20XX年湖南省学业水平考试（真题）

数 学

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以是（）

A、正方体 B、圆柱

C、三棱柱 D、球

2.已知集合，则中元素的个数为（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

3.已知向量，若，则，若，则（ ）

A、-10 B、10 C、-2 D、2

4.执行如图2所示的程序框图，若输入的值为-2，则输出的( )

A、-2 B、0 C、2 D、4

5.在等差数列中，已知，则

公差（ ）

A、4 B、5 C、6 D、7

6.既在函数的图象上，又在函数的

图象上的点是

A、（0，0） B、（1，1） C、（） D、（）

7.如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点，则直线CD与平面BEF的位置关系是( )

A、平行 B、在平面内

C、相交但不垂直 D、相交且垂直

8.已知，则（ ）

A、 B、 C、 D、

9.已知，则

A、 B、 C、 D、

10.如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（ ）

A、 B、 C、 D、

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11.已知函数（其中）的最小正周期为，则 .

12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务，则抽出的学生中男生比女生多 人。

13.在中，角所对的边分别为，已知，则的面积为 。

14.已知点在不等式组表示的平面区域内，则实数的取值范围为 。

15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱的体积为 。

三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分6分）

已知定义在区间上的函数的部分图象如图6所示.

（1）将函数的图象补充完整；

（2）写出函数的单调递增区间.

17.(本小题满分8分)

已知数列满足，且.

（1）求及；

（2）设，求数列的前项和.

18.（本小题满分8分）

为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图。

（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；

（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组的概率.

19（本小题满分8分）

已知函数

（1）若，求和的值，并判断函数在区间(0,1)内是否有零点；

（2）若函数的值域为，求实数的值.

20.(本小题满分10分)

已知为坐标原点，点在圆上，

（1）求实数的值；

（2）求过圆心且与直线平行的直线的方程；

（3）过点作互相垂直的直线与圆交于两点，与圆交于两点，求的最大值.

20XX年湖南省学业水平考试（参考答案）

数 学

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以是（A）

A、正方体 B、圆柱

C、三棱柱 D、球

2.已知集合，则中元素的个数为（C）

A、1 B、2 C、3 D、4

3.已知向量，若，则，若，则（ D ）

A、-10 B、10 C、-2 D、2

4.执行如图2所示的程序框图，若输入的值为-2，则输出的( B )

A、-2 B、0 C、2 D、4

5.在等差数列中，已知，则

公差（ D ）

A、4 B、5 C、6 D、7

6.既在函数的图象上，又在函数的

图象上的点是( B )

A、（0，0） B、（1，1） C、（） D、（）

7.如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点，则直线CD与平面BEF的位置关系是( A )

A、平行 B、在平面内

C、相交但不垂直 D、相交且垂直

8.已知，则（ C ）

A、 B、 C、 D、

9.已知，则( A )

A、 B、 C、 D、

10.如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（ B ）

A、 B、 C、 D、

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11.已知函数（其中）的最小正周期为，则 2 .

12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务，则抽出的学生中男生比女生多 1 人。

13.在中，角所对的边分别为，已知，则的面积为 6 。

14.已知点在不等式组表示的平面区域内，则实数的取值范围为 。

15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱的体积为 。

三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分6分）

已知定义在区间上的函数的部分图象如图6所示.

（1）将函数的图象补充完整；

（2）写出函数的单调递增区间.

解：（1）图象如图：

（2）由图象可知，函数在区间上的单调增区间为。

17.(本小题满分8分)

已知数列满足，且.

（1）求及；

（2）设，求数列的前项和.

解：

为等比数列，公比；

（2）由已知可知，

18.（本小题满分8分）

为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图。

（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；

（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组的概率.

解:(1)由题可知，本次测试成绩的众数为

（2）成绩在的频率为，学生人数为人，设为，成绩在的频率为，学生人数为人，设为,则从5人中任选2人的基本事件如下：共10个，其中2人来自同一组的基本事有,其4个基本件。

2人来自同一组）

19（本小题满分8分）

已知函数（1）若，求和的值，并判断函数在区间(0,1)内是否有零点；（2）若函数的值域为，求实数的值.

解：(1)

在区间(0,1)内有零点.

(2)当时，的取值范围是，当时，是二次函数，要使函数的值域为，则的最小值为，由二次函数可知，当时，取最小值，即.

20.(本小题满分10分)已知为坐标原点，点在圆上，（1）求实数的值；

（2）求过圆心且与直线平行的直线的方程；

（3）过点作互相垂直的直线与圆交于两点，与圆交于两点，求的最大值.

解：（1）把点代入圆得；

（2) 圆心坐标为，，过圆心且与平行的直线方程为，即

（3）设直线的方程为，直线的方程为，圆心到直线的距离为，，同理可