2018 年湖南省张家界市中考数学试卷

、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3分，满分 24 分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的 . ）

1．

3.00 分）

2018 的绝对值是（

A．

2018 B．

﹣2018 C．

2．

3.00 分）

D．

若关于 x的分式方程 =1的解为 x=2，则 m的值为（ ）

A．

5 B． 4

C．3 D． 2

3．

列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（

4．

A．

5．

3.00 分）

A．

C．

B．

D．

3.00 分）

23

a +a=2a

列运算正确的是（

B． =a

）

C．（ a+1）2=a2+1 D．（a3）2=a6

3.00 分）

若一组数据

a1，a2，a3 的平均数为 4，方差为 3，那么数据 a1+2，a2+2，a3+2

的平均数和方差分别是（

A．4， 3 B．6，3 C．

3， 4 D．

6，

6．（3.00 分）如图， AB是⊙ O的直径，

CD⊥AB于点 E，OC=5cm，CD=8cm，则 AE=（ ）

7．

2cm

3.00 分）下列说法中，正确的是（

A．

两条直线被第三条直线所截，内错角相等

B．

对角线相等的平行四边形是正方形

C．

相等的角是对顶角

D．

角平分线上的点到角两边的距离相等

8．（3.00 分）观察下列算式： 21=2， 22=4，23=8，24=16，25=32，26=64， 27=128，28=256⋯， 则 2+22+23+24+25+⋯+21018 的末位数字是（ ）

A．8 B． 6 C．4 D．0

二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3分，满分 18 分）

2

9．（3.00 分）因式分解： a2+2a+1= ．

10．（3.00 分）目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是 5 纳米，而我国能制造芯片的最小 工艺水平是 16 纳米，已知 1 纳米=10﹣9米，用科学记数法将 16 纳米表示为 米．

11．（3.00 分）在一个不透明的袋子里装有 3 个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球， 若从这个 袋子里随机摸岀一个乒乓球，恰好是黄球的概率为 ，则袋子内共有乒乓球的个数 为．

12．（3.00 分）如图，将△ ABC绕点 A逆时针旋转 150°，得到△ ADE，这时点 B，C，D 恰好 在同一直线上，则∠ B 的度数为 ．

13．（3.00 分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣kx+1=0 有两个相等的实数根，则 k= ． 14．（3.00分）如图，矩形 ABCD的边AB与x轴平行，顶点 A的坐标为（ 2，1），点 B与点 D都在反比例函数 y= （x> 0）的图象上，则矩形 ABCD的周长为 ．

三、解答题（本大题共 9个小题，共计58分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算过程） 15．（5.00 分）（ ﹣1）0+（﹣1）﹣2﹣4sin60 °+ ．

17．（5.00 分）在矩形 ABCD中，点 E在 BC上， AE=AD，DF⊥AE，垂足为 F．

1）求证． DF=AB；

2）若∠ FDC=30°，且 AB=4，求 AD．

18．（5.00 分）列方程解应用题 《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五； 人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出 5 元， 则差 45元；每人出 7 元，则差 3 元．求人数和羊价各是多少？

19．（6.00 分）阅读理解题

在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（ x0，y0）到直线 Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离公式为： d= ，

d= ，

例如，求点 P（1，3）到直线 4x+3y﹣3=0 的距离．

解：由直线 4x+3y﹣3=0 知：A=4，B=3，C=﹣3

所以 P（1，3）到直线 4x+3y﹣3=0的距离为： d= =2

根据以上材料，解决下列问题：

（1）求点 P1（0，0）到直线 3x﹣4y﹣5=0 的距离．

（2）若点 P2（1，0）到直线 x+y+C=0的距离为 ，求实数 C 的值．

20．（6.00 分）如图，点 P 是⊙ O的直径 AB延长线上一点，且 AB=4，点 M为 上一个动点 （不与 A，B 重合），射线 PM与⊙ O交于点 N（不与 M重合）

（1）当 M在什么位置时，△ MAB的面积最大，并求岀这个最大值；

21．（ 8.00 分）今年是我市全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年． 某校对全校

学生进行了中期检测评价，检测结果分为 A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四 个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完 整的统计表（图 1）和统计图（图 2）．

