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    安徽省宁国中学平面向量多选题试题含答案-

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    安徽省宁国中学平面向量多选题试题含答案

    一、平面向量多选题
    1．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB3，BC=1，（ ） A．∠APB=120° C．2BP=PC 【答案】ABCD 【分析】
    根据条件作几何图形，由向量的关系可得P，G，Q三点共线且PQ=1，故△PMQ和△PNQ均为等边三角形，∠APB=∠BPC=∠APC=120°，进而可确定P为Rt△ABC的费马点，利用相似可确定BP、 AP、 PC之间的数量关系. 【详解】
    在直线PA，PB，PC上分别取点M，N，G，使得|PM|=|PN|=|PG|=1， 以PM，PN为邻边作平行四边形PMQN，则PMPNPQ， ∵B．∠BPC=120° D．AP=2PC
    PAPA    PBPB    PCPC0，以下正确的是PAPAPBPB    PCPC0，即PMPNPG0，即PQPG0，
    ∴P，G，Q三点共线且PQ=1，故△PMQ和△PNQ均为等边三角形， ∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°，故A、B正确； ∵AB3，BC=1，∠ABC=90°， ∴AC=2，∠ACB=60°，
    在△ABC外部分别以BC､AC为边作等边△BCE和等边△ACD，直线CP绕C旋转60°交PD于P’，
    CECB∴ECABCD120，即ECABCD，故EACBDC， CACDEACBDC，即CPACPD，故CPCP， CACDPCAPCD∴CPP为等边三角形，CPDCPA120，则B，P，D三点共线，同理有A，P，E三点共线， ∴△BPC∽△BCD，即BPBC1，即PC=2BP，故C正确， CPCD2APAC2，即AP=2PC，故D正确. CPBC同理：△APC∽△ACB，即故选：ABCD.


    【点睛】
    关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P为Rt△ABC的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.

    2．已知ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC,AB上的点，且AEEB，AD2DC，BD与CE交于点O，则（ ）
    A．OCEO0
    C．OAOBOCOD【答案】BD 【分析】
    可证明EOCE，结合平面向量线性运算法则可判断A；由ABCE结合平面向量数量积的定义可判断B；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C；由投影的计算公式可判断D. 【详解】
    因为ABC是边长为2的等边三角形，AEEB，
    所以E为AB的中点，且CEAB，以E为原点如图建立直角坐标系，
    B．ABCE0
    3
    D．ED在BC方向上的投影为7
    6

    ,，C0,3， 则E0,0，A1,0，B102231232由AD2DC可得ADAC3,3，则D3,3， 3取BD的中点G，连接GE，易得GE//AD且GE所以CDO≌△EGO，EOCO，则O0,1ADDC，
    23， 2对于A，OCEOEC0，故A错误； 对于B，由ABCE可得ABCE0，故B正确；
    13333对于C，OA1,2，OB1,2，OC0,2，OD3,6，
    所以OAOBOCOD,1332OAOBOCOD，所以，故C错误；
    33123EDBC1,3对于D，，3,3，
    12BCED73所以ED在BC方向上的投影为，故D正确.
    26BC故选：BD. 【点睛】
    关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.

    3．在三棱锥PABC中，三条侧棱PA,PB,PC两两垂直，且PAPBPC3，G是
    △PAB的重心，E，F分别为BC,PB上的点，且BE:ECPF:FB1:2，则下列说法正确的是（ ） A．EGPG B．EGBC C．FG//BC D．FGEF 【答案】ABD 【分析】
    取PAa,PBb,PCc，以{a,b,c}为基底表示EG，FG，EF，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案. 【详解】
    如图，设PAa,PBb,PCc，则{a,b,c}是空间的一个正交基底， 则abacbc0，取AB的中点H，则PG22111PH(abab， 332331121111EGPGPEabbcabc,BCcb，
    33333331111FGPGPFabba，
    333312111EFPFPEbcbcb，
    33333∴EGPG0，A正确；EGBC0，B正确；FGBC(R，C不正确；FGEF0，D正确.
    故选:ABD.

    【点睛】
    本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.

