人教版六年级数学下册总复习
第一部分 数与代数
1、整数和小数的意义
自然数 正整数
整数 0
负整数
有限小数
小数 循环小数
无限小数
不循环小数
2、整数、小数和正、负数的读、写法
(1)整数的读、写法
(2)小数的读、写法
(3)正、负数的读、写法
3、小数的相关性质
(1)小数的相关性质
(2)小数点位置移动引起小数大小变化的规律
4、数位顺序表
5、数的改写及求近似数
(1)把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数。
(2)求近似数
6、分数
(1)分数的意义
(2)分数单位
(3)分数的分类:真分数、假分数
(4)分数的基本性质
(5)分数与除法的关系
(6)约分
(7)最简分数:分母、分子是互质数的分数
(8)通分
(9)分数的基本性质和小数的基本性质的关系
(10)倒数:乘积为1的两个数互为倒数。
(11)分数的读法和写法
(12)百分数
7、数的大小比较
(1)整数的大小比较
(2)小数的大小比较
(3)正负数的大小比较
(4)分数的大小比较
8、各类数之间的联系
(1)整数和分数之间的联系
(2)小数和分数之间的关系
(3)分数和百分数之间的关系
(4)分数、小数和百分数之间的关系
9、因数、倍数
(1)因数、倍数的意义和特征
(2)2、3、5的倍数的特征
10、奇数、偶数
11、质数、合数
(1)质数:只有1和它本身两个因数的数。
(2)合数:除了1和它本身还有别的因数的数。
(3)质数、合数的判断
(4)分解质因数:把一个合数写成几个质数相乘的形式。
(5)分解质因数的方法:短除法
12、公因数、公倍数
(1)公因数和最大公因数的意义、互质数(公因数只有1的两个数叫做互质数)
(2)两个数最大公因数的求法:枚举法、缩小倍数法、短除法、分解质因数法
(3)公倍数和最小公倍数的意义
(4)两个数最小公倍数的求法:枚举法、扩大倍数法、短除法、分解质因数法
(5)求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊方法
A、两数为倍数关系,较小数是这两个数的最大公因数;较大数是这两个数的最小公倍数。
B、两数是互质数,它们的最大公因数是1,最小公倍数为它们的乘积。
第二部分 数的运算
1、四则运算的意义及计算方法
整数、小数、分数的加法、减法、乘法、除法
2、四则运算中各部分间的关系
加法:和=加数+加数,加数=和-另一个加数
减法:差=被减数-减数,减数=被减数-差,被减数=减数+差
乘法:积=因数×因数,一个因数=积÷另一个因数
除法:商=被除数÷除数,除数=被除数÷商,被除数=除数×商
3、四则混合运算的顺序
(1)四则混合运算分为两级:加法、减法叫做第一级运算,乘法、除法叫做第二级运算。
(2)四则混合运算的顺序
A.在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要从左往右依次计算;如果含有两级运算,先算第二级运算,再算第一级运算。
B.在一个有括号的算式里,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算中括号外面的。
4、运算定律和运算性质
(1)运算定律
加法交换率:a+b=b+a
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c
(2)运算性质
A.减法的运算性质及变式应用
a-b-c=a-(b+c) a-(b-c)=a-b+c a+(b-c)=a+b-c
B.除法的运算性质(除数不为0)及变式运用
a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c
C.商不变的性质
(a×m)÷(b×m)=a÷b(m≠0,b≠0)
(a÷m)÷(b÷m)=a÷b(m≠0,b≠0)
D.积不变的规律
(a×m)×(b÷m)=a×b(m≠0)
5、估算
(1)估算的意义
(2)常用的估算策略:
a.凑整的方法;b.取一个中间数;c.根据特殊数的特点进行估算
6、简便运算
§6.1 提取公因式:这个方法实际上是运用了乘法分配律,将相同因数提取出来,考试中往往剩下的项相加减,会出现一个整数。注意相同因数的提取。
例如:0.92×1.41+0.92×8.59=0.92×(1.41+8.59)
§6.2有借有还法:用此方法时,需要注意观察,发现规律。
考试中,看到有类似998、999或者1.98等接近一个非常好计算的整数的时候,往往使用借来借去法。
9999+999+99+9
=9999+1+999+1+99+1+9+1—4
§6.3 拆分法:顾名思义,拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需要掌握一些“好朋友”,如:2和5,4和5,2和2.5,4和2.5,8和1.25等。分拆还要注意不要改变数的大小哦。
3.2×12.5×25=8×0.4×12.5×25=8×12.5×0.4×25
§6.4 加法结合律
注意对加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)的运用,通过改变加数的位置来获得更简便的运算。
5.76+13.67+4.24+6.33=(5.76+4.24)+(13.67+6.33)
§6.5 拆分法和乘法分配律结合:这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律,在考卷上看到99、101、9.8等接近一个整数的时候,要首先考虑拆分。
34×9.9=34×(10-0.1)
案例再现:57×101=?
