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    2021年四川省德阳市中考数学试卷(含答案)-

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    2021年四川省德阳市中考数学试卷
    一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的. 1．（4分）﹣2的倒数是（ ） A．﹣2
    B．﹣
    C．2
    D．
    2．（4分）第七次全国人口普查显示，我国人口已达到141178万．把这个数据用科学记数法表示为（ ） A．1.41178×107 C．1.41178×109
    B．1.41178×108 D．1.41178×1010
    3．（4分）下列运算正确的是（ ） A．a3+a4＝a7 C．（a3）4＝a7
    B．a3•a4＝a12 D．（﹣2a3）4＝16a12
    4．（4分）如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，则∠MPB＝（ ）

    A．30°
    B．60°
    C．120°
    D．150°
    5．（4分）下列说法正确的是（ ）
    A．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择抽样调查 B．了解九年级（1）班同学的视力情况，应选择全面调查 C．购买一张体育彩票中奖是不可能事件

    D．抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是必然事件
    第1页（共24页）



    6．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，点E是CD中点，连接OE（ ）

    A．AB＝AD EOD＝∠EDO
    7．（4分）对于一组数据1，1，3，1，4，下列结论不正确的是（ ） A．平均数是2 B．众数是1
    C．中位数是3 D．方差是1.6
    B．OE＝AB
    C．∠DOE＝∠DEO D．∠8．（4分）图中几何体的三视图是（ ）

    A． B．

    C． D．
    9．（4分）下列函数中，y随x增大而增大的是（ ） A．y＝﹣2x C．y＝（x＜0）
    B．y＝﹣2x+3

    D．y＝﹣x2+4x+3（x＜2）
    10．（4分）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（ ）
    第2页（共24页）



    A．30° B．60° C．120°
    的解为D．150° （a，b）总在11．（4分）关于x，y的方程组直线y＝x上方，那么k的取值范围是（ ） A．k＞1
    B．k＞﹣1
    C．k＜1
    D．k＜﹣1
    12．（4分）如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，顶点D的坐标为（ ）

    A．（﹣，﹣）
    ）
    B．（，﹣） C．（﹣，D．（﹣，﹣）
    二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
    13．（4分）已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 ． 14．（4分）要想了解九年级1500名学生的心理健康评估报告，从中抽取了300名学生的心理健康评估报告进行统计分析，以下说法：①1500名学生是总体；③被抽取的300名学生是总体的一个样本；④300是样本容量．其中正确的是 ．
    15．（4分）如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB+∠C+∠CDE+∠E＝430° 度．
    第3页（共24页）




    16．（4分）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为，则该矩形的周长为 ．
    的图象如图所示，若直17．（4分）已知函数y＝线y＝kx﹣3与该图象有公共点 ．

    18．（4分）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，则h的取值范围是 ．
    三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答写出文字说明、证明过程或推演步骤）
    19．（7分）计算：（﹣1）3+|﹣1|﹣（）﹣2+2cos45°﹣．
    20．（12分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“传党情，颂党恩”知识竞赛．为了解全校学生知识掌握情况 分数x
    频数频率
    第4页（共24页）


    （分） （人） 90≤x＜100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70
    （1）请直接写出表中a，b的值，并补全频数分布直方图； （2）竞赛成绩在80分以上（含80分）记为优秀，请估计该校3500名参赛学生中有多少名学生成绩优秀；
    （3）为了参加市上的“传党情，颂党恩”演讲比赛，学校从本次知识竞赛成绩优秀的学生中再次选拔出演讲水平较好的三位同学，现从中任选两位同学参加，请利用画树状图或列表的方法
    b
    0.12

    0.18
    60
    0.3
    80
    a
    21．（11分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点第5页（共24页）



    B（x＞0）的图象上，过A （1）求k的值及点C的坐标；
    （2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD

    22．（10分）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1． （1）求证：四边形MEB1N是平行四边形； （2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．
    ，判
    23．（12分）今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长．为了应对暑期旅游旺季，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
    第6页（共24页）



    （1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？
    （2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅
    24．（12分）如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，且∠CBF＝∠BOE． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC

