辽宁省沈阳市2017中考数学试题

考试时间120分钟 满分120分

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）

1.7的相反数是（ ）

A. B. C. D.7

【答案】A.

【解析】

试题分析：根据“只有符号不同的两个数互为相反数”可得7的相反数是-7，故选A.

考点：相反数.

2. 如图所示的几何体的左视图是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D.

【解析】

试题分析：这个几何体从左面看到的图形是两个竖排的正方形，故选D.

考点：简单几何体的三视图.

3. “弘扬雷锋精神，共建幸福沈阳”幸福沈阳需要830万沈阳人共同缔造。将数据830万用科学记数法可以表示为 （ ）

A. B. C. D.

【答案】B.

考点：科学记数法.

4. 如图，,的度数是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C.

【解析】

试题分析：已知,根据平行线的性质可得再由邻补角的性质可得∠2=180°-∠3=130°，故选C.

考点：平行线的性质.

5. 点在反比例函数的图象上，则的值是（ ）

A.10 B.5 C. D.

【答案】D.

【解析】

试题分析：已知点在反比例函数的图象上，可得k=-2×5=-10，故选D.

考点：反比例函数图象上点的特征.

6. 在平面直角坐标系中，点，点关于轴对称，点的坐标是，则点的坐标是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A.

【解析】

试题分析：关于y轴对称点的坐标的特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得点B的坐标为（-2，-8），故选A.

考点：关于y轴对称点的坐标的特点.

7. 下列运算正确的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C.

考点：整式的计算.

8. 下利事件中，是必然事件的是（ ）

A.将油滴在水中，油会浮在水面上

B.车辆随机到达一个路口，遇到红灯

C.如果，那么

D.掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上

【答案】A.

考点：必然事件；随机事件.

9. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B.

【解析】

试题分析：一次函数的图象过（1，0）、（0，-1）两个点，观察图象可得，只有选项B符合要求，故选B.

考点：一次函数的图象.

10. 正方形内接与，正六边形的周长是12，则的半径是（ ）

A. B.2 C. D.

【答案】B.

【解析】

试题分析：已知正六边形的周长是12，可得BC=2，连接OB、OC，可得∠BOC=，所以△BOC为等边三角形，所以OB=BC=2，即的半径是2，故选B.

考点：正多边形和圆.

二、填空题（每小题3分，共18分）

11. 因式分解 .

【答案】3(3a+1).

【解析】

试题分析：直接提公因式a即可，即原式=3(3a+1).

考点：因式分解.

12. 一组数的中位数是 .

【答案】5.

【解析】

试题分析：这组数据的中位数为.

考点：中位数.

13. .

【答案】.

【解析】

试题分析：原式= .

考点：分式的运算.

14. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均值都是8.9环，方差分别是,则三人中成绩最稳定的是 .（填“甲”或“乙”或“丙”）

【答案】丙.

【解析】

试题分析：平均数相同，方差越小，这组数据越稳定，根据题意可得三人中成绩最稳定的是丙.

考点：方差.

15. 某商场购进一批单价为20元的日用商品.如果以单价30元销售，那么半月内可销售出 400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是 元时，才能在半月内获得最大利润.

【答案】35.

考点：二次函数的应用.

16. 如图，在矩形中，,将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，连接，则的长是 .

【答案】.

【解析】

试题分析：如图，过点C作MNBG，分别交BG、EF于点M、N，根据旋转的旋转可得AB=BG=EF=CD=5，AD=GF=3，在Rt△BCG中，根据勾股定理求得CG=4，再由,即可求得CM= ,在Rt△BCM中，根据勾股定理求得BM=，根据已知条件和辅助线作法易知四边形BENMW为矩形，根据矩形的旋转可得BE=MN=3,BM=EN=,所以CN=MN-CM=3-=,在Rt△ECN中，根据勾股定理求得EC=.

考点：四边形与旋转的综合题.

三、解答题（第17题6分，第18、19小题各8分，共22分）

17. 计算

【答案】.

【解析】

试题分析：根据绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别计算各项后合并即可.

试题解析：

原式=.

考点：实数的运算.

18. 如图，在菱形中，过点做于点，做于点，连接，

求证：（1）;

（2）

【答案】详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质可得AD=CD，，再由，，可得，根据AAS即可判定；（2）已知菱形，根据菱形的性质可得AB=CB，再由，根据全等三角形的性质可得AE=CF，所以BE=BF，根据等腰三角形的性质即可得.