请根据图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次随机抽取的样本容量为 ；

（2）a= ，b= ；

（3）请在图 2 中补全条形统计图；

（4）若该校共有学生 800 人，据此估算，该校学生在本次检测中达到“ A（优秀）”等级

22．（8.00 分）2017年9月 8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区 隆重举行，来自全球 11个国家的 16 名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地 面1000米高的A点出发（ AB=1000米），沿俯角为 30°的方向直线飞行 1400米到达 D点， 然后打开降落伞沿俯角为 60°的方向降落到地面上的 C 点，求该选手飞行的水平距离 BC．

23．（10.00 分）如图，已知二次函数 y=ax2+1（a≠0，a 为实数）的图象过点 A（﹣2，2）， 一次函数 y=kx+b（k≠0，k，b 为实数）的图象 l 经过点 B（0，2）．

（1）求 a 值并写出二次函数表达式；

（2）求 b 值；

（3）设直线 l 与二次函数图象交于 M，N两点，过 M作 MC垂直 x 轴于点 C，试证明：MB=M；C

（4）在（ 3）的条件下，请判断以线段 MN为直径的圆与 x 轴的位置关系，并说明理由．

2018 年湖南省张家界市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3分，满分 24 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 . ）

1．（3.00 分） 2018 的绝对值是（ ）

A．2018 B．﹣ 2018 C． D．

【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．

【解答】解： 2018 的绝对值是： 2018． 故选： A．

2．（3.00 分）若关于 x的分式方程 =1的解为 x=2，则 m的值为（ ）

A．5 B． 4 C．3 D．2 【分析】直接解分式方程进而得出答案．

【解答】解：∵关于 x 的分式方程 =1 的解为 x=2，

∴x=m﹣2=2，

解得： m=4．

故选： B．

3．（3.00 分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．

故选： C．

4．（3.00 分）下列运算正确的是（ ）

A． a2+a=2a3 B． =a C．（ a+1）2=a2+1 D．（ a3） 2=a6

【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母 的指数不变； =a （a≥0）；完全平方公式：（a±b）2=a2± 2ab+b2；幂的乘方法则：底数

不变，指数相乘进行计算即可．

【解答】解： A、a2和 a不是同类项，不能合并，故原题计算错误；

B、 =|a| ，故原题计算错误；

C、（ a+1） =a +2a+1，故原题计算错误；

D、（a3）2=a6，故原题计算正确； 故选： D．

5．（3.00 分）若一组数据 a1，a2，a3 的平均数为 4，方差为 3，那么数据 a1+2，a2+2，a3+2 的平均数和方差分别是（ ）

A．4， 3 B．6，3 C．3，4 D．6，5

【分析】根据数据 a1，a2，a3的平均数为 4 可知 （ a1+a2+a3）=4，据此可得出 （a1+2+a2+2+a3+2） 的值；再由方差为 3 可得出数据 a1+2， a2+2， a3+2 的方差．

解答】解：∵数据 a1，a2，a3 的平均数为 4，

a1+2+a2+2+a3+2) = (a1+a2+a3)+2=4+2=6，

∴数据 a1+2，a2+2，a3+2 的平均数是 6；

∵数据 a1，a2，a3 的方差为 3，

∴ [ （a1﹣4） +（a2﹣4） +（a3﹣4） ]=3 ，

∴a1+2，a2+2，a3+2 的方差为：

[ （ a1+2﹣6） +（ a2+2﹣6） +（a3+2﹣6） ]

= [ （a1﹣ 4） 2+（a2﹣4）2+（a3﹣4） 2]