§6.6利用基准数:在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字,当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。
2072+2052+2062+2042+2083=(2062x5)+10-10-20+21
§6.7利用公式法(必背)
(1)加法: 交换律,a+b=b+a,
结合律,(a+b)+c=a+(b+c).
(2)减法运算性质:
a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c,
a-b-c=a-c-b (a+b)-c=a-c+b=b-c+a.
(3)乘法(与加法类似):
交换律,a*b=b*a,
结合律,(a*b)*c=a*(b*c),
分配率,(a+b)xc=ac+bc, (a-b)*c=ac-bc.
(4)除法运算性质(与减法类似)
a÷(b*c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷bxc,
a÷b÷c=a÷c÷b (a+b)÷c=a÷c+b÷c,
(a-b)÷c=a÷c-b÷c.
前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。其规律是同级运算中,加号或乘号后面加上或去掉括号,后面数值的运算符号不变。
例1:283+52+117+148=(283+117)+(52+48)(运用加法交换律和结合律)。
减号或除号后面加上或去掉括号,后面数值的运算符号要改变。
例2:657-263-257=657-257-263=400-263
(运用减法性质,相当加法交换律。)
例3:195-(95+24)=195-95-24=100-24
(运用减法性质)
例4:150-(100-42)=150-100+42(同上)
例5:
(0.75+125)*8
=0.75*8+125*8=6+1000
.(运用乘法分配律))
例6:
(125-0.25)*8
=125*8-0.25*8
=1000-2
例7:
(1.125-0.75)÷0.25
=1.125÷0.25-0.75÷0.25
=4.5-3=1.5。
(运用除法性质)
例8:
(450+81)÷9
=450÷9+81÷9
=50+9=59.
(同上,相当乘法分配律)
例9:
375÷(125÷0.5)
=375÷125*0.5=3*0.5=1.5.
例10:
4.2÷(0。6*0.35)
=4.2÷0.6÷0.35
=7÷0.35=20.
例11:
12*125*0.25*8
=(125*8)*(12*0.25)
=1000*3=3000.
(运用乘法交换律和结合律)
例12:
(175+45+55+27)-75
=175-75+(45+55)+27
=100+100+27=227.
(运用加法性质和结合律)
例13:
(48*25*3)÷8
=48÷8*25*3
=6*25*3=450.
