第1章 数与数的运算

自然数与0都就是整数。

我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。

一个物体也没有,用0表示。0也就是自然数。

一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都就是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都就是10。这样的计数法叫做十进制计数法。

计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。

整数a除以整数b(b≠0),除得的商就是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。

如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数(或a的因数)。倍数与因数就是相互依存的。

一个数的因数的个数就是有限的,其中最小的因数就是1,最大的因数就是它本身。

一个数的倍数的个数就是无限的,其中最小的倍数就是它本身。个位上就是0、2、4、6、8的数,都能被2整除。

个位上就是0或5的数,都能被5整除。

一个数的各位上的数的与能被3整除,这个数就能被3整除。

一个数各位数上的与能被9整除,这个数就能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除,但就是能被9整除的数一定能被3整除。

能被2整除的数叫做偶数。

不能被2整除的数叫做奇数。

0也就是偶数。自然数按能否被2整除的特征可分为奇数与偶数。

一个数,如果只有1与它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数),100以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

一个数,如果除了1与它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。

1不就是质数也不就是合数,自然数除了1外,不就是质数就就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类,可分为质数、合数与1。

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都就是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。

几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数。

公因数只有1的两个数,叫做互质数。

如果两个数就是互质数,它们的最大公因数就就是1。

几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。

如果较大数就是较小数的倍数,那么较大数就就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数就是互质数,那么这两个数的积就就是它们的最小公倍数。

几个数的公因数的个数就是有限的,而几个数的公倍数的个数就是无限的。

(二)小数

1.小数的意义

把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。

一个小数由整数部分、小数部分与小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。

在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都就是10。小数部分的最高分数单位”十分之一”与整数部分的最低单位”一”之间的进率也就是10。

2.小数的分类

有限小数:小数部分的数位就是有限的小数,叫做有限小数。

无限小数:小数部分的数位就是无限的小数,叫做无限小数。

无限不循环小数:一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。例如:π

循环小数:一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。例如:3、555……0、0333……12、109109……

一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如:3、99……的循环节就是”9”,0、5454……的循环节就是”54”。

(三)分数

把单位”1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。

在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母。

把单位”1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。

真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。

假分数:分子比分母大或者分子与分母相等的分数,叫做假分数。假分数大于或等于1。

带分数:假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。

把一个分数化成同它相等但就是分子、分母都比较小的分数,叫做约分。

分子分母就是互质数的分数,叫做最简分数。

把异分母分数分别化成与原来分数相等的同分母分数,叫做通分。

表示一个数就是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用“%”来表示。百分号就是表示百分数的符号。

整数的读法:从高位到低位,一级一级地读。读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加一个”亿”或”万”字。每一级末尾的0都不读出来,其它数位连续有几个0都只读一个零。

整数的写法:从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。

小数的读法:读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作”点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。

小数的写法:写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。

分数的读法:读分数时,先读分母再读”分之”然后读分子,分子与分母按照整数的读法来读。

分数的写法:先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。

百分数的读法:读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照整数的读法来读。

百分数的写法:百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号”%”来表示。

(二)数的改写

近似数:根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。

四舍五入法:要省略的尾数的最高位上的数就是4或者比4小,就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数就是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1。

4.大小比较

比较整数大小:比较整数的大小,位数多的那个数就大,如果位数相同,就瞧最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就瞧下一位,哪一位上的数大那个数就大。

比较小数的大小:先瞧它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……

比较分数的大小:分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,分母小的分数大。分数的分母与分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小。

(三)数的互化

1.小数化成分数:原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。

2.分数化成小数:用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保留三位小数。

3.一个最简分数,如果分母中除了2与5以外,不含有其她的质因数,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2与5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。

4.小数化成百分数:只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。

5.百分数化成小数:把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。

6.分数化成百分数:通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。

7.百分数化成小数:先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。

(四)数的整除

1.把一个合数分解质因数,通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商就是质数为止,再把除数与商写成连乘的形式。

2.求几个数的最大公因数的方法就是:先用这几个数的公因数连续去除,一直除到所得的商只有公因数1为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就就是这几个数的的最大公因数。

3.求几个数的最小公倍数的方法就是:先用这几个数(或其中的部分数)的公因数去除,一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数与商连乘求积,这个积就就是这几个数的最小公倍数。

