2020年广东省梅州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 9的相反数是

A. B. 9 C. D.

2. 一组数据2，4，3，5，2的中位数是

A. 5 B. C. 3 D.

3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为

A. B. C. D.

4. 一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数为

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

5. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是

A. B. C. D.

6. 已知的周长为16，点D，E，F分别为三条边的中点，则的周长为

A. 8 B. C. 16 D. 4

7. 把函数图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为

A. B.

C. D.

8. 不等式组的解集为

A. 无解 B. C. D.

9. 如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别在边AB，CD上，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为

A. 1 B. C. D. 2

10. 如图，抛物线的对称轴是，下列结论：

；；；，

正确的有

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 分解因式：______．

12. 如果单项式与是同类项，那么______．

13. 若，则______．

14. 已知，，计算的值为______．

15. 如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点作图痕迹如图所示，连接BE，则的度数为______．

16. 如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______

17. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

18. 先化简，再求值：，其中，．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级，随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：

求x的值；

若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？

20. 如图，在中，点D，E分别是AB、AC边上的点，，，BE与CD相交于点求证：是等腰三角形．

21. 已知关于x，y的方程组与的解相同．

求a，b的值；

若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于x的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．

22. 如图1，在四边形ABCD中，，，AB是的直径，CO平分．

求证：直线CD与相切；

如图2，记中的切点为E，P为优弧上一点，，求的值．

23. 某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．

求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？

该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．

24. 如图，点B是反比例函数图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，反比例函数的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．

填空：______；

求的面积；

求证：四边形BDFG为平行四边形．

25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，．

求b，c的值；

求直线BD的函数解析式；

点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当与相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：9的相反数是，

故选：A．

根据相反数的定义即可求解．

此题主要考查相反数的定义，比较简单．

2.【答案】C

【解析】解：将数据由小到大排列得：2，2，3，4，5，

数据个数为奇数，最中间的数是3，

这组数据的中位数是3．

故选：C．

中位数是指一组数据从小到大排列之后，如果数据的总个数为奇数，则中间的数即为中位数；如果数据的总个数为偶数个，则中间两个数的平均数即为中位数．

本题考查了统计数据中的中位数，明确中位数的计算方法是解题的关键．本题属于基础知识的考查，比较简单．

3.【答案】D

【解析】解：点关于x轴对称的点的坐标为．

故选：D．

根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．

本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

4.【答案】B

【解析】解：设多边形的边数是n，则

，

解得．

故选：B．

根据多边形的内角和公式列式进行计算即可求解．

本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．

5.【答案】B

【解析】解：在实数范围内有意义，

，

解得：，

的取值范围是：．

故选：B．

根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．

此题主要考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．正确把握二次根式的定义是解题关键．

6.【答案】A

【解析】解：、E、F分别为三边的中点，

、DF、EF都是的中位线，

，，，

故的周长．

故选：A．

根据中位线定理可得，，，继而结合的周长为16，可得出的周长．

此题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，难度一般．

7.【答案】C

【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标为，

向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为，

所得的图象解析式为．

故选：C．

先求出的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．

本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

8.【答案】D

【解析】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为，

故选：D．

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

9.【答案】D

【解析】解：四边形ABCD是正方形，

，，

，

将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，

' class='_5'>，' class='_5'>，

' class='_5'>，

' class='_5'>，

设，则' class='_5'>，，

，

解得．

故选：D．

由正方形的性质得出，由折叠的性质得出' class='_5'>，' class='_5'>，设，则' class='_5'>，，由直角三角形的性质可得：，解方程求出x即可得出答案．

