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    2020年辽宁省营口市中考数学试卷含答案解析-

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    2020年辽宁省营口市中考数学试卷
    一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分） 1．﹣6的绝对值是（ ） A．6
    B．﹣6
    C．
    D．﹣
    2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）

    A． B． C． D．
    3．下列计算正确的是（ ） A．x2•x3＝x6 C．（x+y）2＝x2+y2
    B．xy2﹣xy2＝xy2 D．（2xy2）2＝4xy4

    4．如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为 （ ）

    A．66°
    B．56°
    C．68°
    D．58°
    5．反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（ ） A．第一象限
    B．第二象限
    C．第三象限
    ＝，则的值为（ ）
    D．第四象限
    6．如图，在△ABC中，DE∥AB，且第1页（共25页）




    A．
    B．
    C．
    D．
    7．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）

    A．110°
    B．130°
    C．140°
    D．160°
    8．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ） A．x1＝2，x2＝﹣3 C．x1＝﹣2，x2＝﹣3
    B．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝3
    9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
    射击次数 “射中九环以上”的次数 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
    根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ） A．0.90

    20 18
    80 68
    100 82
    200 168
    400 327
    1000 823
    0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
    B．0.82 C．0.85
    第2页（共25页）
    D．0.84


    10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（ ）

    A．3
    B．
    C．2
    D．1
    二、填空題（每小题3分，共24分） 11．ax2﹣2axy+ay2＝ ．
    12．长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为 ． 13．（3+）（3﹣）＝ ．
    14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 ．
    15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为 ．
    16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为 ．

    17．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 ．
    第3页（共25页）




    18．如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为 ．

    三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分） 19．（10分）先化简，再求值：（数代入求值．
    20．（10分）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
    （1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；
    （2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 四、解答题（21小题12分，22小题12分，共24分）
    21．（12分）“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调第4页（共25页）

    ﹣x）÷，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整

    查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：

    （1）补全条形统计图；
    （2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为 ；
    （3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．
    22．（12分）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.73）

    五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）
    23．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D． （1）求证：AB为⊙O的切线；
    （2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长．
    第5页（共25页）




    24．（12分）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）． （1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
    （2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
    六、解答题（本题满分14分）
    25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
    （1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 ；
    （2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
    （3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．

    七、解答题（本题满分14分）
    26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式；
    （2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
    第6页（共25页）



    ①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
    ②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．

    第7页（共25页）




    2020年辽宁省营口市中考数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分） 1．﹣6的绝对值是（ ） A．6
    B．﹣6
    C．
    D．﹣
    【解答】解：|﹣6|＝6， 故选：A．
    2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）

    A． B． C． D．
    【解答】解：从上面看易得俯视图：
    ．
    故选：C．
    3．下列计算正确的是（ ） A．x2•x3＝x6 C．（x+y）2＝x2+y2
    B．xy2﹣xy2＝xy2 D．（2xy2）2＝4xy4

    【解答】解：A、x2•x3＝x5，原计算错误，故此选项不符合题意； B、xy2﹣xy2＝xy2，原计算正确，故此选项符合题意； C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意； D、（2xy2）2＝4xy4，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B．
    4．如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数第8页（共25页）



    为 （ ）

    A．66°
    B．56°
    C．68°
    【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°； ∵EG平分∠BEF， ∴∠GEB＝58°． 故选：D．
    5．反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（ ） A．第一象限
    B．第二象限
    C．第三象限
    【解答】解：∵反比例函数y＝（x＜0）中，k＝1＞0， ∴该函数图象在第三象限， 故选：C．
    6．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（
    A．
    B．
    C．
    【解答】解：∵DE∥AB， ∴＝＝，
    第9页（共25页）

    D．58°
    D．第四象限
    D．

    ）

    ∴的值为，
    故选：A．
    7．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）

    A．110°
    B．130°
    C．140°
    【解答】解：如图，连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，
    ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°， ∵∠B+∠ADC＝180°，
    ∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°． 故选：B．

