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    最新2019年全国数学竞赛试题详细参考答案

    时间：2022-12-17 04:00:26    下载该word文档
    中国教育学会中学数学教学专业委员会
    “《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
    题号得分评卷人复查人
    一1～5
    二6～10
    11
    三12
    13
    14
    总分

    答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.
    2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.
    一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分）
    424
    1．已知实数x，y满足423，y4y23，则4y4的值为（）．
    xxx
    （A）7（B）【答】（A）
    解：因为x20，y2≥0，由已知条件得
    12444311311431132
    y，，x28422
    113713
    （C）（D）522
    所以
    42242
    y33yy267．422
    xxx
    222
    ((30222
    另解：由已知得：x2，显然2y2，以2,y2为根的一元二次方x
    xx(y2y230
    程为t2t30，所以(
    2222y1,　　(y322xx
    422
    (2y2(122(37故4y4＝[(2y2]22　
    xxx
    2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
    后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数yx2mxn的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）．
    54117
    （A）（B）（C）（D）
    129236

    【答】（C）
    解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数.由题意知
    ＝m24n＞0，即m2＞4n.
    通过枚举知，满足条件的m，n有17对.故P
    17
    .36
    3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点
    可以确定的不同直线最少有(．
    （A）6条（B）8条（C）10条（D）12条
    【答】（B）
    解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．
    当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．
    4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且ABa1．以AB为一边在圆O内作正△
    （第3题）
    ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DBABa，DC的延长线交圆O于点E，则．AE的长为（）
    （A）
    53
    a（B）1（C）（D）a22
    【答】（B）
    解：如图，连接OE，OA，OB．设D，则ECA120EAC．
    11
    又因为ABOABD601802120，
    22
    所以△ACE≌△ABO，于是AEOA1．另解：如图，作直径EF，连结AF，以点B为圆心，AB为半径作⊙B，因为AB＝BC＝BD，则点A，C，D都在⊙B上，
    O
    E
    C
    D
    （第4题）
    F
    11
    FEDACBA6030由
    22
    所以AEEFsimF2sim301
    AB
    5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．

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