=3．

故选： B．

6．（3.00 分）如图， AB是⊙ O的直径，弦 CD⊥AB于点 E，OC=5cm，CD=8cm，则 AE=（ ）

A． 8cmB ． 5cm C．3cm D．2cm

【分析】根据垂径定理可得出 CE的长度，在 Rt △OCE中，利用勾股定理可得出 OE的长度， 再利用 AE=AO+O即E 可得出 AE的长度．

【解答】解：∵弦 CD⊥AB于点 E， CD=8cm，

∴ CE= CD=4cm．

在 Rt △OCE中， OC=5cm，CE=4cm，

∴OE= =3cm，

∴AE=AO+OE=5+3=8．cm

故选： A．

7．（3.00 分）下列说法中，正确的是（ ）

A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等

B．对角线相等的平行四边形是正方形

C．相等的角是对顶角

D．角平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质 逐个判断即可．

【解答】解： A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题 意；

B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；

C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；

D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；

故选： D．

8．（3.00 分）观察下列算式： 21=2， 22=4，23=8，24=16，25=32，26=64， 27=128，28=256⋯，

则 2+22+23+24+25+⋯+21018 的末位数字是（ ）

A．8 B． 6 C．4 D．0

【分析】通过观察发现： 2n的个位数字是 2，4，8，6 四个一循环，所以根据 2018÷4=504⋯2， 得出 22018 的个位数字与 22的个位数字相同是 4，进而得出答案．

【解答】解：∵ 2n的个位数字是 2，4，8，6 四个一循环， 2018÷4=504⋯2，

∴22018的个位数字与 22的个位数字相同是 4，

故 2+22+23+24+25+⋯+21018的末位数字是 2+4+8+6+⋯+2+4 的尾数，

则 2+22+23+24+25+⋯+21018 的末位数字是： 2+4=6．

故选： B．

二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3分，满分 18 分）

9．（3.00 分）因式分解： a2+2a+1= （a+1）2 ．

分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．

解答】解： a2+2a+1=（ a+1）2．

10．（3.00 分）目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是 5 纳米，而我国能制造芯片的最小 工艺水平是 16 纳米，已知 1 纳米=10﹣9米，用科学记数法将 16纳米表示为 1.6 ×10﹣8 米． 【分析】由 1 纳米=10﹣9米，可得出 16 纳米=1.6 ×10﹣8米，此题得解．

【解答】解：∵ 1 纳米=10﹣9米，

∴16 纳米=1.6×10﹣8米．

故答案为： 1.6 ×10﹣8．

11．（3.00 分）在一个不透明的袋子里装有 3 个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球， 若从这个 袋子里随机摸岀一个乒乓球，恰好是黄球的概率为 ，则袋子内共有乒乓球的个数为 10 ．

分析】设有 x 个黄球，利用概率公式可得 = ，解出 x 的值，可得黄球数量，再求总

数即可．

【解答】解：设有 x 个黄球，由题意得： = ，

解得： x=7，

7+3=10，

故答案为： 10．

12．（3.00 分）如图，将△ ABC绕点 A逆时针旋转 150°，得到△ ADE，这时点 B，C，D 恰好 在同一直线上，则∠ B 的度数为 15° ．

【分析】先判断出∠ BAD=15°0 ，AD=AB，再判断出△ BAD是等腰三角形，最后用三角形的内 角和定理即可得出结论．

【解答】解：∵将△ ABC绕点 A 逆时针旋转 150°，得到△ ADE， ∴∠BAD=15°0 ， AD=AB，

∵点 B，C，D 恰好在同一直线上，

∴△ BAD是顶角为 150°的等腰三角形，

∴∠B=∠BDA，

∴∠ B= （180°﹣∠ BAD）=15°，

故答案为： 15°．

13．（3.00 分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣kx+1=0 有两个相等的实数根，则 k= ±2 ． 【分析】根据题意可得△ =0，进而可得 k2﹣ 4=0，再解即可．

【解答】解：由题意得：△ =k2﹣4=0， 解得： k=±2，

故答案为：± 2．

14．（3.00 分）如图，矩形 ABCD的边 AB与 x 轴平行，顶点 A的坐标为（ 2，1），点 B与点

D都在反比例函数 y= （x> 0）的图象上，则矩形 ABCD的周长为 12

【分析】根据矩形的性质、结合点 A的坐标得到点 D的横坐标为 2，点 B 的纵坐标为 1，根 据反比例函数解析式求出点 D的坐标，点 B 的坐标，根据矩形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD是矩形，点 A的坐标为（ 2，1），

