2019年北京市丰台区中考数学一模试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1．（2分）下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（　　）

A． B．

C． D．

2．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．|a|＞4 B．a+d＞0 C．c﹣b＞0 D．ad＞0

3．（2分）2019年春运期间，全国铁路有23天旅客发送量每天超过1000万人次，那么这23天约发送旅客总人次是（　　）

A．2.3×103 B．2.3×104 C．2.3×107 D．2.3×108

4．（2分）方程组的解为（　　）

A． B． C． D．

5．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．长方体 D．正方体

6．（2分）如果3x﹣4y＝0，那么代数式的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．（2分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　）

A．18° B．36° C．41° D．58°

8．（2分）某市组织全民健身活动，有100名男选手参加由跑、跳、投等10个田径项目组成的“十项全能”比赛，其中25名选手的一百米跑成绩排名，跳远成绩排名与10项总成绩排名情况如图所示．

甲、乙、丙表示三名男选手，下面有3个推断：

①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；

②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠后；

③丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前．

其中合理的是（　　）

A．① B．② C．①② D．①③

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．

10．（2分）关于x的不等式ax＜b的解集为x＞﹣1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝　 　，b＝　 　．

11．（2分）如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，b上．若a∥b，∠1＝35°，则∠2的度数为　 　．

12．（2分）如图，将△ABC沿BC所在的直线平移得到△DEF，如果AB＝7，GC＝2，DF＝5，那么GE＝　 　．

13．（2分）为了解同学们对网络游戏的喜好和作业量多少的相关性，小明随机对年级50名同学进行了调查，并将调查的情况进行了整理，如下表：

如果小明再随机采访一名同学，那么这名同学是“喜欢网络游戏并认为作业多”的可能性　 　“不喜欢网络游戏并认为作业不多”的可能性．（填“＞”，“＝”或“＜”）

14．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AD为直径，如果∠BAD＝70°，∠CDA＝50°，BC＝2，那么AD＝　 　．

15．（2分）京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通保障设施．京张高铁设计时速350公里，建成后，乘高铁从北京到张家口的时间将缩短至1小时．如图，京张高铁起自北京北站，途经昌平、八达岭长城、怀来等站，终点站为河北张家口南，全长174公里．如果按此设计时速运行，设每站（不计起始站和终点站）停靠的平均时间是x分钟，那么依题意，可列方程为　 　．

16．（2分）如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1且顶点称为格点，点A，B均在格点上．在网格中建立平面直角坐标系，且A（﹣1，1），B（1，2）．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，那么当△ABC的面积最大时，点C的坐标为　 　．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．（5分）下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．

已知：直线l及直线l上一点A．

求作：直线AB，使得AB⊥l．

作法：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于C，D两点；

②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径画弧，两弧在直线l一侧相交于点B；

③作直线AB．

所以直线AB就是所求作的垂线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：∵AC＝　 　，BC＝　 　，

∴AB⊥l（　 　）．（填推理的依据）

18．（5分）计算：2﹣1﹣2cos30°+|﹣|+（3.14﹣π）0．

19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．

20．（5分）解不等式组：

21．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点O关于直线CD的对称点为E，连接DE，CE．

（1）求证：四边形ODEC为菱形；

（2）连接OE，若BC＝2，求OE的长．

22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．

（1）求证：GC∥AE；

（2）若sin∠EAB＝，OD＝，求AE的长．

23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A，与函数y＝（x＞0）的图象交于点B（2，a）．

（1）求a，k的值；

（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上的一点，过点M作平行于y轴的直线，交直线l于点P，过点A作平行于x轴的直线交MP于点N，已知点M的横坐标为m．