    8．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝﹣3
    D．x1＝2，x2＝3
    【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0， x﹣2＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝2，x2＝3． 故选：D．
    9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
    第10页（共25页）

    D．160°


    射击次数 “射中九环以上”的次数 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
    20 18
    80 68
    100 82
    200 168
    400 327
    1000 823
    0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
    根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ） A．0.90
    B．0.82
    C．0.85
    D．0.84
    【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82． 故选：B．
    10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（ ）

    A．3
    B．
    C．2
    D．1
    【解答】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0）， ∵点C为斜边OB的中点， ∴C（，），
    第11页（共25页）



    ∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C， ∴k＝•＝，
    ∵∠OAB＝90°， ∴D的横坐标为m，
    ∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D， ∴D的纵坐标为， 作CE⊥x轴于E，
    ∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝， ∴（AD+CE）•AE＝，即（+）（m﹣m）＝， •∴∴k＝＝1， ＝2，
    故选：C．

    二、填空題（每小题3分，共24分） 11．ax2﹣2axy+ay2＝ a（x﹣y）2 ． 【解答】解：ax2﹣2axy+ay2 ＝a（x2﹣2xy+y2） ＝a（x﹣y）2． 故答案为：a（x﹣y）2．
    12．长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为 1.8×106 ． 【解答】解：将1800000用科学记数法表示为 1.8×106， 故答案为：1.8×106． 13．（3
    +）（3﹣）＝ 12 ．
    第12页（共25页）


    【解答】解：原式＝（3＝18﹣6 ＝12． 故答案为：12．
    ）2﹣（）2
    14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 丙 ．
    【解答】解：∵平均成绩都是87.9分，S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52， ∴S丙2＜S乙2＜S甲2， ∴丙选手的成绩更加稳定， ∴适合参加比赛的选手是丙， 故答案为：丙．
    15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为 15π ． 【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4， ∴母线长为5，
    ∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π， 故答案为：15π
    16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为 4 ．

    【解答】解：∵OA＝1，OB＝2， ∴AC＝2，BD＝4，
    ∴菱形ABCD的面积为×2×4＝4． 故答案为：4．
    17．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为
    3第13页（共25页）

    ．



    【解答】解：过C作CF⊥AB交AD于E，
    则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF， ∵△ABC为等边三角形，边长为6， ∴BF＝AB＝∴CF＝6＝3，
    ＝，
    ＝3，
    ∴CE+EF的最小值为3故答案为：3．

    18．如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为
    （1+）2019 ．
    第14页（共25页）




    【解答】解：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1•tan60°＝∵A1B1∥A2B2， ∴＝，
    ，
    ∴＝（1+， ）， （1+）2，
    ∴A2B2＝同法可得，A3B3＝…
    由此规律可知，A2020B2020＝故答案为（1+）2019．
    （1+）2019，
    三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分） 19．（10分）先化简，再求值：（数代入求值． 【解答】解：原式＝＝＝﹣2﹣x． ∵x≠1，x≠2，
    ∴在0≤x≤2的范围内的整数选x＝0． 当x＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2．
    第15页（共25页）

    ﹣x）÷，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整•

    •

    20．（10分）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗． （1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为
    ；
    （2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 【解答】解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝； 故答案为：； （2）画树状图为：

    共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4， 所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝四、解答题（21小题12分，22小题12分，共24分）
    21．（12分）“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
    ＝．

    （1）补全条形统计图；
    第16页（共25页）



    （2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为 18° ；
    （3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．
    【解答】解：（1）A组学生有：200×30%＝60（人）， C组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50（人）， 补全的条形统计图，如右图所示；
    （2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°×故答案为：18°；
    （3）2500×30%＝750（人），
    答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生有750人．
    ＝18°，

    22．（12分）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.73）

    【解答】 解：没有触礁的危险；
    理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N， 由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°， ∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°，
    第17页（共25页）