试题解析：

(1) ∵菱形，

∴AD=CD，

∵，

∴

∴

(2) ∵菱形，

∴AB=CB

∵

∴AE=CF

∴BE=BF

∴

考点：全等三角形的判定及性质；菱形的性质.

19. 把3、5、6三个数字分别写在三张完全不同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字、放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字.请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率.

【答案】.

【解析】

试题分析：根据题意列表（画出树状图），然后由表格（或树状图）求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上的数字都是奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

试题解析：

列表得：

或

（或画树形图）

总共出现的等可能的结果有9种，其中两次抽取的卡片上的数字都是奇数的结果有4种，所以两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率为.

考点：用列表法（或树状图法）求概率．

四、（每题8分，共16分）

20. 某校为了开展读书月活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成四类：艺术、文学、科普、其他。随机调查了该校名学生（每名学生必须且只能选择一类图书），并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1） ， ；

（2）扇形统计图中，“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是 度.

（3）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；

（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校600名学生中有多少学生最喜欢科普类图书.

【答案】（1）50、30；（2）72；（3）详见解析；（4）180.

试题解析：

（1）50、30；

（2）72；

（3）如图所示：

（4）600×30%=180（名）

答：估计该校有180名学生最喜欢科普类图书.

考点：统计图.

21. 小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？

【答案】小明至少答对18道题才能获得奖品.

【解析】

试题分析：设小明答对x道题，根据“共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品”，列出不等式，解不等式即可.

试题解析：

设小明答对x道题，根据题意得，

6x-2（25-x）>90

解这个不等式得，，

∵x为非负整数

∴x至少为18

答：小明至少答对18道题才能获得奖品.

考点：一元一次不等式的应用.

五、（本题10分）

22. 如图，在中，以为直径的交于点，过点做于点，延长交的延长线于点，且.

（1）求证：是的切线；

（2）若，的半径是3，求的长.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：(1)连接OE，根据圆周角定理可得,因，即可得，即可判定，再由，可得，即可得，即，所以是的切线；（2）根据已知条件易证BA=BC，再求得BA=BC=6，在Rt△OEG中求得OG=5，在Rt△FGB中，求得BF=，即可得AF=AB-BF=.

试题解析：

(1)连接OE，

则,

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴

又∵OE是的半径

∴是的切线；

（2）∵，∵

∴

∴BA=BC

又的半径为3，

∴OE=OB=OC

∴BA=BC=2×3=6

在Rt△OEG中，sin∠EGC=，即

∴OG=5

在Rt△FGB中，sin∠EGC=，即

∴BF=

∴AF=AB-BF=6-=.

考点：圆的综合题.

六、（本题10分）

23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点分别为四边形边上的动点，动点从点开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线向中点匀速运动，动点从点开始，以每秒两个单位长度的速度沿路线向终点匀速运动，点同时从点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动。设动点运动的时间秒（），的面积为.

（1）填空：的长是 ，的长是 ；

（2）当时，求的值；

（3）当时，设点的纵坐标为，求与的函数关系式；

（4）若，请直接写出此时的值.

【答案】(1)10，6；（2）S=6；（3）y=；(4)8或或.

【解析】

试题分析：由点的坐标为，点的坐标为，可得OA=6,OB=8,根据勾股定理即可求得AB=10；过点C作CMy轴于点M，由点的坐标为，点的坐标为，可得 BM=4,CM=2,再由勾股定理可求得BC=6；（2）过点C作CEx轴于点E，由点的坐标为，可得CE=4,OE=2,在Rt△CEO中，根据勾股定理可求得OC=6,当t=3时，点N与点C重合，OM=3，连接CM，可得NE=CE=4,所以,即S=6；（3）当3过点N作NGy轴于点G，过点C作CFy轴于点F，可得F(0，4)，所以OF=4,OB=8,再由∠BGN=∠BFC=90°，可判定NGCF，所以,即,解得BG=8-，即可得y =；（4）分①点M在线段OA上，N在线段OC上；②点M、点N都在线段AB上，且点M在点N的下方；③点M、点N都在线段AB上，且点M在点N的上方三种情况求t值即可.

试题解析：

(1)10，6；

（3）如图2，当3

过点N作NGy轴于点G，过点C作CFy轴于点F，则F(0，4)

∵OF=4,OB=8,

∴BF=8-4=4

∵∠BGN=∠BFC=90°，

∴NGCF

∴,即,

解得BG=8-，

∴y=OB-BG=8-(8-)=

(4)8或或.