①当m＝时，求MP的长；

②若MP≥PN，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

24．（6分）体育李老师为了解九年级女生体质健康的变化情况，本学期从九年级全体90名女生中随机抽取15名女生进行体质测试，并调取该15名女生上学期的体质测试成绩进行对比，李老师对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；

b．上学期测试成绩在80≤x＜90的是：

8081 83 84 84 88

c．两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中n的值是　 　；

（2）体育李老师计划根据本学期统计数据安排80分以下的同学参加体质加强训练项目，则九年级约有　 　名女生参加此项目；

（3）分析这15名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况．（从两个方面进行分析）

25．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝2x+的图象，并利用图象解决问题．小泽根据学习函数的经验，对函数y＝2x+的图象进行了探究．下面是小泽的探究过程，请补充完整：

（1）函数y＝2x+的自变量x的取值范围是　 　；

（2）下表是y与x的几组对应值．

其中m的值为　 　；

（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）结合函数图象，解决问题：当2x+＝4时，x的值约为　 　．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过原点和点A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点．记抛物线与直线AB围成的封闭区域（不含边界）为W．

①当a＝1时，求出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．

27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，点E为AC延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交CB的延长线于点F．

（1）求证：BF＝CE；

（2）若CE＝AC，用等式表示线段DF与AB的数量关系，并证明．

28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点A，B，使得以P，A，B为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“等边依附点”．

