天津市滨海新区2019届九年级一模考试数学试题

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．计算（﹣4）3的结果等于（　　）

A．﹣12 B．12 C．﹣64 D．64

2．cos45°的值等于（　　）

A． B． C． D．

3．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．某城区青年在“携手添绿，美丽共创”植树活动中，共栽植、养护树木15000棵．将15000用科学记数法表示为（　　）

A．1.5×104 B．15×103 C．1.5×105 D．0.15×106

5．如图是一个大正方体切去一个小正方体形成的几何体，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．

6．若a＝，则下列关系正确的为（　　）

A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a

7．计算•的结果为（　　）

A． B． C． D．x+6

8．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）

A．x2﹣8x+17＝0 B．x2﹣6x﹣10＝0 C．x2﹣4x+9＝0 D．x2﹣4x+4＝0

9．若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在反比例函数（k为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1

10．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BCO绕点C按顺时针旋转60°得到△ACD，则下列结论不正确的是（　　）

A．BO＝AD B．∠DOC＝60° C．OD⊥AD D．OD∥AB

11．如图，已知菱形ABCD，AB＝4，∠BAD＝120°，E为BC的中点，P为对角线

BD上一点，则PE+PC的最小值等于（　　）

A． B．2 C． D．8

12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴，下列结论：①2a+b＞0：②方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根一个大于1，另一个小于﹣1：③b＝﹣1：④a＞1，其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（每小题3分，共18分）

13．计算2x3•（﹣5xy2）的结果等于　 　．

14．计算的结果等于　 　．

15．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是　 　．

16．将函数y＝﹣2x的图象向下平移n个单位得到的图象经过点（2，﹣8），那么n的值等于　 　．

17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝，∠BAD＝∠ADE＝60°，AD＝5，CE平分∠ACB，DE与CE相交于点E，则DE的长等于　 　．

18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B均为格点．

（1）AB的长等于　 　．

（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点P，使得以AB为底边的等腰三角形PAB的面积等于，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

19．（8分）解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得　 　；

（Ⅱ）解不等式②，得　 　；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．

20．（8分）为了解学生参加户外活动的情况，某中学对学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：

（Ⅰ）被抽查的学生有　 　人，抽查的学生中每天户外活动时间是1.5小时的有　 　；

（Ⅱ）求被抽查的学生的每天户外活动时间的众数、中位数和平均数；

（Ⅲ）该校共有1200名学生，请估计该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少？

21．（10分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O为AB上一点．⊙O经过点A，与AC交于点E，与AB交于点F，连接EF．

（Ⅰ）如图1，若∠B＝30°，AE＝2，求AF的长；

（Ⅱ）如图2，DA平分∠CAB，交CB于点D，⊙O经过点D；

①求证：BC为⊙O的切线：②若AE＝3，CD＝2，求AF的长．

22．（10分）如图所示，在建筑物顶部有一长方形广告牌架CDEF，已知CD＝2m，在地面上A处测得广告牌上端C的仰角为37°，前进10m到达B处，在B处测得广告牌架下端D的仰角为60°，求广告牌架下端D到地面的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：tan37°≈0.75，取1.73）

23．（10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中不超过200元的不打折，超过200元后的价格部分打7折．设商品原价为x元，顾客购物金额为y元．

（1）根据题意，填写如表：

（Ⅱ）分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数关系式；

（Ⅲ）若x≥500时，选择哪家商场去购物更省钱？并说明理由．

24．（10分）如图所示，将矩形纸片OABC放置在直角坐标系中，点A（3，0），点C（0，）

（Ⅰ）如图1，经过点O、B折叠纸片，得折痕OB，点A的对应点为A1，求∠A1OC的度数；

（Ⅱ）如图2，点M、N分别为边OA、BC上的动点，经过点M、N折叠纸片，得折痕MN，点B的对应点为B1

①当点B1的坐标为（﹣1.0）时，请你判断四边形MBNB1的形状，并求出它的周长；

②若点N与点C重合，当点B1落在坐标轴上时，直接写出点M的坐标．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；