∴点 D 的横坐标为 2，点 B 的纵坐标为 1，

当 x=2 时， y= =3，

当 y=1 时， x=6，

则 AD=3﹣ 1=2， AB=6﹣2=4，

则矩形 ABCD的周长 =2×（ 2+4）=12，

故答案为： 12．

三、解答题（本大题共 9个小题，共计58分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算过程） 15．（5.00 分）（ ﹣1）0+（﹣1）﹣2﹣4sin60 °+ ．

【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根 式的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式 =1+1﹣4× +2

=2．

16．（5.00 分）解不等式组 ，写出其整数解．

分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

解答】解： ∵解不等式①得： x<3，

解不等式②得： x≥﹣ 1，

∴不等式组的解集为﹣ 1≤ x< 3， ∴不等式组的整数解为﹣ 1，0，1，2．

17．（5.00 分）在矩形 ABCD中，点 E在 BC上， AE=AD，DF⊥AE，垂足为 F．

（1）求证． DF=AB；

（2）若∠ FDC=3°0 ，且 AB=4，求 AD．

【分析】（1）利用“ AAS”证△ ADF≌△ EAB即可得；

（2）由∠ADF+∠FDC=9°0 、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知 AD=2D，F 根据 DF=AB可得答案．

【解答】证明：（1）在矩形 ABCD中，∵ AD∥BC，

∴∠AEB=∠DAF，

又∵DF⊥AE，

∴∠DFA=90°，

∴∠DFA=∠B，

又∵AD=EA，

∴△ ADF≌△ EAB，

∴DF=AB．

（2）∵∠ADF+∠FDC=9°0 ，∠ DAF+∠ADF=90°，

∴∠FDC=∠DAF=30°，

∴AD=2D，F

∵DF=AB，

∴AD=2AB=．8

18．（5.00 分）列方程解应用题 《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；

人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出

则差 45元；每人出 7 元，则差 3 元．求人数和羊价各是多少？ 【分析】可设买羊人数为未知数，等量关系为： 5×买羊人数 +45=7×买羊人数 +3，把相关 数值代入可求得买羊人数，代入方程的等号左边可得羊价．

【解答】解：设买羊为 x 人，则羊价为（ 5x+45）元钱， 5x+45=7x+3，

x=21（人），

5×21+45=150（员）， 答：买羊人数为 21 人，羊价为 150元．

19．（6.00 分）阅读理解题

在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（ x0，y0）到直线 Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离公式为： d= ，

d= ，

例如，求点 P（1，3）到直线 4x+3y﹣3=0 的距离．

解：由直线 4x+3y﹣3=0 知：A=4，B=3，C=﹣3

所以 P（1，3）到直线 4x+3y﹣3=0的距离为： d= =2

根据以上材料，解决下列问题：

（1）求点 P1（0，0）到直线 3x﹣4y﹣5=0 的距离．

（2）若点 P2（1，0）到直线 x+y+C=0的距离为 ，求实数 C 的值． 【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解；

（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．

【解答】解：（1）d= =1；

∴|C+1|=2 ，

∴C+1=±2， ∴C1=﹣3， C2=1．

20．（6.00 分）如图，点 P 是⊙ O的直径 AB延长线上一点，且 AB=4，点 M为 上一个动点 （不与 A，B 重合），射线 PM与⊙ O交于点 N（不与 M重合）

（1）当 M在什么位置时，△ MAB的面积最大，并求岀这个最大值；

（2）求证：△ PAN∽△ PMB．

【分析】（1）当 M在弧 AB中点时，三角形 MAB面积最大，此时 OM与 AB垂直，求出此时三 角形面积最大值即可；

（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证．

【解答】解：（1）当点 M在 的中点处时，△ MAB面积最大，此时 OM⊥AB，

∵OM= AB= ×4=2，

∴S△ABM= AB?OM=×4×2=4；

（2）∵∠ PMB∠= PAN，∠ P=∠ P，

∴△ PAN∽△ PMB．

21．（ 8.00 分）今年是我市全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年． 某校对全校 学生进行了中期检测评价，检测结果分为 A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四 个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完 整的统计表（图 1）和统计图（图 2）．