(运用除法性质,相当加法性质)
第三部分 方程
一、用字母表示数
1、用字母表示数
2、用字母表示数量关系
3、用字母表示运算定律和运算性质
4、用字母表示图形的计算公式
5、用字母表示数在书写上的规定
6、含字母的式子求值
例如:当a=6,b=10时,求2ab。
二、简易方程
1、方程:含有未知数的等式。
2、解方程
(1)使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
(2)求方程的解的过程,叫做解方程
(3)利用等式的性质解方程
A、方程两边同时加上或减去同一个数,左右两边仍然相等。
B、方程两边同时乘以同一个数,左右两边仍然相等。
C、方程两边同时除以同一个不等于0的数,左右两边仍然相等
(4)列方程解决问题的步骤:
(a)设未知数 (b)根据等量关系列方程
(c)解方程 (d)检验、写答
第四部分 单位换算
1、时间
§1.1 时间单位:世纪、年、月、日、时、分、秒;另有季度、旬、星期。
§1.2 年、月、日之间关系
一年有12个月,平年365天,闰年366天。
大月:1月、3月、5月、7月、八月、十月、十二月
小月:4月、6月、9月、11月
二月既不是大月,也不是小月,平年28天,闰年29天。
§1.3 平年、闰年的判断方法
根据公历年份判断,整百、整千的年份是400的倍数,其他年份是4的倍数的都是闰年,反之则为平年。
§1.4 日、时、分、秒等时间单位间的关系
1世纪=100年,1日=24小时,1小时=60分钟,1分钟=60秒,1小时=3600秒
一星期=7天 ,1年=12个月
§1.5 24时计时法
A.24时计时法的意义
B.普通计时法与24时计时法的换算
§1.6 时钟问题
一、什么是钟面行程问题?
钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针关系的问题,常见的有两种:⑴研究时针、分针成一定角度的问题,包括重合、成一条直线、成直角或成一定角度;⑵研究有关时间误差的问题.
在钟面上每针都沿顺时针方向转动,但因速度不同总是分针追赶时针,或是分针超越时针的局面,因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解.
二、钟面问题有哪几种类型?
第一类是追及问题(注意时针分针关系的时候往往有两种情况);第二类是相遇问题(时针分针永远不会是相遇的关系,但是当时针分针与某一刻度夹角相等时,可以求出路程和);第三种就是走不准问题,这一类问题中最关键的一点:找到表与现实时间的比例关系。
三、钟面问题有哪些关键问题?
①确定分针与时针的初始位置;
②确定分针与时针的路程差;
四、解答钟面问题有哪些基本方法?
①分格方法:
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格,每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格,即一周;而时针只走5分格,故分针每分钟走1分格,时针每分钟走1/12分格。
②度数方法:
从角度观点看,钟面圆周一周是360°,分针每分钟转360/60度,即6°,时针每分钟转360/12*60度,即1/2度。
§1.7求经过的时间
A.同一天,可化为24时计时法,再用减法计算;
B.涉及两天或两天以上,以晚上12时为界,分段计算。
2、人民币的单位及其进率
§2.1 人民币的单位:元、角、分
§2.2 1元=10角,1角=10分,1元=100分
3、质量
§3.1 常见的质量单位:吨、千克、克、毫克
§3.2 1吨=1000千克,1千克=1000克,1克=1000毫克
§3.3 了解:1千克=1公斤,1公斤=2市斤,1市斤=10两=500克
4、长度
§4.1 常见的长度单位: 千米(公里)km,米m,分米dm,厘米cm,毫米mm,了解:微米μm,纳米nm,皮米pm,英寸in、英尺,英里,海里,
光年约9.46×1012千米,
§4.2 1km=1000m,1m=10dm=100cm=1000mm,1dm=10cm=100mm
了解:1英寸=2.54厘米,1英尺=12英寸
5、面积和表面积
§5.1 概念:面积,就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。
§5.2 常用面积单位:平方千米、平方米、平方分米、平方厘米
了解:亩、公顷(平方百米hm²)
§5.3 单位间换算
1平方米=100平方分米,1平方分米=100平方厘米,1平方厘米=100平方毫米
1公顷=10000平方米=15亩,1亩=666.67平方米
6、体积和容积
§6.1 概念:
体积,就是物体所占空间的大小。
容积,箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积
§6.2 常用单位
体积单位:立方米(m3)、立方分米(dm3)、立方厘米(cm3)
容积单位:升(l)、毫升(ml)
§6.3 单位换算
体积单位:1立方米=1000立方分米、1立方分米=1000立方厘米
容积单位:1升=1000毫升、1升=1立方分米、1毫升=1立方厘米
7、名数之间的互化
§7.1名数的概念:富有数量单位名称的数叫做名数。数+单位名称=名数
例如:3米,8元,10张,100千克等.