    25．（14分）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B． （1）求抛物线的解析式；
    （2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
    （3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N（2）的条件下，是否存在点M，请求出点M的坐标；若不存在

    第7页（共24页）




    参考答案

    一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的. 1． 参考答案：∵（﹣2）×（﹣）＝1， ∴﹣2的倒数是﹣， 故选：B．
    点拨：本题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键． 2． 参考答案：141178万＝1411780000＝1.41178×109， 故选：C．
    点拨：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要定a的值以及n的值．
    3． 参考答案：A、a3与a4不是同类项不能合并，故错误； B、a5•a4＝a7，故错误，不符合题意； C、（a6）4＝a12，故错误，不符合题意； D、（﹣2a8）4＝16a12，故正确，符合题意； 故选：D．
    点拨：本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，熟记法则是解题的关键． 4． 参考答案：∵AB∥CD， ∴∠EFP＝∠CEF＝120°，
    第8页（共24页）



    ∴∠MPF＝∠EFP﹣∠M＝120°﹣90°＝30°， ∴∠MPB＝180°﹣∠MPF＝180°﹣30°＝150°， 故选：D．
    点拨：此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
    5． 参考答案：A、为了解人造卫星的设备零件的质量情况，本选项说法错误；
    B、了解九年级（1）班同学的视力情况，本选项说法正确； C、购买一张体育彩票中奖是随机事件，不符合题意；
    D、抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是随机事件，不符合题意； 故选：B．
    点拨：本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念、全面调查和抽样调查．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6． 参考答案：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD，AC⊥BD， ∵点E是CD的中点，
    ∴OE＝DE＝CE＝CD＝，故选项B不合题意； ∴∠EOD＝∠EDO，故选项D不合题意； 故选：C．
    第9页（共24页）



    点拨：本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键．
    7． 参考答案：将这组数据重新排列为1，1，2，3，4， 所以这组数据的平均数为×（1+8+1+3+4）＝2， 中位数为1，众数为2，
    方差为×[3×（1﹣2）6+（3﹣2）3+（4﹣2）2]＝1.6， 故选：C．
    点拨：本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义．
    8． 参考答案：该几何体的三视图如下：

    故选：A．
    点拨：此题主要考查三视图的画法，注意实线和虚线在三视图的用法．
    9． 参考答案：A．一次函数y＝﹣2x中的a＝﹣2＜7，故不符合题意．
    B．一次函数y＝﹣2x+3中的a＝﹣3＜0，故不符合题意． C．反比例函数y＝，在第三象限，故不符合题意． D．二次函数y＝﹣x2+4x+3（x＜5），对称轴x＝y随x的增大而增大． 故选：D．
    第10页（共24页）

    ，开口向下，

    点拨：本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性；熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是关键． 10． 参考答案：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝4π， 设圆心角的度数是n度， 则＝2π，
    解得：n＝120． 故选：C．
    点拨：本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 11． 参考答案：解方程组，
    ∵点P（a，b）总在直线y＝x上方， ∴b＞a， ∴＞﹣，
    可得，
    解得k＞﹣1， 故选：B．
    点拨：本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，根据点在一次函数上方列出不等式求解．
    12． 参考答案：如图，连接AD．
    第11页（共24页）



    在正六边形ABCDEF中，AB＝1，∠ABD＝90°， ∴BD＝＝＝，
    在Rt△AOF中，AF＝6， ∴∠OFA＝30°， ∴OA＝AF＝， ∴OB＝OA+AB＝， ∴D（，），
    ∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°， ∴6次一个循环， ∵2025÷6＝337•6，
    ∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D3的坐标相同，
    ∵D与D3关于原点对称， ∴D3（﹣，﹣），
    ），
    ∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标（﹣，﹣故选：A．

    点拨：本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
    第12页（共24页）



    二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
    13． 参考答案：当a+b＝2，a﹣b＝3时， a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6． 故选：6．
    点拨：本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
    14． 参考答案：①1500名学生的心理健康评估报告是总体，故①不符合题意；
    ②每名学生的心理健康评估报告是个体，故②符合题意； ③被抽取的300名学生的心理健康评估报告是总体的一个样本，故③不符合题意；
    ④300是样本容量，故④符合题意； 故答案为：②④．
    点拨：考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
    15． 参考答案：∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
    ∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E＝540°， ∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E＝430°，
    第13页（共24页）



