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    湖南鼎城区第一中学等差数列测试题doc-

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    一、等差数列选择题
    1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3a15a67，则S23（ ）
    A．121 B．161 C．141 D．151
    2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A．161 B．155 C．141 D．139
    3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an22an1an，a54a3，则S7（ ） A．7 B．12 C．14 D．21
    4．等差数列an中，已知a1a4a739，则a4（ ） A．13 B．14 C．15 D．16
    5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A．3斤
    B．6斤
    C．9斤
    D．12斤
    6．已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a4a54，则S8（ ） A．16 C．4 B．-16 D．-4
    7．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A．34000米 B．36000米 C．38000米 D．40000米
    8．数列an为等差数列，a11，a34，则通项公式是（ ） A．3n2
    B．    3n2
    2C．31n 22D．31n 229．数列an是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大A．8 21，则该数列的项数是（ ）
    2B．4 C．12 D．16
    nn10．设a，b≠0，数列{an}的前n项和Sna(21b[(n222]，nN*，则存在数列{bn}和{cn}使得（ ）
    A．anbncn，其中{bn}和{cn}都为等比数列 B．anbncn，其中{bn}为等差数列，{cn}为等比数列

    cn，其中{bn}和{cn}都为等比数列 C．anbn·cn，其中{bn}为等差数列，{cn}为等比数列 D．anbn·11．已知an为等差数列，Sn是其前n项和，且S100，下列式子正确的是（ ） A．a4a50
    B．a5a60
    C．a6a70
    D．a8a90
    12．已知数列an的前n项和为Sn，a1数列1，n2且nN*，满足an2SnSn10，21的前n项和为Tn，则下列说法中错误的是（ ） Sn1
    47
    12B．A．a2211 S6S4S8C．数列SnSn1Sn2的最大项为D．2Tnn1nTnTn1 nn113．记Sn为等差数列an的前n项和．若a5a620，S11132，则an的公差为（ ） A．2
    B．    4
    3C．4 D．4
    14．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A．一丈七尺五寸 C．二丈一尺五寸
    B．一丈八尺五寸 D．二丈二尺五寸
    15．在等差数列an中，若Sn为其前n项和，a65，则S11的值是（ ） A．60 B．11 C．50 D．55
    16．等差数列an的前n项和为Sn，已知a58，S36，则S10S7的值是（ ） A．48 B．60 C．72 D．24
    17．已知an是公差为2的等差数列，前5项和S525，若a2m15，则m（ ） A．4 B．6 C．7 D．8
    18．在等差数列an中，已知前21项和S2163，则a2a5a8A．7 B．9 C．21 19．等差数列an中，若a26，a43，则a5（ ） A．a20的值为（ ）
    D．42
    3
    2B．9
    2C．2 D．9
    20．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a10且a1119，则当Sn取最小值时，n的值a1021
    为（ ） A．21
    B．20
    C．19
    D．19或20
    二、多选题
    21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”，记Sn为数列an的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A．a68
    C．a1a3a5a2019a2020
    B．S733
    22a12a2a2019a2020 D．a201922．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn,且2a12a3S5,下列结论中正确的是（ ） A．S7最小
    B．S130
    C．S4S9
    D．a70
    23．在等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，则（ ） A．a4a6a1a9
    C．若S9S15，则Sn中的最大值是S12
    B．S130，S140，则a7a8
    2D．若Snnna，则a0
    24．已知数列an满足：a12，当n2时，anan1212，则关于数列2an的说法正确的是 （ ）
    A．a27
    2C．ann2n1
    B．数列an为递增数列
    D．数列an为周期数列25．题目文件丢失！

    26．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an (n∈N*，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3．再将扇形面积设为bn (n∈N*，则（ ）


    A．4(b2020－b2019＝πa2018·a2021
    C．a12＋a22＋a32…＋(a20202＝2a2019·a2021
    nB．a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1
    D．a2019·a2021－(a20202＋a2018·a2020－(a20192＝0
    n1(127．若不等式(1a2对于任意正整数n恒成立，则实数a的可能取值为n（ ） A．2 B．1 C．1 D．2
    28．已知递减的等差数列an的前n项和为Sn，S5S7，则（ ） A．a60 C．S130
    B．S6最大 D．S110
    29．已知等差数列an的前n项和为SnnN的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A．d2
    C．当且仅当n10时，Sn取最大值
    *，公差d0，S20
    690，a7是a3与a9B．a1D．当Sn0时，n的最小值为22
    30．首项为正数，公差不为0的等差数列an，其前n项和为Sn，现有下列4个命题中正确的有（ ）
    A．若S100，则S2S80；
    B．若S4S12，则使Sn0的最大的n为15 C．若S150，S160，则Sn中S8最大 D．若S7S8，则S8S9