§7.2单名数和复名数
A.只带有一个单位名称的叫做单名数。
单名数,如:5小时 , 3千克(只有一个单位的)
B.带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数
复名数,如:5小时6分 , 3千克500克(有两个单位的)
§7.3 高级单位的数如把米改成厘米,把公斤或千克改为克
低级单位的数如把厘米改成米,把克改为公斤或千克
第五部分 几何初步知识
Ⅰ、平面几何知识
一、直线、射线和线断
名称 | 图形 | 意义 | 相同点 | 不同点 |
直线 | 把线段的两端无限延长,就可以得到一条直线 | 都是直的 | 没有端点, 长度无限 | |
射线 | 把线段的一端无限延长,就可以得到一条射线。 | 只有一个端点, 长度无限 | ||
线段 | 直线上两点间的一段。 | 有两个端点, 长度有限 | ||
二、平行与垂直
1、平行:在同一平面,不相交的两条直线叫做平行线,也可以说两条直线平行。
2、垂直:在同一平面内,两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫做垂足。
3、点到直线的距离:从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度。
※重点提示:同一平面内的两条直线不是平行,就是相交,垂直是相交的特殊情况。
三、角
1、角的意义:从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。这两条射线叫做角的边,它们的公共端点叫做角的顶点。
2、角的分类
大于0° 小于90° | 等于90° | 大于90° 小于180° | =180° | =360° |
3、度量角的方法
4、画已知度数的角的方法
四、三角形
1、概念:三角形是由同一平面内三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形。
2、三角各部分名称
(1)边:围成三角形的三条线段,即三角形的三条边。
(2)顶点:每两条边的交点。
(3)内角:每两条边所围成的角。
3、三角形的分类
4、三角形的内角和为180°。
5、三角形的特殊性质:三角形具有稳定性。
6、三角形内最少有2个锐角,最多三个锐角。
7、在三角形中至少有一个角大于等于60度,也至少有一个角小于等于60度。
8 、三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
五、四边形
1、概念:同一平面内四条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形。
2、四边形的分类
3、几种四边形之间的关系
六、圆
1、基本知识点
(1)圆的初步认识
圆中心的一点叫圆心,用o表示。一端在圆心,另一端在圆上的线段叫半径,用r表示.两端都在圆上,并过圆心的线段叫直径,用d表示。
圆有无数条半径,无数条直径,所有的半径都相等,所有的直径也都相等 ,在同圆或等圆中,直径是半径的2倍,字母关系式为
圆规两脚尖所叉开的距离为圆的半径。在圆内最长的线段是直径。将一张圆形纸片至少对折2次,就能确定圆心的位置 。
圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。
(2)圆的周长(用C来表示)
圆一周的长度就是圆的周长。
任何圆的周长除以它的直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率, 所以任何一个圆的圆周率,都不随圆的大小而变化。用字母π表示,计算时通常取3.14,注意π是一个固定值,而3.14是一个近似值。
公式: 圆周率=圆的周长÷圆的直径=周长/直径
圆的周长公式:C=πd 或 C=2πr
一个圆的周长是直径的π倍,是半径的2π倍。
(3)圆的面积(用S来表示)
圆所占地方的大小就是圆的面积。
把一个圆,经若干等分后,再拼成一个近似的长方形:
长方形的长 = 圆周长的一半 = πr ,长方形的宽=半径= r 。
长方形的面积= πr2 即圆的面积
圆的面积公式: S=πr2
(4)半圆的周长和面积
将一个圆沿着任何一条直径剪开分成两个相同的半圆,其中的一个就叫做半圆。半圆是由一条半圆弧和一条直径围成。那么
半圆
半圆
(5)圆环的周长和面积