    ∴∠B＝540°﹣430°＝110°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠CDA＝180°，
    ∴∠CDA＝180°﹣110°＝70°． 故答案为70．
    点拨：本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键． 16． 参考答案：分两种情况：
    ①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为∴矩形的周长为：2（﹣1+3﹣；
    ＝2， ﹣1）＝4﹣，
    ②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为：（∴矩形的周长为5（﹣1+4）＝2．
    ；
    综上所述，该矩形的周长为6点拨：本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 17． 参考答案：当直线经过点（1，12）时，解得k＝15； 当直线与抛物线只有一个交点时，（x﹣5）3+8＝kx﹣3， 整理得x8﹣（10+k）x+36＝0，
    ∴10+k＝±12，解得k＝2或k＝﹣22（舍去）， ∴k的最大值是15，最小值是6， ∴k的最大值与最小值的和为15+2＝17． 故答案为：17．
    点拨：本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标第14页（共24页）



    特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键． 18． 参考答案：如图，BC为⊙O的弦，OB＝OC＝2， ∵BC＝2， ∴OB＝OC＝BC， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠BOC＝60°，
    ∴∠BAC＝∠BOC＝30°， 作直径BD、CE、CD，
    ∴当点A在上（不含D，△ABC为锐角三角形， 在Rt△BCD中，∵∠D＝∠BAC＝30°， ∴CD＝BC＝8，
    当A点为的中点时，即h最大， 延长AO交BC于H，如图， ∵A点为的中点， ∴＝， ∴AH⊥BC， ∴BH＝CH＝1， ∴OH＝BH＝，
    ，
    ．
    ∴AH＝OA+OH＝2+∴h的范围为2故答案为2＜h≤8+．
    ＜h≤2+第15页（共24页）




    点拨：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理．
    三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答写出文字说明、证明过程或推演步骤）
    19． 参考答案：原式＝﹣1+＝﹣4+＝﹣4．
    点拨：此题主要考查了有理数的乘方运算以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
    20． 参考答案：（1）样本容量为60÷0.3＝200， ∴a＝80÷200＝5.4，b＝200×0.12＝24， 70≤x＜80对应的频数为200×2.18＝36， 补全图形如下：
    ﹣1﹣7+
    ﹣4﹣4+2×
    第16页（共24页）




    （2）估计该校3500名参赛学生中成绩优秀的学生人数为3500×（0.4+8.3）＝2450（名）； （3）画树状图如下：

    由树状图知，共有6种等可能结果，
    所以选中的两位同学恰好是一男一女的概率为＝．
    点拨：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 21． 参考答案：（1）把点A（2，6）代入y＝， ∴反比例函数的解析式为y＝∵将点A向右平移7个单位， ∴x＝4， 当x＝4时，y＝，
    第17页（共24页）

    ，


    ∴B（4，3），
    设直线AB的解析式为y＝mx+n， 由题意可得解得，
    ，
    ∴y＝﹣x+6， 当x＝0时，y＝9， ∴C（2，9）；
    （2）由（1）知CD＝9﹣8＝4，
    ∴S△ABD＝S△BCD﹣S△ACD＝CD•|xB|﹣CD•|xA|＝×4×5﹣． 点拨：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，求得直线AB的解析式是解题的关键．
    22． 参考答案：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，
    ∵△AB1E1是△ABE旋转所得的，
    ∴AE＝AE6，∠AB1E1＝∠AB4E＝∠B＝90°， ∴B1是EE1的中点， ∴EB7＝EE4，
    ∵M、N分别是AE和AE1的中点， ∴MN∥EB1，MN＝EE1， ∴EB2＝MN，
    ∴四边形MEB1N为平行四边形，
    第18页（共24页）