本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．

10.【答案】B

【解析】解：由抛物线的开口向下可得：，

根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以，

根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：，

，故错误；

抛物线与x轴有两个交点，

，故正确；

直线是抛物线的对称轴，所以，可得，

由图象可知，当时，，即，

，

即，故正确；

由图象可知，当时，；当时，，

两式相加得，，故正确；

结论正确的是个，

故选：B．

根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．

11.【答案】

【解析】解：．

故答案为：．

直接提取公因式x，进而分解因式得出答案．

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

12.【答案】4

【解析】解：单项式与是同类项，

，，

．

故答案为：4．

根据同类项的定义所含字母相同，相同字母的指数相同可得，，再代入代数式计算即可．

本题考查同类项的定义，正确根据同类项的定义得到关于m，n的方程组是解题的关键．

13.【答案】1

【解析】解：，

且，

解得，，，

，

故答案为：1．

根据非负数的意义，求出a、b的值，代入计算即可．

本题考查非负数的意义和有理数的乘方，掌握非负数的意义求出a、b的值是解决问题的关键．

14.【答案】7

【解析】解：，

，

当，时，

原式





，

故答案为：7．

由得出，再将、代入原式计算可得．

本题主要考查代数式求值，解题的关键是能观察到待求代数式的特点，得到其中包含这式子、xy及整体代入思想的运用．

15.【答案】

【解析】解：四边形ABCD是菱形，

，

，

由作图可知，，

，

，

故答案为．

根据，求出，即可解决问题．

本题考查作图基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

16.【答案】

【解析】解：由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为，

则扇形的弧长为：，

而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：

，

解得，，

故答案为：．

求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．

本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．

17.【答案】

【解析】解：如图，连接BE，BD．



由题意，

，，，

，

点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，

当点E落在线段BD上时，DE的值最小，

的最小值为．

故答案为．

如图，连接BE，求出BE，BD，根据求解即可．

本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

18.【答案】解：，

，

当，时，

原式．

【解析】根据整式的混合运算过程，先化简，再代入值求解即可．

本题考查了整式的混合运算化简求值，解决本题的关键是先化简，再代入值求解．

19.【答案】解：；

人，

答：根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人．

【解析】根据四个等级的人数之和为120求出x的值；

用总人数乘以样本中“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例．

本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．

20.【答案】证明：，

，

在和中，，

≌，

，，

，

即，

在和中，，

≌，

，

是等腰三角形．

【解析】先证≌，得出，，则，再证≌，得出即可．

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；证明三角形全等是解题的关键．

21.【答案】解：由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是程组的解，

解得，，代入原方程组得，，；

当，时，关于x的方程就变为，

解得，，

又，

以、、为边的三角形是等腰直角三角形．

【解析】关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；

将a、b的值代入关于x的方程，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状．

本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．

22.【答案】证明：作于E，如图1所示：

则，

，，

，

，

平分，

，

在和中，，

≌，

，

又，

直线CD与相切；

解：作于F，连接BE，如图所示：

则四边形ABFD是矩形，

，，

，

，，

，，

、BC是的切线，

由得：CD是的切线，

，，

，

，

，

，

平分，

，

，

，

，

，

．

【解析】证明：作于E，证≌，得出，即可得出结论；

作于F，连接BE，则四边形ABFD是矩形，得，，则，证AD、BC是的切线，由切线长定理得，，则，由勾股定理得，则，证，由圆周角定理得，则，由三角函数定义即可得出答案．

本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解题的关键．

23.【答案】解：设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为平方米，

根据题意得：，

解得：，

经检验是原方程的解，

所以，

答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；



设建A摊位a个，则建B摊位个，

由题意得：，

解得，

建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，

要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，

此时最大费用为：，

答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．

【解析】设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的这个等量关系列出方程即可．

设建A摊位a个，则建B摊位个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．

本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．

24.【答案】2

【解析】解：设点，，则点，

则，

故答案为2；



的面积的面积；



设点，则点，

点G与点O关于点C对称，故点，

则点，

设直线DE的表达式为：，将点D、E的坐标代入上式得，解得，

故直线DE的表达式为：，令，则，故点，

故FG，而，

则，故四边形BDFG为平行四边形．

设点，，则点，则；

的面积的面积，即可求解；

确定直线DE的表达式为：，令，则，故点，即可求解．

本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，综合性强，难度适中．

25.【答案】解：，

点，点，

抛物线解析式为：，

，；

如图1，过点D作于E，



，

，

，，

，

，

点D横坐标为，

点D坐标，

设直线BD的函数解析式为：，

由题意可得：，

解得：，

直线BD的函数解析式为；

点，点，点，

，，，对称轴为直线，

直线BD：与y轴交于点C，

点，

，

，

，

如图2，过点A作于K，



，

，

，

，

如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点，



若，

，，

，，

当∽，

，

，

点；

当∽，

，

，

点；

若，

，，

当∽，

，

，

点；

当∽，

，

，

点；

综上所述：满足条件的点Q的坐标为或或或．

【解析】先求出点A，点B坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解；

过点D作于E，由平行线分线段成比例可求，可求点D坐标，利用待定系数法可求解析式；

利用两点距离公式可求AD，AB，BD的长，利用锐角三角函数和直角三角形的性质可求，，分或两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，相似三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．