两个同心圆形成一个圆环。设小圆和大圆(或内圆和外圆)的半径和直径分别为r和R。(R﹥r)
圆环的周长:
圆环的面积:
(6)扇形: n°的扇形面积S扇形=nπr²/360 n°的弧长为:(2πr×n)/360=nπr/180
图(1)上A、B两点之间的部分叫做弧,读作“弧AB”。 图(2)一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
(7)圆的相关结论
一个圆的半径扩大若干倍,则它的直径也扩大相同的倍数,周长也扩大相同的倍数,而面积扩大倍数的平方倍。
在周长相等的长方形,正方形和圆中,( 圆 )的面积大一些。
需记忆数据:
七、平面图形的周长和面积
Ⅱ、立体几何知识
一、 长方体和正方体
(一)长方体和正方体的特征:
形体 | 相同点 | 不同点 | 关系 | ||||
面 | 棱 | 顶点 | 面的形状 | 面的大小 | 棱长 | ||
长方体 | 6 | 12 | 8 | 一般六个面都是长方形(也有两个相对的面是正方形)。 | 相对的面面积相等 | 平行的四条棱长度 相等 | 正方体是特殊的长方体 |
正方体 | 6 | 12 | 8 | 六个面都是正方形 | 六个面的面积相等 | 十二条棱长都相等 | |
长方体:①有6个面,相对的面完全相同;
长方体放桌面上,最多只能看到3个面。
②有12条棱,相对的棱长长度相等,而且相对的棱互相平行;
12条棱可以分为3组(分别为长、宽、高),每组的4条棱一样长;
长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=(长+宽+高)×4
③有8个顶点,每个顶点上的三条棱分别称为长方体的长、宽、高。
正方体:①有6个完全相同的面;正方体放桌面上,最多只能看到3个面。
②有12条长度相等的棱,每条棱的长度称为正方体的棱长; 正方体的总棱长=棱长×12。
③有8个顶点。
(二)长方体和正方体的表面积
定义:长方体或正方体6个面的总面积,叫做它的表面积。
1. 法一:(1)长方体的表面积(有六个面)=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
=(长×宽+长×高+宽×高)×2(因为长方体相对的面完全相同)
法二:前、后面:长×高×2=X
左、右面:长×高×2=Y
上、下面:长×宽×2=Z
则长方体的表面积(有六个面)= X + Y + Z
2. 正方体的表面积(有六个面)=棱长×棱长×6(因为正方体的六个面完全相同)
在解决一些问题时,要充分考虑实际情况,想清楚要算几个面。在解答时,可以把这几个面的面积分别算出来,再相加,也可以先算出六个面的面积总和,再减去不需要的那个(些)面。
一个抽屉有5个面,分别是前面、后面、左面、右面、底面。所以做这样一个抽屉所需要的木板,只要算出这5个面的面积就可以了。
通风管顾名思义是通风用的,没有上面和底面。所以只要算四个侧面就可以了。
(1)具有六个面的长方体或正方体物品:油箱、罐头盒、纸箱子等;
(2)具有五个面的长方体或正方体物品:水池、鱼缸等;
(3)具有四个面的长方体或正方体物品:水管、烟囱等。
(三)体积与容积单位及换算
1.体积:物体所占空间的大小叫做物体的体积。
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
食指的手指尖的体积大约是1立方厘米;粉笔盒的体积大约是1立方分米;装29英寸电视机的大纸箱的体积大约是1立方米。
2.容积:容器所能容纳物体的体积,叫做它们的容积。
计量容积一般用体积单位:立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积,如水、油等,常用升和毫升(即L和ml)。
1升=1000毫升
1毫升=1立方厘米
3.体积单位与容积单位:1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
(四)长方体与正方体体积(或容积)的计算
1. 长方体的体积=长×宽×高
正方体的体积=棱长×棱长×棱长(棱长的三次方)
长方体或正方体的体积=底面积×高
容积的计算方法和体积是相同的,只是测量时体积是测量物体外面的数据,而容积是测量物体内部的数据。不计物体的厚度,体积=容积。
1. 不规则物体(不溶于液体)的体积计算