    【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除


    一、等差数列选择题 1．B 【分析】

    由条件可得a127，然后S2323a12，算出即可. 【详解】
    因为a3a15a67，所以a15a6a37，所以a153d7，所以a153d7，即a127
    所以S2323a12161 故选：B 2．B 【分析】
    画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】
    所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：

    由图可得：故选：B. 3．C 【分析】
    y3612x155 ，解得.
    x107yy48判断出an是等差数列，然后结合等差数列的性质求得S7. 【详解】
    ∵an22an1an，∴an2an1an1an，∴数列{an}为等差数列. ∵a54a3，∴a3a54，∴S7故选：C 4．A 【分析】
    利用等差数列的性质可得a1a72a4，代入已知式子即可求解. 【详解】
    由等差数列的性质可得a1a72a4， 所以a1a4a73a439，解得：a413， 故选：A 5．C
    7(a1a77(a3a514. 22
    【分析】
    根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求a2a3a4. 【详解】
    由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为a1，粗的一端的重量为a5，可知a12，a54，
    根据等差数列的性质可知a1a52a36a33， 中间三尺为a2a3a43a39. 故选：C 【点睛】
    本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 6．A 【详解】 由S87．B 【分析】
    利用等差数列性质得到a21200，a143600，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】
    根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为an，
    则a1a2a33a23600，故a21200，a13a14a153a1410800，故a1a88a4a584816.故选A.
    2    2    2a143600，
    11a1a1515a2a141536000. 22故选：B. 8．C 【分析】
    则Sn根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】
    因为数列an为等差数列，a11，a34， 则公差为da3a13， 22331n1n. 222因此通项公式为an1故选：C. 9．A 【分析】

    设项数为2n，由题意可得2n1d【详解】
    设等差数列an的项数为2n， 末项比首项大21，及S偶S奇6nd可求解．
    221，
    221①;
    2a2na12n1dS奇24，S偶30，
    S偶S奇30246nd②．
    由①②，可得d即项数是8， 故选：A. 10．D 【分析】
    由题设求出数列{an}的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】
    解：    3，n4，
    2Sna(2n1b[(n22n2](a2bbn2n(a2b，
    当n1时，有S1a1a0；
    n1当n2时，有anSnSn1(abnb2，
    0又当n1时，a1(abb2a也适合上式，
    an(abnb2n1，
    n1令bnabbn，cn2，则数列{bn}为等差数列，{cn}为等比数列，
    故anbncn，其中数列{bn}为等差数列，{cn}为等比数列；故C错，D正确；
    n1n1因为an(ab2bn2，b≠0，所以bn2n1即不是等差数列，也不是等比数列，故AB错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：
    SnSn1,n2由数列前n项和求通项公式时，一般根据an求解，考查学生的计算能a,n11力. 11．B

    【分析】
    由S100可计算出a1a100，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】
    由等差数列的求和公式可得S1010a1a100，a1a100，
    2由等差数列的基本性质可得a5a6a1a100. 故选：B. 12．D 【分析】
    1a2SS0aSS当n2且nN时，由n可推导出数列为等差nn1nn1代入nSn*1数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，由a2S2S1可判断ASn选项的正误；利用Sn的表达式可判断BC选项的正误；求出Tn，可判断D选项的正误. 【详解】
    当n2且nN*时，由anSnSn1， 由an2SnSn10可得SnSn12SnSn10整理得1120， Sn1Sn112（n2且nN）. SnSn1则1112n122nS22. 为以为首项，以为公差的等差数列，nS2nnSnA中，当n2时，a2S2S1111，A选项正确； 4242111，B选项正确； B中，为等差数列，显然有SSS864SnC中，记bnSnSn1Sn2111， 2n2n12n2bn1Sn1Sn2Sn3bn1bn111，
    2n12n22n3111n60，故bn为递减数列， n22n2n32nn2n3bnmaxb1S1S2S31117，C选项正确； 24612
    D中，1n22n2n，Tnnn1，Tn1n1n2. Sn2n1nn1nTnTn1nn1n1n2n1n1nn2nn1nn1n21n22n2n22n12Tn，D选项错误.
    故选：D． 【点睛】
    S1,n1Saa关键点点睛：利用n与n的关系求通项，一般利用n来求解，在变形SS,n2n1n过程中要注意a1是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用anSnSn1将递推关系转化为有关Sn的递推数列来求解. 13．C 【分析】
    由等差数列前n项和公式以及等差数列的性质可求得a6，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】
    解：S11a1a111111a26132，
    a612，
    又a5a620，
    a58，
    da6a54.
    故选：C． 14．D 【分析】
    由题知各节气日影长依次成等差数列，设为an，Sn是其前n项和，已知条件为S985.5，a1a4a731.5，由等差数列性质即得a5，a4，由此可解得d，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】
    由题知各节气日影长依次成等差数列，设为an，Sn是其前n项和， 则S99a1a99a585.5（尺），所以a59.5（尺），由题知2a1a4a73a431.5（尺），
    所以a410.5（尺），所以公差da5a41， 则a8a9a10a11a125a105a55d22.5（尺）．