4.成为互质关系的两个数:1与任何自然数互质;相邻的两个自然数互质;当合数不就是质数的倍数时,这个合数与这个质数互质;两个合数的公因数只有1时,这两个合数互质。

(五)约分与通分

约分的方法:用分子与分母的公因数(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。

通分的方法:先求出原来的几个分数分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。

三、性质与规律

(一)商不变的性质

商不变的规律:在除法里,被除数与除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变。

(二)小数的性质

小数的性质:在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。

(三)小数点位置的移动引起小数大小的变化

1.小数点向右移动一位,就扩大到原来的10倍;小数点向右移动两位,就扩大到原来的100倍;小数点向右移动三位,就扩大到原来的1000倍……

2.小数点向左移动一位,就缩小到原来的;小数点向左移动两位,就缩小到原来的;小数点向左移动三位,就缩小到原来的……

3.小数点向左移或者向右移位数不够时,要用”0”补足位。

(四)分数的基本性质

分数的基本性质:分数的分子与分母都乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。

(五)分数与除法的关系

1.被除数÷除数=被除数/除数 2.因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零。

3.被除数相当于分子,除数相当于分母。

四、运算的意义

(一)整数四则运算

1.整数加法:

把两个数合并成一个数的运算叫做加法。

在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做与。加数就是部分数,与就是总数。

加数+加数=与 加数=与－另一个加数

2.整数减法:

已知两个加数的与与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。

在减法里,已知的与叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。被减数就是总数,减数与差分别就是部分数。

加法与减法互为逆运算。

被减数-减数=差 被减数=差+减数 减数=被减数-差

3.整数乘法:

求几个相同加数的与的简便运算叫做乘法。

在乘法里,相同的加数与相同加数的个数都叫做因数。相同加数的与叫做积。

在乘法里,0与任何数相乘都得0、1与任何数相乘都的任何数。

因数×因数=积 因数=积÷另一个因数

4.整数除法:

已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。

在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。

乘法与除法互为逆运算。

在除法里,0不能做除数。因为0与任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。

被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数

(二)小数四则运算

1.小数加法:

小数加法的意义与整数加法的意义相同。就是把两个数合并成一个数的运算。

2.小数减法:

小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的与与其中的一个加数,求另一个加数的运算、

3.小数乘法:

小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,就就是求几个相同加数与的简便运算;一个数乘纯小数的意义就是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……就是多少。

4.小数除法:

小数除法的意义与整数除法的意义相同,就就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。

5.乘方(平方):

求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如33=3×3=32

(三)分数四则运算

1.分数加法:

分数加法的意义与整数加法的意义相同。就是把两个数合并成一个数的运算。

2.分数减法:

分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的与与其中的一个加数,求另一个加数的运算。

3.分数乘法:

分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就就是求几个相同加数与的简便运算。

4.乘积就是1的两个数叫做互为倒数。

5.分数除法:

分数除法的意义与整数除法的意义相同。就就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。

(四)运算定律

1.加法交换律:

两个数相加,交换加数的位置,它们的与不变,即a+b=b+a。

2.加法结合律:

三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再与第一个数相加,它们的与不变,即(a+b)+c=a+(b+c)。

3.乘法交换律:

两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。

4.乘法结合律:

三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再与第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c)。

5.乘法分配律:

两个数的与与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即(a+b)×c=a×c+b×c。

6.减法的性质:

从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的与,差不变,即a-b-c=a-(b+c)。

(五)运算法则

1.整数加法计算法则:

相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。

2.整数减法计算法则:

相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十,与本位上的数合并在一起,再减。

3.整数乘法计算法则:

先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐哪一位,然后把各次乘得的数加起来。

4.整数除法计算法则:

先从被除数的高位除起,除数就是几位数,就瞧被除数的前几位;如果不够除,就多瞧一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1,要补”0”占位。每次除得的余数要小于除数。

5、小数乘法法则:

先按照整数乘法的计算法则算出积,再瞧因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;如果位数不够,就用”0”补足。

6.除数就是整数的小数除法计算法则:

先按照整数除法的法则去除,商的小数点要与被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添”0”,再继续除。

7.除数就是小数的除法计算法则:

先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点也向右移动几位(位数不够的补”0”),然后按照除数就是整数的除法法则进行计算。

8.同分母分数加减法计算方法:

同分母分数相加减,只把分子相加减,分母不变。

9.异分母分数加减法计算方法:

先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。

10.带分数加减法的计算方法:

整数部分与分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来。

11.分数乘法的计算法则:

分数乘整数,用分数的分子与整数相乘的积作分子,分母不变;分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。

12.分数除法的计算法则:

甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。

(六)运算顺序

1.小数四则运算的运算顺序与整数四则运算顺序相同。2.分数四则运算的运算顺序与整数四则运算顺序相同。

3.没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算;两级运算先算乘、除法,后算加减法。

4.有括号的混合运算:先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。

5.第一级运算:加法与减法叫做第一级运算。

6.第二级运算:乘法与除法叫做第二级运算。

五、应用

(一)整数与小数的应用

1.简单应用题

(1)简单应用题:只含有一种基本数量关系,或用一步运算解答的应用题,通常叫做简单应用题。

(2)解题步骤:

a.审题理解题意:了解应用题的内容,知道应用题的条件与问题。读题时,不丢字不添字边读边思考,弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件与问题,帮助理解题意。

b.选择算法与列式计算:这就是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么,要求什么着手,逐步根据所给的条件与问题,联系四则运算的含义,分析数量关系,确定算法,进行解答并标明正确的单位名称。

c.检验:就就是根据应用题的条件与问题进行检查瞧所列算式与计算过程就是否正确,就是否符合题意。如果发现错误,马上改正。

2.复合应用题

(1)有两个或两个以上的基本数量关系组成的,用两步或两步以上运算解答的应用题,通常叫做复合应用题。

(2)含有三个已知条件的两步计算的应用题。

求比两个数的与多(少)几个数的应用题。

比较两数差与倍数关系的应用题。

(3)含有两个已知条件的两步计算的应用题。

已知两数相差多少(或倍数关系)与其中一个数,求两个数的与(或差)。

已知两数之与与其中一个数,求两个数相差多少(或倍数关系)。

(4)解答连乘连除应用题。

(5)解答三步计算的应用题。

(6)解答小数计算的应用题:小数计算的加法、减法、乘法与除法的应用题,她们的数量关系、结构、与解题方式都与正式应用题基本相同,只就是在已知数或未知数中间含有小数。

(7)解答加法应用题:

a.求总数的应用题:已知甲数就是多少,乙数就是多少,求甲乙两数的与就是多少。

b.求比一个数多几的数应用题:已知甲数就是多少与乙数比甲数多多少,求乙数就是多少。

(8)解答减法应用题:

a.求剩余的应用题:从已知数中去掉一部分,求剩下的部分。

b.求两个数相差的多少的应用题:已知甲乙两数各就是多少,求甲数比乙数多多少,或乙数比甲数少多少。

c.求比一个数少几的数的应用题:已知甲数就是多少,,乙数比甲数少多少,求乙数就是多少。

(9)解答乘法应用题:

a.求相同加数与的应用题:已知相同的加数与相同加数的个数,求总数。

b.求一个数的几倍就是多少的应用题:已知一个数就是多少,另一个数就是它的几倍,求另一个数就是多少。

(10)解答除法应用题:

a.把一个数平均分成几份,求每一份就是多少的应用题:已知一个数与把这个数平均分成几份的,求每一份就是多少。

b.求一个数里包含几个另一个数的应用题:已知一个数与每份就是多少,求可以分成几份。

c.求一个数就是另一个数的的几倍的应用题:已知甲数乙数各就是多少,求较大数就是较小数的几倍。

d.已知一个数的几倍就是多少,求这个数的应用题。

(11)常见的数量关系:总价=单价×数量 路程=速度×时间 工作总量=工作时间×工作效率 总产量=单产量×数量

3.典型应用题

具有独特的结构特征的与特定的解题规律的复合应用题,通常叫做典型应用题。

(1)平均数问题:平均数就是等分除法的发展。

解题关键:在于确定总数量与与之相对应的总份数。

算术平均数:已知几个不相等的同类量与与之相对应的份数,求平均每份就是多少。

数量关系式:数量之与÷数量的个数=算术平均数。

加权平均数:已知两个以上若干份的平均数,求总平均数就是多少。

数量关系式(部分平均数×权数)的总与÷(权数的与)=加权平均数。

差额平均数:就是把各个大于或小于标准数的部分之与被总份数均分,求的就是标准数与各数相差之与的平均数。

数量关系式:(大数－小数)÷2=小数应得数最大数与各数之差的与÷总份数=最大数应给数最大数与个数之差的与÷总份数=最小数应得数。

例:一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地,又以每小时60千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。