（1）已知M（﹣3，﹣），N（3，﹣）．

①在点C（﹣2，2），D（0，1），E（1，）中，是线段MN的“等边依附点”的是　 　；

②点P（m，0）在x轴上运动，若P为线段MN的“等边依附点”，求点P的横坐标m的取值范围；

（2）已知⊙O的半径为1，若⊙O上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长n的取值范围．

2019年北京市丰台区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得

（n﹣2）•180°＝360°，

解得n＝4．

故选：B．

2．【解答】解：

易知：3＜|a|＜4，选项A错误

∵|a|＞|b|，a＜0，

∴a+d＜0，选项B错误

∵c＞0，b＜0

∴c﹣b＞0

选项C正确

∵a＜0，d＞0

∴ad＞0

选项D错误

故选：C．

3．【解答】解：1000万×23＝2.3×108．

故选：D．

4．【解答】解：，

①×2﹣②得：

y＝﹣3，

把y＝﹣3代入①得：

x+3＝2，

解得：x＝﹣1，

原方程组的解为：，

故选：C．

5．【解答】解：根据有一个视图为三角形，排除长方体和正方体，

根据有两个视图是矩形，排除掉三棱锥，

综上所述，该几何体为三棱柱，

故选：B．

6．【解答】解：∵3x﹣4y＝0，

∴x＝y，

∴＝•＝＝＝1．

故选：A．

7．【解答】解：由图象可得，

该函数的对称轴x＞且x＜54，

∴36＜x＜54，

故选：C．

8．【解答】解：由折线统计图可知：

①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；结论正确；

②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；故原说法错误；

③由图2中10项总成绩的位置可知丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前；结论正确．

所以合理的是①③．

故选：D．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，

解得x≥2；

故答案为：x≥2．

10．【解答】解：∵不等式ax＜b的解集为x＞﹣1，

∴＝﹣1，且a＜0，

则一组满足条件的实数a＝﹣2，b＝2，

故答案为：﹣2；2

11．【解答】解：如图所示：

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，

∴∠1+∠BAC＝35°+90°＝125°，

∵a∥b，

∴∠ACD＝180°﹣125°＝55°，

∴∠2＝∠ACD﹣∠ACB＝55°﹣45°＝10°；

故答案为：10°

12．【解答】解：∵△DEF由△ABC平移而成，

∴AB＝DE＝7，BE＝CF，AC∥DF，

∴△EGC∽△EDF．

∴＝．

∵AB＝7，GC＝2，DF＝5，

∴＝．

∴GE＝．

故答案是：．

13．【解答】解：随机采访一名同学，这名同学是“喜欢网络游戏并认为作业多”的概率＝＝，

随机采访一名同学，这名同学是“不喜欢网络游戏并认为作业不多”的概率＝＝，

而＞，

所以这名同学是“喜欢网络游戏并认为作业多”的可能性＞“不喜欢网络游戏并认为作业不多”的可能性．

故答案为＞．

14．【解答】解：连接OB，OC，

∵OB＝OA，OC＝OD，

∴∠OBA＝∠A＝70°，

∠OCD＝∠D＝50°，

∴∠AOB＝40°，∠COD＝80°，

∴∠COB＝60°，

∴△COB是等边三角形，

∴OB＝OA＝2，

∴AB＝2OA＝4．

故答案为：4．

15．【解答】解：设每站（不计起始站和终点站）停靠的平均时间是x分钟，

依题意得：．

故答案是：．

16．【解答】解：如图：AB＝AC＝BC′＝AC′′＝＝，

△ABC的面积＝×4×1＝2，

△ABC′的面积＝2×3﹣×1×2×2﹣×1×3＝，

△ABC′′的面积＝2×3﹣×1×2×2﹣×1×3＝，

则当△ABC的面积最大时，点C的坐标为（0，﹣1）或（2，0），

故答案为：（0，﹣1）或（2，0）．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．【解答】解：（1）如图：

（2）证明：∵AC＝AD，BC＝BD，

∴AB⊥l（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．（填推理的依据）

故答案为AD，BD；“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”．

18．【解答】解：原式＝＝

19．【解答】解：（1）∵△＝（m+3）2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，

∴方程总有两个实数根；

（2）∵，

∴x1＝m+2，x2＝1．

∵方程两个根的绝对值相等，

∴m+2＝±1．

∴m＝﹣3或﹣1．

20．【解答】解：由①，得x＜4，

由②，得x≥﹣9，

∴此不等式组的解集是﹣9≤x＜4．

21．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OD＝OC．

∵点O关于直线CD的对称点为E，

∴OD＝ED，OC＝EC．

∴OD＝DE＝EC＝CO．

∴四边形ODEC为菱形

（2）由（1）知四边形ODEC为菱形，连接OE．

∴CE∥OD且CE＝OD．

∴CE∥BO且CE＝BO．

∴四边形OBCE为平行四边形．

∴．

22．【解答】（1）证明：连接OC，交AE于点H．

∵C是弧AE的中点，

∴OC⊥AE．

∵GC是⊙O的切线，

∴OC⊥GC，

∴∠OHA＝∠OCG＝90°，

∴GC∥AE；

（2）解：∵OD⊥AE，CD⊥AB，

∴∠OCD＝∠EAB．

∴sin∠OCD＝sin∠EAB＝．

在Rt△CDO中，OD＝，

∴，

∴，

连接BE．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°．

在Rt△AEB中，

∵，

∴，

∴．

23．【解答】解：（1）由题意，得A（0，1）．

∵直线l过点B（2，a），

∴a＝3．

∵反比例函数的图象经过点B（2，3），

∴k＝6；

（2）①由题意，得，．

∴；

②如图所示，

或m≥6时，MP≥PN．

24．【解答】解：（1）表中n的值是83；

故答案为：83；

（2）90×＝18，

答：九年级约有18名女生参加此项目；

故答案为：18；

（3）这15名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况为：体质测试成绩本学期比上学期明显变好，①平均分提高了，①高于80分占80%．