请根据图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次随机抽取的样本容量为 100 ；

2）a= 30 ，b= 0.31 ；

3）请在图 2 中补全条形统计图；

4）若该校共有学生 800 人，据此估算，该校学生在本次检测中达到

22．（8.00 分） 2017年 9月 8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区

隆重举行，来自全球 11个国家的 16 名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地 面1000米高的 A点出发（ AB=1000米），沿俯角为 30°的方向直线飞行 1400米到达 D点， 然后打开降落伞沿俯角为 60°的方向降落到地面上的 C 点，求该选手飞行的水平距离 BC．

【分析】如图，作 DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据题意得到∠ ADE=3°0 ，∠ CDF=3°0 ，利 用含 30度的直角三角形三边的关系计算出 AE= AD=700，DE= AE=700 ，则 BE=300，所 以 DF=300，BF=700 ，再在 Rt △CDF中计算出 CF，然后计算 BF 和 CF的和即可．

【解答】解：如图，作 DE⊥AB于 E，DF⊥BC于 F，∠ADE=3°0 ，∠ CDF=3°0 ，

在 Rt△ADE中， AE= AD= ×1400=700，

DE= AE=700 ， ∴BE=AB﹣AE=1000﹣700=300，

∴DF=300，BF=700 ，

∴BC=700 +100 =800 ． 答：选手飞行的水平距离 BC为 800 m．

23．（10.00 分）如图，已知二次函数 y=ax2+1（a≠0，a 为实数）的图象过点 A（﹣2，2）， 一次函数 y=kx+b（k≠0，k，b 为实数）的图象 l 经过点 B（0，2）．

（1）求 a 值并写出二次函数表达式；

（2）求 b 值；

（3）设直线 l 与二次函数图象交于 M，N两点，过 M作 MC垂直 x 轴于点 C，试证明：MB=M；C

（4）在（ 3）的条件下，请判断以线段 MN为直径的圆与 x 轴的位置关系，并说明理由．

分析】（1）将点 A的坐标代入二次函数表达式中可求出 a 值，进而可得出二次函数表达

式； （2）将点 B的坐标代入一次函数表达式中可求出 b 值；

（3）过点 M作 ME⊥y 轴于点 E，设点 M的坐标为（ x， x2+1），则 MC= x2+1，由勾股定理 可求出 MB的长度，进而可证出 MB=M；C

（4）过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为 P，过点 P作PF⊥x轴于点 F，过点N作NH⊥ MC于点 H，交 PF于点 Q，由（ 3）的结论可得出 MN=NB+MB=ND，+M利C用中位线定理可得出 PQ= MH，进而可得出 PF= MN，由此即可得出以 MN为直径的圆与 x 轴相切．

【解答】解：（1）∵二次函数 y=ax2+1（a≠0，a 为实数）的图象过点 A（﹣ 2，2）， ∴2=4a+1，解得： a= ， ∴二次函数表达式为 y= x2+1．

（2）∵一次函数 y=kx+b（k≠0，k，b 为实数）的图象 l 经过点 B（0， 2）， ∴2=k×0+b，

∴b=2．

（3）证明：过点 M作 ME⊥y 轴于点 E，如图 1 所示． 设点 M的坐标为（ x， x2+1），则 MC= x2+1，

22

∴ME=|x|，EB=| x2+1﹣2|=| x2﹣1| ，

∴MB= ，

∴MB=M．C

（4）相切，理由如下：

过点 N作ND⊥x轴于 D，取 MN的中点为 P，过点 P作 PF⊥x轴于点 F，过点 N作 NH⊥MC于 点 H，交 PF 于点 Q，如图 2 所示．

由（ 3）知 NB=N，D ∴MN=NB+MB=ND．+MC

∵点 P为 MN的中点， PQ∥MH，

∴PQ= MH．

∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角，

∴四边形 NDCH为矩形，

∴QF=N，D ∴PF=PQ+QF=MH+ND=（ND+MH+H）C= （ND+M）C = MN．

∴以 MN为直径的圆与 x 轴相切．