    故选：D． 15．D 【分析】
    根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】
    因为在等差数列an中，若Sn为其前n项和，a65， 所以S11故选：D. 16．A 【分析】
    根据条件列方程组，求首项和公差，再根据S10S7a8a9a103a9，代入求值. 【详解】
    11a1a11211a655.
    a14d8a10由条件可知，解得：， 32d23ad612S10S7a8a9a103a93a18d48.
    故选：A 17．A 【分析】
    由S525求出a1，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m的值 【详解】 解：由题意得5a154225，解得a11，
    2所以ana1(n1d12(n12n1， 因为a2m15，所以22m115，解得m4， 故选：A 18．C 【分析】
    利用等差数列的前n项和公式可得a1a216，即可得a113，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】
    设等差数列an的公差为d，则S2121a1a2163，
    2 所以a1a216，即2a116，所以a113， 所以a2a5a8a20a2a20a5a17a8a14a11

    2a112a112a11a117a117321，
    故选：C 【点睛】
    关键点点睛：本题的关键点是求出a1a216，进而得出a113，
    a2a5a819．A 【分析】
    a20a2a20a5a17a8a14a117a11即可求解.
    由a2和a4求出公差d，再根据a5a4d可求得结果. 【详解】
    设公差为d，则da4a2363， 422233. 22所以a5a4d3故选：A 20．B 【分析】 由题得出a1【详解】
    39dd，则Snn220dn，利用二次函数的性质即可求解.
    22设等差数列{an}的公差为d，
    a1119得21a1119a10，则21a110d19a19d， 由a1021解得a139d，2a10，d0，
    Snna1+nn1ddn220dn，对称轴为n20，开口向上， 22当n20时，Sn最小.
    故选：B. 【点睛】
    方法点睛：求等差数列前n项和最值，由于等差数列Snna1+nn1dddn2a1n是关于n的二次函数，当a1与d异号时，Sn在222对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当a1与d同号时，Sn在n1取最值.
    二、多选题

    21．ABCD 【分析】

    由题意可得数列an满足递推关系a11,a21,anan2an1(n3，对照四个选项可得正确答案. 【详解】
    对A，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A正确； 对B，S71123581333，故B正确；
    对C，由a1a2，a3a4a2，a5a6a4，……，a2019a2020a2018， 可得：a1a3a5a2019a2020.故a1a3a5a2019是斐波那契数列中的第2020项.
    22对D，斐波那契数列总有an2an1an，则a1a2a1，a2a2a3a1a2a3a2a1，22a3a3a4a2a3a4a2a3，……，a2018a2018a2019a2017a2018a2019a2017a2018，2a2019a2019a2020a2019a2018
    222a12a2a3a2019a2019a2020，故D正确；
    故选：ABCD. 【点睛】
    本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换. 22．BCD 【分析】
    由{an}是等差数列及2a12a3S5,，求出a1与d的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】
    设等差数列数列{an}的公差为d.
    由2a12a3S5,有2a12a12d5a1所以a70,则选项D正确. 选项A. S77a1选项B. S1354d，即a16d0
    276d7a13d21d,无法判断其是否有最小值，故A错误.
    2a1a131313a70,故B正确.
    2选项C. S9S4a9a8a7a6a55a70,所以S4S9，故C正确. 故选：BCD 【点睛】
    关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件2a12a3S5,得到a16d0，即a70，然后由等差数列的性质和前n项和公式判断,属于中档题.

