＋(－cosα21111＝1，所以sinα＝2，cosβ＝2，因此sin(α＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝2×2－cos2α1111＝4－1＋sin2α＝4－1＋4＝－2．
    解法二：由(sinα＋cosβ2＋(cosα＋sinβ2＝1，得2＋2sin(α＋β＝1，所以sin(α1＋β＝－2．
    π18．(2018·全国卷Ⅲ，理15函数f(x＝cos3x＋6在[0，π]的零点个数为______． ★答案★ 3
    ππ19π解析 ∵0≤x≤π，∴6≤3x＋6≤6． πππ3π由题可知，当3x＋6＝2，3x＋6＝2， π5π或3x＋6＝2时，f(x＝0． π4π7π解得x＝9，9，或9．
    π故函数f(x＝cos3x＋6在[0，π]上有3个零点．
    19．(2018·江苏高考，9函数f(x满足f(x＋4＝f(x(x∈R，且在区间(－2，2]
    ruize πxcos2，0<x≤2，上，f(x＝1x＋2，－2<x≤0，2★答案★ 2

    则f[f(15]的值为______．
    解析 由f(x＋4＝f(x(x∈R，得f(15＝f(－1＋4×4＝f(－1，又－1∈(－2，1111π10]，所以f(15＝f(－1＝－1＋2＝2．而2∈(0，2]，所以f[f(15]＝f2＝cos2×2＝π2cos4＝2．
    20．(2018·北京高考，文9设向量a＝(1，0，b＝(－1，m．若a⊥(ma－b，则m＝________．
    ★答案★ －1
    解析 ∵a＝(1，0，b＝(－1，m，∴ma－b＝(m＋1，－m，又∵a⊥(ma－b，∴a·(ma－b＝m＋1＝0，即m＝－1．
    πππ21．(2018·江苏高考，7已知函数y＝sin(2x＋φ－2<φ<2的图象关于直线x＝3对称，则φ的值为________．
    π★答案★ －6
    π2πππ解析 由题意得，sin2×3＋φ＝±1，则3＋φ＝2＋kπ(k∈Z，所以φ＝－6＋kπ(kπππ∈Z，又－2<φ<2，故φ＝－6．
    ππ22．(2018·北京高考，理11设函数f(x＝cosωx－6(ω>0．若f(x≤f4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．

    ruize     2★答案★ 3
    ππ2解析 结合余弦函数的图象得4ω－6＝2kπ，k∈Z，解得ω＝8k＋3，k∈Z．又2∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值，最小值为3．
    23．(2018·江苏高考，12在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在→·CD→第一象限内的点，B(5，0，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若AB＝0，则点A的横坐标为________．
    ★答案★ 3
    解析 因为点A 为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，所以可设A(a，2a(a>0，y＝2x，a＋5则AB的中点为C2，a，又DB⊥AD，所以由1y＝－2x－5，

    →＝(5－a，－2a，CD→＝－a－3，2－a，又AB→·CD→＝0，所解得D(1，2，则AB2－a－3以(5－a·2＋(－2a(2－a＝0，解得a＝3或a＝－1．又a>0，所以a＝3，则点A的横坐标为3．
    三、解答题
    24．(2018·北京高考，文16已知函数f(x＝sin2x＋3sinxcosx． (1求f(x的最小正周期；
    π3(2若f(x在区间－3，m上的最大值为2，求m的最小值．
    1－cos2x3311π1解 (1f(x＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin2x－222226＋2，

    ruize     2π所以f(x的最小正周期为T＝2＝π． π1(2由(1知f(x＝sin2x－6＋2．
    ππ5ππ因为x∈－3，m，所以2x－6∈－6，2m－6．
    π3ππ要使f(x在－3，m上的最大值为2，即sin2x－6在－3，m上的最大值为1， πππ只需2m－6≥2，即m≥3，
    π所以m的最小值为3．
    4525．(2018·江苏高考，16已知α，β为锐角，tanα＝3，cos(α＋β＝－5． (1求cos2α的值； (2求tan(α－β的值．
    4sinα解 (1因为tanα＝3，tanα＝cosα，
    4所以sinα＝3cosα．
    9因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝25，
    7因此cos2α＝2cos2α－1＝－25．
    (2因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π．
    5又因为cos(α＋β＝－5，
    25所以sin(α＋β＝1－cos2α＋β＝5， 因此tan(α＋β＝－2．

    ruize 42tanα24因为tanα＝3，所以tan2α＝＝－7， 1－tan2αtan2α－tanα＋β2因此，tan(α－β＝tan[2α－(α＋β]＝＝－11．
    1＋tan2αtanα＋β26．(2018·浙江高考，18已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负34半轴重合，它的终边过点P－5，－5．
    (1求sin(α＋π的值；
    5(2若角β满足sin(α＋β＝13，求cosβ的值． 34解 (1由角α的终边过点P－5，－5，
    4得sinα＝－5，
    4所以sin(α＋π＝－sinα＝5． 34(2由角α的终边过点P－5，－5，
    3得cosα＝－5，
    512由sin(α＋β＝13得cos(α＋β＝±13． 由β＝(α＋β－α得
    cosβ＝cos(α＋βcosα＋sin(α＋βsinα， 5616所以cosβ＝－65或cosβ＝65．



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