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2019全国高中数学联赛试题
全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1.设集合A{1,2,3,数.解析：因为A{1,2,3,BC{2,4,6,,99}，所以B{2,4,6,,198},C{1,2,3,,49},于是
,99}，B{2xxA}，B{x2xA}，则BC的元素个,48}，共24个元素.2.设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成角不小于30且不大于60，则这样的点Q所构成的区域的面积为.解析：过点P作平面的垂线，这垂足为O，则点Q的轨迹是以O为圆心，分别以ON1和OM3为半径的扇环,于是点Q所构成的区域的面积为SS2S1
98.

MPNNOOM
3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abcdef是偶数的概率为.解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有A66720种不同的排法，要使abcdef为偶数，abc为与def同为偶数或abc与且def同为奇数.（1）若a,b,c中一个偶数两个奇数且d,e,f中一个奇数两个偶数.共324种情形；（2）若a,b,c中一个奇数两个偶数且d,e,f中一个偶数两个奇数.共324种情形；共有648种情形.综上所述，abcdef是偶数的概率为6489.72010（间接法）“abcdef是偶数”的对立事件为“abcdef是偶数”，abcdef是偶数分成两种情况：“abc是偶数且def是奇数”或“abc是奇数且def是偶数”，每
2019全国高中数学联赛试题
种情况有A33A3336种不同情形，共有72中不同情形，abcdef是偶数的概率为1729.72010x2y24.在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：221（ab0）的左、右焦点分别ab是F1,F2，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴和y轴，且相交于点P．已知线段PU、PS、PV、PT的长分别为1,2,3,6，则PF1F2的面积为.

解析：不妨设弦ST与UV的交点位于第一象限，如图所示.则ST8，UV4，Ty
USPo
x
Vx2y21则点P的坐标为(2,1.直线x2被椭圆C截得的弦长为UV4，由a2b2得
x2x2y2ba4b(a42212UV2y24y