（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且PA＝QA．求n的值；

（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题

1．解：（﹣4）3＝（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）＝﹣64．

故选：C．

2．解：cos45°＝．

故选：D．

3．解：第一个图形是轴对称图形，是中心对称图形；

第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；

第三个图形是轴对称图形，是中心对称图形；

第四个图形是轴对称图形，是中心对称图形．

共有3个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，

故选：C．

4．解：将15000用科学记数法表示为：1.5×104．

故选：A．

5．解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个小正方形，

故选：B．

6．解：∵b＝|﹣6|＝6，c＝＜＝5，a＝＜＝2，

∴b＞c＞a，

故选：D．

7．解：原式＝•＝，

故选：A．

8．解：A、△＝（﹣8）2﹣4×17＝﹣4＜0，方程无实数根，所以A选项错误；

B、△＝（﹣6）2﹣4×（﹣10）＝104＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项正确；

C、△＝（﹣4）2﹣4×9＝﹣4＜0，方程无实数根，所以C选项错误；

D、△＝（﹣4）2﹣4×4＝0，方程有两个相等的实数根，所以D选项错误．

故选：B．

9．解：∵k为常数，

∴k2+1＞0，

∴反比例函数（k为常数）的图象位于一三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，

因此点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）在第三象限，而C（2，y3）在第一象限，

∴y2＜y1＜0，y3＞0，

∴y2＜y1＜y3，

故选：A．

10．解：由旋转的性质得，BO＝AD，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，∠ADC＝∠BOC＝150°，

∵∠ACB＝60°，

∴∠DCO＝60°，

∴△OCD为等边三角形，

∴∠DOC＝60°，故A，B正确；

∵∠ODC＝60°，∠ADC＝∠BOC＝150°，

∴∠ADO＝90°，

∴OD⊥AD，故C正确；

故选：D．

11．解：菱形A与C关于BD对称，

连接AE，即为PE+PC的最小值；

∵AB＝4，∠BAD＝120°，E为BC的中点，

∴∠ABC＝60°，BE＝2，

在Rt△ABE中，AE＝2；

故选：B．

12．解：①由图象可知，a＞0，对称轴x＝﹣＜1，

∴2a+b＞0，正确；

②当y＝2时，函数的两个根一个是﹣1，一个大于1，

当y＝3时，函数的两个根一个小于﹣1，一个大于1．

∴程ax2+bx+c﹣3＝0的两根一个大于1，另一个小于﹣1；正确；

③将（﹣1，2）和（1，0）代入y＝ax2+bx+c，

得，

∴b＝﹣1；正确；

④∵2a+b＞0，b＝﹣1，

∴a＞；

∵a+c＝1，c＜0，

∴1﹣a＜0，

∴a＞1；

④正确；

故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．解：原式＝﹣10x4y2．

故答案为：﹣10x4y2．

14．解：原式＝12+6+12

＝18+12．

故答案为18+12．

15．解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的积小于4的结果数为4，

所以两次摸出的小球标号的积小于4的概率＝＝．

故答案为．

16．解：∵函数y＝﹣2x的图象向下平移n个单位得到y＝﹣2x﹣n，

∵图象经过点（2，﹣8），

∴﹣4﹣n＝﹣8，

解得n＝4．

故答案为：4．

17．解：延长DE交AB于F，延长CE交AB于G，如图所示：

∵∠BAD＝∠ADE＝60°，

∴AF＝DF，

∴△ADF是等边三角形，

∴AF＝DF＝AD＝5，∠AFD＝60°，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CE平分∠ACB，