放入物体(1)一个水杯,底面积为S,水的高度为h,则水的体积=Sh.当放入石头之后(石头不溶于水且全部浸没在水中),水的高度变为H,则水杯内总体积为=SH.(石头不溶于水,水上升的体积等于石头的体积。)
石头的体积=SH-Sh=S(H-h)。
拿出物体(2)一个水瓶里有水和铁块(铁块全部浸没在水中),底面积为S,水的高度为H,则水瓶内总体积=SH.当拿出铁块水中物体之后,水的高度变为h,则水杯里水的体积为=Sh.(铁块不溶于水,水下降的体积等于铁块的体积)
铁块的体积=SH-Sh=S(H-h)。
3.盐溶于水,则 盐的体积+水的体积﹥盐水的体积
二、圆柱和圆锥
圆柱
1、圆柱的形成:圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。
2、圆柱也可以由长方形卷曲而得到。(两种方式:1.以长方形的长为底面周长,宽为高;2.以长方形的宽为底面周长,长为高。其中,第一种方式得到的圆柱体体积较大。)
3、圆柱的高是两个底面之间的距离,一个圆柱有无数条高,他们的数值是相等的。
4、圆柱的切割:
a.横切:切面是圆,表面积增加2倍底面积,即S增=2π
b.竖切(过直径):切面是长方形(如果h=2R,切面为正方形),该长方形的长是圆柱的高,宽是圆柱的底面直径,表面积增加两个长方形的面积,即S增=4rh
5、圆柱的侧面展开图:
a 沿着高展开,展开图形是长方形,如果h=2rR,展开图形为正方形。
b. 不沿着高展开,展开图形是平行四边形或不规则图形。
c.无论如何展开都得不到梯形
6、圆柱的相关计算公式:
a.底面积:S底=π
b.底面周长:C=πd=2πr
c.侧面积:S侧=2πrh
d.表面积:S=2S底+S侧 =2π+2πrh
e. 体积 :V=πh
考试常见题型:
①已知圆柱的底面积和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积,底面周长
②已知圆柱的底面周长和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积,底面积
③已知圆柱的底面周长和体积,求圆柱的侧面积,表面积,高,底面积
④已知圆柱的底面面积和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积
⑤已知圆柱的侧面积和高,求圆柱的底面半径,表面积,体积,底面积
以上几种常见题型的解题方法,通常是求出圆柱的底面半径和高,再根据圆柱的相关计算公式进行计算。
圆锥
1、圆柱的形成:圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。圆锥也可以由扇形卷曲而得到。
2、圆锥的高是顶点与底面圆心之间的距离,与圆柱不同,圆锥只有一条高
3、圆柱的切割:
①横切:切面是圆
②竖切(过顶点和直径直径):切面是等腰三角形,该等腰三角形的高是圆锥的高,底是圆锥的底面直径,表面积增加两个等腰三角形的面积,即S增=2Rh
4、圆锥的相关计算公式
a.底面积:S底=π b.底面周长:C=πd=2πr
c 体积:V=1/3×π h
考试常见题型:
①已知圆锥的底面积和高,求体积,底面周长
②已知圆锥的底面周长和高,求圆锥的体积,底面积
③已知圆锥的底面周长和体积,求圆锥的高,底面积
以上几种常见题型的解题方法,通常是求出圆锥的底面半径和高,再根据圆柱的相关计算公式进行计算。
圆柱和圆锥的关系
1、圆柱与圆锥等底等高,圆柱的体积是圆锥的3倍。
2、圆柱与圆锥等底等体积,圆锥的高是圆柱的3倍。
3、圆柱与圆锥等高等体积,圆锥的底面积(注意:是底面积而不是底面半径)是圆柱的3倍。
4、圆柱与圆锥等底等高,体积相差2/3×Sh。
题型总结
①直接利用公式:分析清楚求的的是表面积,侧面积还是底面积以及体积。
半径变化导致底面周长,侧面积,底面积,体积的变化。
两个圆柱(或两个圆锥)半径,底面积,底面周长,侧面积,表面积,体 积之比。
② 圆柱与圆锥关系的转换:包括削成最大体积的问题(正方体,长方体与圆柱圆锥之间)
③ 横截面的问题
④ 浸水体积问题(水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积,等于盛水容积的底面积 乘以上升的高度)容积是圆柱或长方体,正方体。 等体积转换问题:一圆柱融化后做成圆锥,或圆柱中的溶液倒入圆锥,都是体积不变的问题,注意不要乘以1/3.