考点：

七、（本题12分）

24. 四边形是边长为4的正方形，点在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点，点在直线的同侧），连接

（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出的长；

（2）如图2，当点在线段上时，

①求点到的距离

②求的长

（3）若，请直接写出此时的长.

【答案】(1)BF=4;(2)①点到的距离为3；②BF=；(3)AE=2+或AE=1.

【解析】

试题分析：（1）过点F作FMBA, 交BA的延长线于点M，根据勾股定理求得AC=,又因点与点重合，可得△AFM为等腰直角三角形且AF=,再由勾股定理求得AM=FM=4,在Rt△BFM中，由勾股定理即可求得BF=4;（2）①过点F作FHAD交AD的延长线于点H，根据已知条件易证，根据全等三角形的性质可得FH=ED，又因AD=4,AE=1,所以ED=AD-AE=4-1=3,即可求得FH=3，即点到的距离为3；②延长FH交BC的延长线于点K，求得FK和BK的长，在Rt△BFK中，根据勾股定理即可求得BF的长；（3）分点E在线段AD的延长线上和点E在线段DA的延长线上两种情况求解即可.

试题解析：

(1)BF=4;

(2) 如图，

①过点F作FHAD交AD的延长线于点H，

∵四边形CEFG是正方形

∴EC=EF,∠FEC=90°

∴∠DEC+∠FEH=90°，

又因四边形是正方形

∴∠ADC=90°

∴∠DEC+∠ECD=90°，

∴∠ECD=∠FEH

又∵∠EDC=∠FHE=90°，

∴

∴FH=ED

∵AD=4,AE=1,

∴ED=AD-AE=4-1=3,

∴FH=3，

即点到的距离为3.

②延长FH交BC的延长线于点K，

∴∠DHK=∠HDC=∠DCK =90°，

∴四边形CDHK为矩形，

∴HK=CD=4,

∴FK=FH+HK=3+4=7

∵

∴EH=CD=AD=4

∴AE=DH=CK=1

∴BK=BC+CK=4+1=5,

在Rt△BFK中，BF=

(3)AE=2+或AE=1.

考点：四边形综合题.

八、（本题12分）

25. 如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，连接，点分别是的中点.，且始终保持边经过点，边经过点，边与轴交于点，边与轴交于点.

（1）填空，的长是 ，的度数是 度

（2）如图2，当，连接

①求证：四边形是平行四边形；

②判断点是否在抛物线的对称轴上，并说明理由；

（3）如图3，当边经过点时（此时点与点重合），过点作，交延长线上于点，延长到点，使，过点作，在上取一点，使得（若在直线的同侧），连接，请直接写出的长.

【答案】(1)8，30；（2）①详见解析；②点D在该抛物线的对称轴上，理由详见解析；（3）12 .

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线的解析式求得点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，8），即可得OA=8,根据锐角三角函数的定义即可求得=30°；（2）①由，根据平行线分线段成比例定理可得,又因OM=AM,可得OH=BH,再由BN=AN，根据三角形的中位线定理可得，即可判定四边形AMHN是平行四边形；②点D在该抛物线的对称轴上，如图，过点D作DRy轴于点R，由可得∠NHB=∠AOB=90°，由，可得∠DHB=∠OBA=30°，又因，根据全等三角形的性质可得∠HDG=∠OBA=30°，即可得∠HDN=∠HND，所以DH=HN=OA=4，在Rt△DHR中，DR=DH=,即可判定点D的横坐标为-2.又因抛物线的对称轴为直线，所以点D在该抛物线的对称轴上；

试题解析：(1)8，30；

（2）①证明：∵，

∴,

又∵OM=AM,

∴OH=BH,

又∵BN=AN

∴

∴四边形AMHN是平行四边形

②点D在该抛物线的对称轴上，理由如下：

如图，过点D作DRy轴于点R，

∵

∴∠NHB=∠AOB=90°，

∵，

∴∠DHB=∠OBA=30°，

又∵

∴∠HDG=∠OBA=30°，

∴∠HDG=∠DHB=30°，

∴∠HGN=2∠HDG=60°，

∴∠HNG=90°-∠HGN=90°-60°=30°，

∴∠HDN=∠HND，

∴DH=HN=OA=4

在Rt△DHR中，DR=DH=,

∴点D的横坐标为-2.

又因抛物线的对称轴为直线，

∴点D在该抛物线的对称轴上.

(3)12 .

考点：二次函数综合题.