    23．AD 【分析】
    对于A，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；
    对于B，根据等差数列的前n项和公式得到a70和a7a80， 进而可得a80，由此可知|a7||a8|，故B不正确；
    对于C，由S9S15得到，a12a130，然后分类讨论d的符号可得答案； 对于D，由Sn求出an及a1，根据数列an为等差数列可求得a0. 【详解】
    对于A，因为a4a6a1a9(a13d(a15da1(a18d15d2，且d0，
    2所以a4a6a1a915d0，所以a4a6a1a9，故A正确；
    对于B，因为S130，S140，所以13(a7a713a70，即a70，214(a7a87(a7a80，即a7a80，因为a70，所以a80，所以2|a7||a8|a7a80，即|a7||a8|，故B不正确；
    对于C，因为S9S15，所以a10a11a14a150，所以3(a12a130，即a12a130，当d0时，等差数列an递增，则a120,a130，所以Sn中的最小值是S12，无最大值；当d0时，等差数列an递减，则a120,a130，所以Sn中的最大值是S12，无最小值，故C不正确；
    2对于D，若Snnna，则a1S1a，n2时，anSnSn1n2na(n12(n1a2n2，因为数列an为等差数列，所以a12120a，故D正确. 故选：AD 【点睛】
    关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式是解题关键. 24．ABC 【分析】 由anan1212，变形得到an2an121，再利用等差数列的定义求2得an，然后逐项判断. 【详解】 当n2时，由an得an2an1212，
    2    an121，
    2
    即an2an121，又a12， 所以an2是以2为首项，以1为公差的等差数列，
    所以an22(n11n1，
    2即ann2n1，故C正确；
    所以a27，故A正确；
    ann12，所以an为递增数列，故正确；
    2数列an不具有周期性，故D错误； 故选：ABC
    25．无

    26．ABD 【分析】
    对于A，由题意得bn ＝2an，然后化简4(b2020－b2019可得结果；对于B，利用累加法求解4即可；对于C，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3，即an－1＝an－2－an，两边同乘an－1 ，可得an－12＝an－1 an－2－an－1 an，然后累加求解；对于D，由题意an－1＝an－an－2，a2021－(a20202＋a2018·a2020－(a20192，化简可得结果 则a2019·【详解】
    2an，则4(b2020－b2019＝4(a20202－a20192＝π(a2020＋a2019(a2020－a2019444a2021，则选项A正确； ＝πa2018·由题意得bn ＝又数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3，所以an－2＝an－an－1(n≥3，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝(a3－a2＋(a4－a3＋(a5－a4＋…＋(a2021－a2020＝a2021－a2＝a2021－1，则选项B正确；
    数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3，即an－1＝an－2－an，两边同乘an－1 ，可得an－12＝an－1 an－2－an－1 an，则a12＋a22＋a32…＋(a20202＝a12＋(a2a1－a2a3＋(a3a2－a3a4＋…＋(a2020a2019－a2020a2021＝a12－a2020a2021＝1－a2020a2021，则选项C错误；
    a2021－(a20202＋a2018·a2020－(a20192＝a2019·(a2021－a2019＋由题意an－1＝an－an－2，则a2019·a2020·(a2018－a2020＝a2019·a2020＋a2020·(－a2019＝0，则选项D正确； 故选：ABD. 【点睛】
    此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 27．ABC 【分析】
    n11(1根据不等式(1a2对于任意正整数n恒成立，即当n为奇数时有a2+nnn
    恒成立，当n为偶数时有a2【详解】
    1恒成立，分别计算，即可得解.
    nn1(1根据不等式(1a2对于任意正整数n恒成立， n1当n为奇数时有：a2+恒成立，
    n11由2+递减，且223，
    nn所以a2，即a2，
    n当n为偶数时有：a2由21恒成立， n131第增，且22， n2n3， 23，
    2所以a综上可得：2a故选：ABC. 【点睛】
    本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 28．ABD 【分析】
    转化条件为a6a70，进而可得a60，a70，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解. 【详解】
    因为S5S7，所以S7S50，即a6a70，
    因为数列an递减，所以a6a7，则a60，a70，故A正确； 所以S6最大，故B正确； 所以S13所以S11a1a131313a270，故C错误； 0，故D正确.
    a1a111111a26故选：ABD. 29．AD 【分析】
    运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由二次函数的配方法，结合n为正整数，可判断C；由Sn0解不等式可判断D．

    【详解】
    等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，由S690，可得6a115d90，即2a15d30，①
    2由a7是a3与a9的等比中项，得a7a3a9，即a16da12da18d，化为2a110d0，②
    由①②解得a120，d2，则an202(n1222n，1Snn(20222n21nn2，
    221441由Snn，可得n10或11时，Sn取得最大值110； 242由Sn21nn0，解得n21，则n的最小值为22.
    2故选：AD 【点睛】
    本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 30．BC 【分析】
    根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】
    A选项，若S1010a1109d0，则2a19d0，
    2那么S2S82a1d8a128d10a129d16d0.故A不正确； B选项，若S4S12，则a5a6a11a124a8a90，
    又因为a10，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为S1616a1a168a8a90，
    2所以使Sn0的最大的n为15.故B正确； C选项，若S1515a1a1516a1a168a8a90， 15a80，S1622则a80，a90，则Sn中S8最大.故C正确；
    D选项，若S7S8，则a80，而S9S8a9，不能判断a9正负情况.故D不正确. 故选：BC. 【点睛】
    本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.

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