分析:求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为”1”,则汽车行驶的总路程为”2”,从甲地到乙地的速度为100,所用的时间为,汽车从乙地到甲地速度为60千米,所用的时间就是,汽车共行的时间为+=,汽车的平均速度为2÷=75(千米)

(2)归一问题:已知相互关联的两个量,其中一种量改变,另一种量也随之而改变,其变化的规律就是相同的,这种问题称之为归一问题。

根据求”单一量”的步骤的多少,归一问题可以分为一次归一问题,两次归一问题。

根据球痴单一量之后,解题采用乘法还就是除法,归一问题可以分为正归一问题,反归一问题。

一次归一问题,用一步运算就能求出”单一量”的归一问题。又称”单归一。”

两次归一问题,用两步运算就能求出”单一量”的归一问题。又称”双归一。”

正归一问题:用等分除法求出”单一量”之后,再用乘法计算结果的归一问题。

反归一问题:用等分除法求出”单一量”之后,再用除法计算结果的归一问题。

解题关键:从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量(单一量),然后以它为标准,根据题目的要求算出结果。

数量关系式:单一量×份数=总数量(正归一)

总数量÷单一量=份数(反归一)

(3)归总问题:就是已知单位数量与计量单位数量的个数,以及不同的单位数量(或单位数量的个数),通过求总数量求得单位数量的个数(或单位数量)。

特点:两种相关联的量,其中一种量变化,另一种量也跟着变化,不过变化的规律相反,与反比例算法彼此相通。

数量关系式:单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量。

(4)与差问题:已知大小两个数的与,以及她们的差,求这两个数各就是多少的应用题叫做与差问题。

解题关键:就是把大小两个数的与转化成两个大数的与(或两个小数的与),然后再求另一个数。

解题规律:(与＋差)÷2=大数 大数－差=小数 (与－差)÷2=小数 与－小数=大数

(5)与倍问题:已知两个数的与及它们之间的倍数关系,求两个数各就是多少的应用题,叫做与倍问题。

解题关键:找准标准数(即1倍数)一般说来,题中说就是”谁”的几倍,把谁就确定为标准数。求出倍数与之后,再求出标准的数量就是多少。根据另一个数(也可能就是几个数)与标准数的倍数关系,再去求另一个数(或几个数)的数量。

解题规律:与÷倍数与=标准数标准数×倍数=另一个数

(6)差倍问题:已知两个数的差,及两个数的倍数关系,求两个数各就是多少的应用题。

解题规律:两个数的差÷(倍数－1)=标准数标准数×倍数=另一个数。

(7)行程问题:关于走路、行车等问题,一般都就是计算路程、时间、速度,叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度与、速度差等概念,了解她们之间的关系,再根据这类问题的规律解答。

解题关键及规律:

同时同地相背而行:路程=速度与×时间。

同时相向而行:相遇时间=速度与×时间

同时同向而行(速度慢的在前,快的在后):追及时间=路程速度差。

同时同地同向而行(速度慢的在后,快的在前):路程=速度差×时间。

例:甲在乙的后面28千米,两人同时同向而行,甲每小时行16千米,乙每小时行9千米,甲几小时追上乙？

分析:甲每小时比乙多行(16-9)千米,也就就是甲每小时可以追近乙(16-9)千米,这就是速度差。

已知甲在乙的后面28千米(追击路程),28千米里包含着几个(16-9)千米,也就就是追击所需要的时间。列式28÷(16-9)=4(小时)

(8)流水问题:一般就是研究船在”流水”中航行的问题。它就是行程问题中比较特殊的一种类型,它也就是一种与差问题。它的特点主要就是考虑水速在逆行与顺行中的不同作用。