25．【解答】解：（1）函数y＝2x+的自变量x的取值范围是x≠0，

故答案为：x≠0；

（2）把x＝2代入y＝2x+得，

解得：y＝，

∴m＝4；

故答案为：4；

（3）该函数的图象如图所示；

（4）由函数图象得，当2x+＝4时，x的值约为，

故答案为：．

26．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过原点（0，0）和点A（﹣2，0），

∴抛物线的对称轴为x＝﹣1．

（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c过原点（0，0）和点A（﹣2，0），

∴c＝0，b＝2a．

∴抛物线解析式可化为y＝ax2+2ax．

①a＝1时，抛物线解析式为y＝x2+2x．

∴抛物线的顶点为（﹣1，﹣1）．

由图象知，区域W的整点个数为2．

②当a＞0，结合图象：W内已有2个固定整点（﹣1，0），（0，1）

剩下一个整点只可为（﹣1，﹣1）或（1，2）

（Ⅰ）当整点为（﹣1，﹣1）时，x＝﹣1，y＜﹣1，y也必须大于﹣2，（除点（﹣1，﹣2）外）

∴x＝﹣1时，﹣2≤＜﹣1，则1＜a≤2

（Ⅱ）当整点为（1，2）时，x＝1，y＜2，y也必须大于1，（除点（1，1）外）

∴x＝1时，1≤y≤2，则

当a＜0时，

∵抛物线过（﹣2，0），（0，0）

∴整点的横坐标只可能为﹣1

有三个整点，即（﹣1，1），（﹣1，2），

（﹣1，3）但不过（﹣1，4）

∴x＝﹣1时，4≥y＞3，

∴﹣4≤a＜﹣3

综上所述，或1＜a≤2或﹣4≤a＜﹣3．

27．【解答】解：（1）如图1所示：

连接CD，DE与CF相交于点H，

∵在Rt△ABC中，D为AB中点，

∴CD＝BD，

又∵AC＝BC，

∴DC⊥AB，

∴∠ABC＝∠DCB＝45°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCE＝90°，

∵∠ABC+∠ABF＝180°，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，

∴∠DBF＝180°﹣45°＝135°，∠DCB＝90°+45°＝135°，

∴∠DBF＝∠DCB，

∵DF⊥DE，

∴∠DHF+∠F＝90°，

又∵∠CHE+∠E＝90°；∠CHE＝∠DHF，

∴∠F＝∠E，

在△DBF和△DCE中

，

∴△DBF≌△DCE（AAS），

∴BF＝CE．

（2）如图2所示

线段DF与AB的数量关系：DF＝AB．

连接BC，设AD＝BD＝a，则AB＝2a．

∵△DBF≌△DCE，

∴DF＝DE．

∵CE＝AC，DA＝DB，

∴DC∥BE，

又∵∠ADC＝90°，

∴∠ABE＝90°，

∵∠A＝45°，

∴∠AEB＝45°，

∴AB＝BC＝2a，

在Rt△BDE中，由勾股定理得：

DE2＝DB2+BE2，

∴DE＝，

∴DF＝a，

∴＝．

即DF＝AB．

28．【解答】解：（1）①D，E；如图1，过点C作CD⊥MN于D，连接CM，过点E作EF⊥MN于F，连接EN，EM，DM，DN，

∵tan∠CMD＝＝2＞＝tan60°，

∴∠CMD＞60°，

∴点C不是线段MN的“等边依附点”；

∵tan∠DMN＝tan∠DNM＝＜，

∴∠DMN＝∠DNM＜60°

∴D是线段MN的“等边依附点”；

∵tan∠ENF＝＝＝，tan∠EMN＝＝＝＜

∴∠ENF＝60°，∠EMN＜60°

∴E是线段MN的“等边依附点”；

故答案为D，E

②在图1中，分别在线段MN上方作∠NMQ＝∠MNP＝60°，角的一条边与MN重合，另一边分别与x轴交于Q，P，

作QD⊥MN于D，

∵＝tan60°，即：＝，解得：MD＝1

∴Q（﹣2，0）

同理，可得P（2，0）

∴点P的横坐标m的取值范围为：﹣2≤m≤2；

（2）如图2，△ABC是等边三角形，点O为AB的中点，⊙O与AC、BC分别相切于P、Q，

∵△ABC是等边三角形

∴∠BAC＝∠ABC＝60°

连接CO，OP，OQ，则OC⊥AB，OP⊥AC，OQ⊥BC

∴＝sin60°，＝sin60°；

∵OP＝OQ＝1

∴OA＝OB＝

∴AB的最小值为，

∴．