    （2）△AE1F≌△CEB2， 证明：连接FC，

    ∵EB1＝B1E3＝E1F， ∴同理，S∵＝＝， ，
    ＝，
    ∴S△EAF＝S△FEC， ∵AF∥EC，
    ∴△AEF底边AF上的高和△FEC底边上的高相等． ∴AF＝EC． ∵AF∥EC， ∴∠AFE＝∠FEC， 在△AE1F和△CEB1中，
    ，
    ∴△AE1F≌△CEB4（SAS）．
    点拨：本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，以及全等三角形的判定与性质等知识，证明S△EAF＝S△FEC是解题的关键．
    第19页（共24页）



    23． 参考答案：（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元
    ，
    解得x＝160，
    经检验，x＝160是原方程的解， ∴4.75x＝120，
    答：弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元； （2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300﹣m）张 5m+3（300﹣m）≥1200， 解得m≥150；
    设购买休闲椅所需的费用为W元， 则W＝160m+120（300﹣m）， 即W＝40m+36000， ∵40＞6，
    ∴W随m的增大而增大，
    ∴当m＝150时，W有最小值，W最小＝40×150+36000＝42000， 300﹣m＝300﹣150＝150；
    答：购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用．
    点拨：此题主要考查了一次函数的应用分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，由图象得出正确信息是解题关键，学会利用不等式确定自变量取值范围，学会利用一次函数性质解决最值问题，属于中考常考题型．
    第20页（共24页）



    24．【解答】（1）证明：连结AE，OE，
    ∵∠BAE＝∠BOE∠BOE， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝90°， 即∠ABF＝90°， ∴BF⊥AB， ∴BF是⊙O的切线；
    （2）解：过点C作CG⊥BF于点G，连结BD，

    ∵∠CBF＝45°，
    ∴∠ABE＝90°﹣∠CBF＝45°， 在Rt△ABE中，AB＝4∴AE＝BE＝4∵BE＝2EC，
    第21页（共24页）

    ，
    ×sin45°＝8，


    ∴EC＝2，BC＝2，
    在Rt△CBG中，∠CBG＝45°， ∴CG＝BG＝3，
    ∵CG⊥BF，BF⊥AB， ∴AB∥CG， ∴△FCG∽△FAB， ∴∴＝＝， ，
    ， ，
    ，
    ，
    ∴FG＝5∴BF＝12在Rt△FCG中，CF＝在Rt△ABF中，AF＝∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°＝∠ABD， 又∵∠BAD＝∠BAF， ∴cos∠BAD＝cos∠BAF， 即∴＝＝， ， ．
    ∴AD＝点拨：此题考查了切线的判定与性质、圆周角定理，熟记切线的判定与性质、圆周角定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 25． 参考答案：（1）把点A（﹣1，0），﹣8）代入y＝x2+bx+c，
    第22页（共24页）



    得到方程组：解得，
    ，
    ∴抛物线的解析式为y＝x5﹣2x﹣3；
    （2）作点C关于x轴的对称点C'，则C'（3，连接AC'并延长与抛物线交与点P，

    设直线AC'的解析式为y＝mx+n， 由题意得：解得：，
    ，
    ∴直线AC'的解析式为y＝x+2， 将直线和抛物线的解析式联立得：
    ，
    解得    （舍去）或，
    ∴P（4，5）； （3）存在点M，
    过点P作x轴的垂线，由勾股定理得AP＝同理可求得AC＝，PC＝， ，
    第23页（共24页）




    ∴AP2+AC2＝PC2，∠PAC＝90°， ∴tan∠APC＝，
    ∵∠MBN＝∠APC， ∴tan∠MBN＝tan∠APC， ∴，
    （m≠3），
    设点M（m，m2﹣2m﹣3），则解得m＝当m＝或m＝﹣， 时，m2﹣7m﹣3＝），
    ，
    ∴M（﹣，当m＝∴M（，m2﹣2m﹣4＝，），
    ，，
    ∴存在符合条件的点M，M的坐标为（），（，）．
    点拨：本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，第二问中三角形的内角到三边的距离是相等的，可考虑作AC关于x轴的对称图形，此方法比较简洁，当题目中出现相等的角时，一般要考虑它们的三角函数值相等．

    第24页（共24页）


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