∴AB＝AC＝8，CG⊥AB，CG＝AB＝AG＝4，

∴GF＝AF﹣AG＝5﹣4＝1，∠GEF＝30°，

∴EF＝2GF＝2，

∴DE＝DF﹣EF＝5﹣2＝3；

故答案为：3．

18．解：（1）AB＝＝，

故答案为．

（2）如图取格点C、G（使得S△CAB＝），作直线CG，作矩形ANBM和矩形EQGD，得到对角线的交点F和H，

作直线FH，交CG于P，则△PAB是等腰三角形，且S△PAB＝，则点P即为所求．

三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤成推理过程）

19．解：（Ⅰ）解不等式①，得x＞2；

（Ⅱ）解不等式②，得x≤5；

（Ⅲ）如图：

（Ⅳ）原不等式组的解集为2＜x≤5．

故答案为x＞2，x≤5，2＜x≤5．

20．解：（1）∵0.5小时的有100人占被调查总人数的20%，

∴被调查的人数有：100÷20%＝500，

1.5小时的人数有：500×24%＝120，

故答案为：500，120；

（2）由（1）可知被调查学生500人，由条形统计图可得，众数是1小时，中位数是1小时，

平均数＝＝1.18小时；

（3）由题意可得，

该校每天户外活动时间超过1小时的学生数为：×1200＝280人，

即该校每天户外活动时间超过1小时的学生有280人．

21．（Ⅰ）解：∵AF是⊙O的直径，

∴∠AEF＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠AEF＝∠ACB，

∴EF∥AB，

∴∠AFE＝∠B＝30°，

∴AF＝2AE＝4；

（Ⅱ）①证明：连接OD，如图2所示：

∵DA平分∠CAB，

∴∠DAC＝∠DAO，

∵OA＝OD，

∴∠DAO＝∠ADO，

∴∠DAC＝∠ADO，

∴OD∥AC，

∴∠ODB＝∠ACB＝90°，

∴BD⊥OD，

∵⊙O经过点D，

∴BC为⊙O的切线；

②解：∵BC为⊙O的切线，CA＝CE+AE＝CE+3，

∴CD2＝CE×CA，即22＝CE（CE+3），

解得：CE＝1，或CE＝﹣4（舍去），

∴CA＝4，

设⊙O的半径为r，

∵EF∥BC，

∴＝＝＝3，

∴AF＝3BF＝2r，

∴BF＝r，

∵OD∥AC，

∴△BOD∽△BAC，

∴＝，即＝，

解得：r＝，

∴AF＝2r＝5．

22．解：延长CD交AB的延长线于H，则CD⊥AB，

设DH＝xm，则CH＝（x+2）m，

在Rt△DHB中，tan∠DBH＝，

∴BH＝＝x，

则AH＝AB+BH＝x+10，

在Rt△CAH中，tan∠CAH＝，即≈0.75，

解得，x≈9.7（m），

答：广告牌架下端D到地面的距离约为9.7m．

23．解：（Ⅰ）150×0.8＝120，250×0.8＝200；200+50×0.7＝235．

故答案为：120；200；150；235；

（Ⅱ）甲商场：y＝0.8x（x≥0）；

乙商场：当0≤x≤200时，y＝x；

当x＞200时，y＝200+0.7（x﹣200）＝0.7x+60；

即y＝；

（Ⅲ）∵x≥500，

∴由0.8x＝0.7x+60，得：x＝600，

∴当购物金额按原价大于或等于500元而小于600元时，在甲商场购物省钱；

当购物金额按原价等于600元时，在两商场花钱一样多；

当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱．

24．解：（Ⅰ）如图1中，

∵点A（3，0），点C（0，），

∴OA＝3，OC＝，

∵四边形OABC是矩形，

∴AB＝OC＝，∠OAB＝90°，

∴tan∠AOB＝＝，

∴∠AOB＝30°，

∵∠AOC＝90°，

∴∠BOC＝60°，

由翻折的性质可知：∠A′OB＝∠AOB＝30°，

∴∠A′OC＝30°．

（Ⅱ）①如图2中，结论：四边形BMB′N是菱形．

连接MN，BB′交于点F．

由翻折可知：BB′⊥MN，NB＝NB′，MB＝MB′，

∴∠NBB′＝∠NB′B，

∵BN∥MB′，

∴∠NBB′＝∠BB′A，

∵∠B′NF+∠NB′F＝90°，∠B′MF+∠MB′F＝90°，

∴∠B′NF＝∠B′MF，

∴B′N＝B′M，

∴B′N＝NB＝BM＝MB′，

∴四边形BMB′N是菱形．

②如图3﹣1中，当点B′落在y轴上时，CB＝CB′＝3，

∴OB′＝3﹣，

易证△BAM≌△OMB′，可得AM＝OB′＝3﹣，

∴OM＝3﹣（3﹣）＝，

∴M（，0）．

如图3﹣2中，当点B′落在x轴上时，易证CB＝CB′＝MB′＝3，

∴OB′＝＝，

∴OM＝3﹣，

∴M（3﹣，0）．

综上所述，满足条件的M点的坐标为（3﹣，0）或（，0）．

25．（Ⅰ）解：∵抛物线y＝经过点A（5，0），O（0，0），

∴，解得b＝﹣，c＝0，

∴抛物线的解析式为；

对称轴为x＝﹣．

（Ⅱ）如图，连接PA，AB，PQ，

∵点C（m，4）在抛物线上，

∴，解得m1＝8，m2＝﹣3（舍去）

∴C（8，4），

∵A（5， 0），B（0，10），

∴AB2＝52+102＝125，BC2＝82+（10﹣4）2＝100，AC2＝42+（8﹣5）2＝25，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，

∵点P（0，n）在线段OB上，OP＝2BQ，

∴OP＝n，则BQ＝，CQ＝10﹣，

∵AP＝AQ，

∴，

∵n＞0，

∴n＝．

（Ⅲ）存在，

∵A（5，0），B（0，10），

∴AB＝5

设点M（，m），

①若BM＝BA时，

∴，

∴，m，

∴M1（），M，

②若AM＝AB时，

∴

∴，，

∴，

③若MA＝MB时，

∴，

∴m＝5，

∴M（，5），此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，

∴点M的坐标为：M，，M，．