船速:船在静水中航行的速度。 水速:水流动的速度。 顺水速度:船顺流航行的速度。

逆水速度:船逆流航行的速度。 顺速=船速＋水速 逆速=船速－水速

解题关键:因为顺流速度就是船速与水速的与,逆流速度就是船速与水速的差,所以流水问题当作与差问题解答。解题时要以水流为线索。

解题规律:船行速度=(顺水速度+逆流速度)÷2 流水速度=(顺流速度逆流速度)÷2

路程=顺流速度×顺流航行所需时间 路程=逆流速度×逆流航行所需时间

(9)还原问题:已知某未知数,经过一定的四则运算后所得的结果,求这个未知数的应用题,我们叫做还原问题。

解题关键:要弄清每一步变化与未知数的关系。

解题规律:从最后结果出发,采用与原题中相反的运算(逆运算)方法,逐步推导出原数。

根据原题的运算顺序列出数量关系,然后采用逆运算的方法计算推导出原数。

解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法,后算乘除法时别忘记写括号。

(10)植树问题:这类应用题就是以”植树”为内容。凡就是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题,叫做植树问题。

解题关键:解答植树问题首先要判断地形,分清就是否封闭图形,从而确定就是沿线段植树还就是沿周长植树,然后按基本公式进行计算。

解题规律:沿线段植树

棵树=段数+1 棵数=总路程÷棵距+1 棵距=总路程÷(棵数-1)总路程=棵距×(棵数-1)

沿周长植树 棵数=总路程÷棵距 棵距=总路程÷棵数 总路程=棵距×棵数

(11)盈亏问题:就是在等分除法的基础上发展起来的。她的特点就是把一定数量的物品,平均分配给一定数量的人,在两次分配中,一次有余,一次不足(或两次都有余),或两次都不足),已知所余与不足的数量,求物品适量与参加分配人数的问题,叫做盈亏问题。

解题关键:盈亏问题的解法要点就是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差,再求两次分配中各次共分物品的差(也称总差额),用前一个差去除后一个差,就得到分配者的数,进而再求得物品数。

解题规律:总差额÷每人差额=人数

总差额的求法可以分为以下四种情况:

第一次多余,第二次不足,总差额=多余+不足

第一次正好,第二次多余或不足,总差额=多余或不足

第一次多余,第二次也多余,总差额=大多余-小多余

第一次不足,第二次也不足,总差额=大不足-小不足

例:参加美术小组的同学,每个人分的相同的支数的色笔,如果小组10人,则多25支,如果小组有12人,色笔多余5支。求每人分得几支？共有多少支色铅笔？

分析:每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有12人,比10人多2人,而色笔多出了(25-5)=20支,2个人多出20支,一个人分得10支。列式为(25-5)÷(12-10)=10(支)10×12+5=125(支)。

(12)年龄问题:将差为一定值的两个数作为题中的一个条件,这种应用题被称为”年龄问题”。

解题关键:年龄问题与与差、与倍、差倍问题类似,主要特点就是随着时间的变化,年岁不断增长,但大小两个不同年龄的差就是不会改变的,因此,年龄问题就是一种”差不变”的问题,解题时,要善于利用差不变的特点。

例:父亲48岁,儿子21岁。问几年前父亲的年龄就是儿子的4倍？

分析:父子的年龄差为48-21=27(岁)。由于几年前父亲年龄就是儿子的4倍,可知父子年龄的倍数差就是(4-1)倍。这样可以算出几年前父子的年龄,从而可以求出几年前父亲的年龄就是儿子的4倍。列式为:21(48-21)÷(4-1)=12(年)

(13)鸡兔问题:已知”鸡兔”的总头数与总腿数。求”鸡”与”兔”各多少只的一类应用题。通常称为” 鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题

解题关键:解答鸡兔问题一般采用假设法,假设全就是一种动物(如全就是”鸡”或全就是”兔”,然后根据出现的腿数差,可推算出某一种的头数。

解题规律:(总腿数－鸡腿数×总头数)÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数

兔子只数=(总腿数-2×总头数)÷2

如果假设全就是兔子,可以有下面的式子:

鸡的只数=(4×总头数-总腿数)÷2

兔的头数=总头数-鸡的只数

例:鸡兔同笼共50个头,170条腿。问鸡兔各有多少只？

兔子只数(170-2×50)÷2=35(只)

鸡的只数50-35=15(只)

(二)分数与百分数的应用

1.分数加减法应用题:

分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系与解题方法基本相同,所不同的只就是在已知数或未知数中含有分数。

2.分数乘法应用题:

就是指已知一个数,求它的几分之几就是多少的应用题。

特征:已知单位”1”的量与分率,求与分率所对应的实际数量。

解题关键:准确判断单位”1”的量。找准要求问题所对应的分率,然后根据一个数乘分数的意义正确列式。

3.分数除法应用题:

求一个数就是另一个数的几分之几(或百分之几)就是多少。

特征:已知一个数与另一个数,求一个数就是另一个数的几分之几或百分之几。”一个数”就是比较量,”另一个数”就是标准量。求分率或百分率,也就就是求她们的倍数关系。

解题关键:从问题入手,搞清把谁瞧作标准的数也就就是把谁瞧作了”单位一”,谁与单位一的量作比较,谁就作被除数。

甲就是乙的几分之几(百分之几):甲就是比较量,乙就是标准量,用甲除以乙。

甲比乙多(或少)几分之几(百分之几):甲减乙比乙多(或少几分之几)或(百分之几)。关系式(甲数减乙数)/乙数或(甲数减乙数)/甲数。

已知一个数的几分之几(或百分之几),求这个数。

特征:已知一个实际数量与它相对应的分率,求单位”1”的量。

解题关键:准确判断单位”1”的量把单位”1”的量瞧成x根据分数乘法的意义列方程,或者根据分数除法的意义列算式,但必须找准与分率相对应的已知实际数量。

4.出勤率

发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%

小麦的出粉率=面粉的重量/小麦的重量×100%

产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%

职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%

5.工程问题:

就是分数应用题的特例,它与整数的工作问题有着密切的联系。它就是探讨工作总量、工作效率与工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。

解题关键:把工作总量瞧作单位”1”,工作效率就就是工作时间的倒数,然后根据题目的具体情况,灵活运用公式。

数量关系式:

工作总量=工作效率×工作时间

工作效率=工作总量÷工作时间

工作时间=工作总量÷工作效率

工作总量÷工作效率与=合作时间

6.纳税

纳税就就是把根据国家各种税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

缴纳的税款叫应纳税款。

应纳税额与各种收入的(销售额、营业额、应纳税所得额……)的比率叫做税率。

*利息

存入银行的钱叫做本金。

取款时银行多支付的钱叫做利息。

利息与本金的比值叫做利率。

利息=本金×利率×时间

第二章 度量衡

一、长度

(一)什么就是长度

长度就是一维空间的度量。

(二)长度常用单位

公里(km)米(m)分米(dm)厘米(cm)毫米(mm)微米(um)

(三)单位之间的换算

1毫米＝1000微米1厘米＝10毫米1分米＝10厘米1米＝1000毫米1千米＝1000米

二、面积

(一)什么就是面积

面积,就就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。

(二)常用的面积单位

平方毫米平方厘米平方分米平方米平方千米

(三)面积单位的换算

1平方厘米＝100平方毫米 1平方分米=100平方厘米 1平方米＝100平方分米

1公倾＝10000平方米 1平方公里＝100公顷

三、体积与容积

(一)什么就是体积、容积

体积,就就是物体所占空间的大小。

容积,箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。

(二)常用单位

1.体积单位

立方米 立方分米 立方厘米

2.容积单位

升 毫升

(三)单位换算

1.体积单位

1立方米=1000立方分米

1立方分米=1000立方厘米

2.容积单位

1升=1000毫升

1升=1立方米

1毫升=1立方厘米

四、质量

(一)什么就是质量

质量,就就是表示表示物体有多重。

(二)常用单位

吨(t) 千克(kg) 克(g)

(三)常用换算

一吨=1000千克

1千克=1000克

五、时间

(一)什么就是时间

就是指有起点与终点的一段时间

(二)常用单位

世纪、年、月、日、时、分、秒

(三)单位换算

1世纪=100年

1年=365天平年

一年=366天闰年

一、三、五、七、八、十、十二就是大月大月有31天

四、六、九、十一就是小月小月小月有30天

平年2月有28天闰年2月有29天

1天=24小时

1小时=60分

一分=60秒

六、货币

(一)什么就是货币

货币就是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币就是价值的一般代表,可以购买任何别的商品。

(二)常用单位

元 角 分

(三)单位换算

1元=10角

1角=10分

第2章 代数初步知识

一、用字母表示数

(一)用字母表示数的意义与作用

用字母表示数,可以把数量关系简明的表达出来,同时也可以表示运算的结果。

(二)用字母表示常见的数量关系、运算定律与性质、几何形体的计算公式

1.常见的数量关系

路程用s表示,速度v用表示,时间用t表示,三者之间的关系:

s=vt

v=s/t

t=s/v

总价用a表示,单价用b表示,数量用c表示,三者之间的关系:

a=bc

b=a/c

c=a/b

2.运算定律与性质

加法交换律:a+b=b+a

加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律:ab=ba

乘法结合律:(ab)c=a(bc)