    4．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
    A．已知A、B、C是平面中三点，若AB,AC不能构成该平面的基底，则A、B、C共线 B．若abbc且b0，则ac
    C．若点G为ΔABC的重心，则GAGBGC0
    ，2，b2,，若a，b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1 D．已知a1
    【答案】AC 【分析】
    根据平面向量基本定理判断A；由数量积的性质可判断B；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C，由数量积及平面向量共线定理判断D． 【详解】
    解：因为AB,AC不能构成该平面的基底，所以AB//AC，又AB,AC有公共点A，所以A、B、C共线，即A正确；
    由平面向量的数量积可知，若abbc，则|a||b|cosa,b|b||c|cosb,c，所以|a|cosa,b|c|cosb,c，无法得到ac，即B不正确；
    设线段AB的中点为M，若点G为ABC的重心，则GAGB2GM，而GC2GM，所以GAGBGC0，即C正确；
    a1，2，b2,，若a，b的夹角为锐角，则ab220解得1，且a与b不能共线，即4，所以,4故选：AC． 【点睛】
    本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．
    4,1，故D错误；

    5．已知ABC的面积为3，在ABC所在的平面内有两点P，Q，满足PA2PC0，QA2QB，记APQ的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
    A．PB//CQ C．PAPC0 【答案】BD 【分析】
    利用向量的共线定义可判断A；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B；利用向量数量积的定义可判断C；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】
    由PA2PC0，QA2QB，
    可知点P为AC的三等分点，点Q 为AB延长线的点， 且B为AQ的中点，如图所示：
    B．BP12BABC 33D．S4


    对于A，点P为AC的三等分点，点B为AQ的中点， 所以PB与CQ不平行，故A错误； 对于B，BPBAAPBA故B正确；
    对于C，PAPCPAPCcosPAPC0，故C错误； 对于D，设ABC的高为h，S则APQ的面积S故选：BD 【点睛】
    本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题
    ABC2212ACBABCBABABC, 33331ABh3，即ABh6，
    2    APQ    12122AQh2ABh64，故D正确； 23233
    6．在ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（ ） A．ABACAD0 B．DAEBFC0 C．若ABAC3AD，则BD是BA在BC的投影向量 |AB||AC||AD|1
    8D．若点P是线段AD上的动点，且满足BPBABC，则的最大值为【答案】BCD 【分析】
    对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到AD为BAC的平分线，即ADBC，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据A,P,D三点共线，设BPtBA(1tBD，0t1，再根据已知得t到1t，从而得到y2【详解】 如图所示：
    1tt(21121(t，即可判断选项D正确. 228

    对选项A，ABACAD2ADADAD0，故A错误. 对选项B，DAEBFC111(ABAC(BABC(CACB 222111111ABACBABCCACB
    222222111111ABACABBCACBC0，故B正确.
    222222对选项C，ABACAD，，分别表示平行于AB，AC，AD的单位向量， |AB||AC||AD|由平面向量加法可知：ABAC为BAC的平分线表示的向量. |AB||AC|因为ABAC3AD，所以AD为BAC的平分线， |AB||AC||AD|又因为AD为BC的中线，所以ADBC，如图所示：

    BA在BC的投影为BAcosBBABDBABD，
    所以BD是BA在BC的投影向量，故选项C正确. 对选项D，如图所示：


    因为P在AD上，即A,P,D三点共线， 设BPtBA(1tBD，0t1.
    又因为BD(1t1BC，所以BPtBABC. 22t因为BPBABC，则1t，0t1.
    21121(t， 22811当t时，取得最大值为.故选项D正确.
    28故选：BCD 【点睛】
    令y    t1t2本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.

    7．下列说法中错误的为 （
    ）A．已知a1,2，b1,1，且a与aλb的夹角为锐角，则实数的取值范围是5, 3B．向量e12,3，e213,不能作为平面内所有向量的一组基底 24C．若a//b，则a在b方向上的正射影的数量为a D．三个不共线的向量OA，OB，OC，满足ABCABACBCABCOBOC0，则O是ABC的内OAABCABACBCABC心 【答案】AC 【分析】

    对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可； 对于B，由e14e2，可知e1，e2不能作为平面内所有向量的一组基底； 对于C，利用向量投影的定义即可判断；
    ABCA0，点O在角A的平分线上，同理，点O在角B的平分线对于D，由OAABCA上，点O在角C的平分线上，进而得出点O是ABC的内心. 【详解】
    对于A，已知a1,2，b1,1，且a与aλb的夹角为锐角， 可得aab0，且a与aλb不共线，aλb1λ,2λ， 即有1220，且212，
    55且0，则实数的取值范围是且0， 33故A不正确；
    解得对于B，向量，，e213,， 24e14e2，
    向量e1，e2不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；
    对于C，若ab，则a在b上的投影为a，故C错误； 对于D，ABABCACA表示与ABC中角A的外角平分线共线的向量，
    ABCA0，可知OA垂直于角A的外角平分线， 由OAABCA所以，点O在角A的平分线上，
    同理，点O在角B的平分线上，点O在角C的平分线上， 故点O是ABC的内心，D正确. 故选：AC. 【点睛】
    本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.