    ∴∠ABC＝∠BAC＝30°， ∴BC＝AC＝12，
    在Rt△ANC中，AN＝AC•cos60°＝12×∵AN＝6≈10.38＞10，
    ＝6，
    ∴没有危险．

    五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）
    23．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D． （1）求证：AB为⊙O的切线；
    （2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长．

    【解答】 （1）证明：过O作OH⊥AB于H， ∵∠ACB＝90°， ∴OC⊥BC，
    ∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB， ∴OH＝OC，
    即OH为⊙O的半径， ∵OH⊥AB， ∴AB为⊙O的切线；
    （2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，
    第18页（共25页）



    在Rt△AOH中，∵tanA＝， ∴∴＝， ＝，
    ∴AH＝4x， ∴AO＝∵AD＝2，
    ∴AO＝OD+AD＝3x+2， ∴3x+2＝5x， ∴x＝1，
    ∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3， ∴AC＝OA+OC＝5+3＝8， 在Rt△ABC中，∵tanA＝，
    ＝＝5x，
    ∴BC＝AC•tanA＝8×＝6， ∴OB＝＝＝3．

    24．（12分）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）． （1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
    （2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
    第19页（共25页）



    【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×∴y＝﹣40x+880；
    （2）设每天的销售利润为w元，则有： w＝（﹣40x+880）（x﹣16） ＝﹣40（x﹣19）2+360， ∵a＝﹣40＜0，
    ∴二次函数图象开口向下，
    ，
    ∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
    答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元．
    六、解答题（本题满分14分）
    25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
    （1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 AF＝AE ；
    （2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
    （3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．

    【解答】解：（1）AE＝AF． ∵AD＝AB，四边形ABCD矩形， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD，
    第20页（共25页）



    ∴△EAB≌△FAD（AAS）， ∴AF＝AE； 故答案为：AF＝AE． （2）AF＝kAE．
    证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°， ∴∠FAD+∠FAB＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB+∠FAB＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∵∠ABE+∠ABC＝180°，
    ∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE＝∠ADF． ∴△ABE∽△ADF， ∴，
    ∵AD＝kAB， ∴∴， ，
    ∴AF＝kAE．
    （3）解：①如图1，当点F在DA上时，

    ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AD＝2AB＝4，
    第21页（共25页）



    ∴AB＝2， ∴CD＝2， ∵CF＝1，
    ∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1． 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝∵DF∥AB，
    ∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB， ∴△GDF∽△GBA， ∴，
    ＝    ＝，
    ∵AF＝GF+AG， ∴AG＝∵△ABE∽△ADF， ∴∴AE＝＝，
    ＝．
    ．
    在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝＝＝，
    ②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，

    在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝∵DF∥AB，
    第22页（共25页）

    ＝＝5．


    ∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF， ∴△AGB∽△FGD， ∴＝，
    ∵GF+AG＝AF＝5， ∴AG＝2， ∵△ABE∽△ADF， ∴∴AE＝，
    ，
    在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝＝或＝．
    ．
    综上所述，EG的长为七、解答题（本题满分14分）
    26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式；
    （2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
    ①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
    ②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．

    第23页（共25页）



    【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1）， 解得：a＝1，
    故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；

    （2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4）， 由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3； tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝；
    ①当点P（P′）在点C的右侧时，

    ∵∠PAB＝∠BCO，
    故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）； 当点P在点C的左侧时，
    设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N， ∵∠PAB＝∠BCO，
    ∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣）， 由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②， 联立①②并解得：，
    ＝，
    故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）； ②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，
    第24页（共25页）



    故设直线AP的表达式为：y＝x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1， 故直线AP的表达式为：y＝x+1，
    联立①③并解得：，故点N（，）；
    设△AMN的外接圆为圆R，

    当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n）， ∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°， ∴∠RMH＝∠GAR，
    ∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°， ∴△AGR≌△RHM（AAS）， ∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH， ∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
    将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③， 由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m﹣）2+（）2④，
    联立③④并解得：，
    故点M（﹣，﹣）．
    第25页（共25页）


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