乘法分配律:(a+b)c=ac+bc

减法的性质:a-(b+c)=a-b-c

3.用字母表示几何形体的公式

长方形的长用a表示,宽用b表示,周长用c表示,面积用S表示。

C=2(a+b)

S=ab

正方形的边长a用表示,周长用c表示,面积用S表示。

C=4a

S=a²

平行四边形的底a用表示,高用h表示,面积用S表示。

S=ah

三角形的底用a表示,高用h表示,面积用S表示。

S=ah/2

梯形的上底用a表示,下底b用表示,高用h表示,中位线用m表示,面积用S表示。

S=(a+b)h/2

S=mh

圆的半径用r表示,直径用d表示,周长用c表示,面积用S表示。

C=∏d=2∏r

S=∏r²

扇形的半径用r表示,n表示圆心角的度数,面积用S表示。

S=∏nr²/360

长方体的长用a表示,宽用b表示,高用h表示,表面积用S表示,体积用V表示。

V=sh

S=2(ab+ah+bh)

V=abh

正方体的棱长用a表示,底面周长C用表示,底面积用S表示,体积用V表示、

S=6a²

V=a³

圆柱的高用h表示,底面周长用C表示,底面积用S表示,体积用V表示、

S侧=ch

S表=S侧+2S底

V=sh

圆锥的高用h表示,底面积用S表示,体积用V表示、

V=Sh/3

(三)用字母表示数的写法

数字与字母、字母与字母相乘时,乘号可以记作”、”,或者省略不写,数字要写在字母的前面。

当”1”与任何字母相乘时,”1”省略不写。

在一个问题中,同一个字母表示同一个量,不同的量用不同的字母表示。

用含有字母的式子表示问题的答案时,除数一般写成分母,如果式子中有加号或者减号,要先用括号把含字母的式子括起来,再在括号后面写上单位的名称。

(四)将数值代入式子求值

把具体的数代入式子求值时,要注意书写格式:先写出字母等于几,然后写出原式,再把数代入式子求值。字母表示的就是数,后面不写单位名称。

同一个式子,式子中所含字母取不同的数值,那么所求出的式子的值也不相同。

二、简易方程

方程与方程的解

(一)方程:含有未知数的等式叫做方程。

注意:方程就是等式,又含有未知数,两者缺一不可。

方程与算术式不同。算术式就是一个式子,它由运算符号与已知数组成,它表示未知数。方程就是一个等式,在方程里的未知数可以参加运算,并且只有当未知数为特定的数值时,方程才成立。

(二)方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。

三、解方程

解方程,求方程的解的过程叫做解方程。

四、列方程解应用题

(一)列方程解应用题的意义

用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。

(二)列方程解答应用题的步骤

弄清题意,确定未知数并用x表示;

找出题中的数量之间的相等关系;

列方程,解方程;

检查或验算,写出答案。

(三)列方程解应用题的方法

综合法:先把应用题中已知数(量)与所设未知数(量)列成有关的代数式,再找出它们之间的等量关系,进而列出方程。这就是从部分到整体的一种思维过程,其思考方向就是从已知到未知。

分析法:先找出等量关系,再根据具体建立等量关系的需要,把应用题中已知数(量)与所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。这就是从整体到部分的一种思维过程,其思考方向就是从未知到已知。

4.列方程解应用题的范围

小学范围内常用方程解的应用题:

a.一般应用题;

b.与倍、差倍问题;

c.几何形体的周长、面积、体积计算;

d.分数、百分数应用题;

e.比与比例应用题。

五、比与比例

1.比的意义与性质

(1)比的意义

两个数相除又叫做两个数的比。

“:”就是比号,读作”比”。比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。

同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。

比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能就是整数。

比的后项不能就是零。

根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。

(2)比的性质