    8．已知ABC是边长为2aa0的等边三角形，P为ABC所在平面内一点，则PAPBPC的值可能是（ ）

    A．2a2 【答案】BCD 【分析】
    B．32a
    2C．42a
    3D．a2
    通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果. 【详解】
    建立如图所示的平面直角坐标系.

    设Px,y，又A0,3a，Ba,0，
    Ca,0，则PAx,3ay，
    PBax,y，PCax,y.
    则PBPCax,yax,y 即PBPC2x,2y 所以
    则PAPBPC2xPAPBPCx,3ay2x,2y
    2    2y223ay
    23322PAPBPC.2x2即y2a2a 所以PAPBPC故选：BCD. 【点睛】
    本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.
    32a
    2
    二、立体几何多选题
    9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点）且BEBF，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A、C两点重合于点A1，则下列结论正确的有（ ）．


    A．A1DEF B．当BEBF1BC时，三棱锥A1DEF的外接球体积为6π
    2C．当BEBFD．当BEBF【答案】ACD 【分析】
    1217BC时，三棱锥A1DEF的体积为 431417BC时，点A1到平面DEF的距离为 47A选项：证明A1D面A1EF，得A1DEF； B选项：当BEBF1BC2时，三棱锥A1EFD的三条侧棱A1D,A1E,A1F两两相互2垂直，利用分隔补形法求三棱锥A1EFD的外接球体积； C选项：利用等体积法求三棱锥A1EFD的体积； D选项：利用等体积法求出点A1到平面DEF的距离. 【详解】 A选项：正方形ABCD
    ADAE,DCFC
    由折叠的性质可知：A1DA1E,A1DA1F
    又A1EA1FA1
    A1D面A1EF
    又EF面A1EF，
    1BC2时，A1EA1F2,EF22
    2A1DEF；故A正确.
    B选项：当BEBF222在A1EF中，A1EA1FEF，则A1EA1F
    由A选项可知，A1DA1E,A1DA1F
    三棱锥A1EFD的三条侧棱A1D,A1E,A1F两两相互垂直，
    把三棱锥A1EFD放置在长方体中，可得长方体的对角线长为22224226，
    443三棱锥A1EFD的外接球半径为6，体积为R336386，

    故B错误
    C选项：当BEBF1BC1时，A1EA1F3,EF2 42222233在A1EF中，cosEAFA1EA1FEF12A1EA1FsinEA1F则S222338，
    917
    9A1EF111717 A1EA1FsinEA1F332292117217 AD4A1EF13231VA1EFDVDA1EFS3故C正确；
    D选项：设点A1到平面EFD的距离为h，则
    55在△EFD中，cosEDFDEDFEF22222222DEDF25524，
    25sinEDF则SEFD7
    25    1177DEDFsinEDF55 2225217217 hhDEF3231VA1EFDS3即h417
    7故D正确； 故选：ACD 【点睛】
    方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．

    10．如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下列结论中正确的是（ ）


    A．A1C1平面BB1D1D B．BD1平面ACB1
    C．BD1与底面BCC1B1所成角的正切值是2 D．过点A1与异面直线AD与CB1成60角的直线有2条 【答案】ABD 【分析】
    由直线与平面垂直的判定判断A与B；求解BD1与底面BCC1B1所成角的正切值判断C；利用空间向量法可判断D． 【详解】
    对于A选项，如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，
    BB1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，则BB1A1C1， B1D1， 由于四边形A1B1C1D1为正方形，则AC11BB1B1D1B1，因此，A1C1平面BB1D1D，故A正确；
    对于B选项，在正方体ABCDA1B1C1D1中，
    DD1平面ABCD，AC平面ABCD，ACDD1，
    因为四边形ABCD为正方形，所以，ACBD，
    DD1ACBDD，AC平面BB1D1D， B1CC，BD1平面ACB1，故B正确；
    BD1平面BB1D1D，ACBD1，同理可得BD1B1C，
    对于C选项，由C1D1平面BCC1B1，得C1BD1为BD1与平面BCC1B1所成角， 且tanC1BD1C1D12，故C错误； BC12对于D选项，以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，

    则A1,0,0、D0,0,0、C0,1,0、B11,1,1，
    DA1,0,0，CB11,0,1，

    设过点A1且与直线DA、CB1所成角的直线的方向向量为m1,y,z， 则cosDA,mDAmDAm1y2z211z1， 21，
    2cosCB1,mCB1mCB1m21y2z2y2z23整理可得2，消去y并整理得z22z10，解得z12或2yz4z1z12，
    由已知可得z3，所以，z12，可得y22， 因此，过点A1与异面直线AD与CB1成60角的直线有2条，D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】
    方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；
    三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；
    另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．


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