Ⅲ、图形的位置和变换
一、方向
二、位置
三、图形的变换:平移、旋转、对称、缩放
第六部分 统计与概率
一、统计
1、统计表
2、统计图:常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。
(1)条形统计图的特点:从图中能清楚地看出各种数量的多少,便于比较。
(2)折线统计图的特点:不但能看出各种数量的多少,而且还能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
(3)扇形统计图的特点:表示各部分和总数之间,以及部分与部分之间的关系。
3、统计量: 中位数、众数、平均数
名称 | 意义 | 计算方法 |
中位数 | 一组数中间的一个数或中间两个数的平均数。 | 中间的一个数或中间两个数的和÷2 |
众数 | 一组数中出现次数最多的数。 | 出现次数最多的数 |
平均数 | 反映一组数的总体水平的数据。 | 平均数=总数÷份数 |
二、可能性
1、确定事件和不确定事件
2、可能性
3、游戏规则的公平性
第七部分 实践与综合应用
一、探索规律
1、算式中的规律
例如:1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=?
2、数列中的规律
(1)等差数列:规律蕴含在相邻两数的差中。
例如:100,95,90,85,80,…
(2)等比数列:规律蕴含在相邻两数的倍数中。
例如:1,2,4,8,16,32,…
(3)前后几项为一组,以组为单位蕴含一定规律。
例如:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…
(4)数列中间隔的项之间存在一定规律
例如:12,15,17,30,22,45,27,60,…
(5)相邻两数的关系中隐含规律。
例如:18,20,24,30,38,48,60,…相邻两数依次相差2,4,6,8,10,12,…
(6)数列的各项分别是平方数或立方数。
例如:1,4,9,16,25,…
1,8,27,64,125,…
特别提示:在寻找规律时,要依据数列隐含规律的几种形式,从不同角度,认真观察、对比、尝试、计算,从而找出其中蕴含的规律。
3、数图形中的规律
(1)数线段的一般公式:(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2(n为线段的终端点数)
(2)数角、三角形的个数
(3)数长方形的个数:长边上的线段数×宽边上的线段数=长方形的个数
(4)数正方形的个数:n×n+(n-1)×(n-1)+…+2×2+1×1
4、方阵中的规律
(1)方阵问题每边数与四周数之间的数量关系:
四周数=(每边数-1)×4 每边数=四周数÷4+1
(2)实心方阵的数量关系:
总数=外层每边数×外层每边数
(3)空心方阵的数量关系:
总数=(外层每边数-层数)×层数÷4
5、周期中的规律
6、植树问题(间隔问题)
(1)两端不植树:棵树=段数-1(段数=全长÷间隔)
(2)两端都种树:棵树=段数+1
(3)在非封闭的线路上植树:棵树=段数
7、搭配问题(排列组合)
二、解应用题
1、平均数问题
总数量=平均数×总份数 总数量÷总份数=平均数 总数量÷平均数=总份数
2、行程问题
速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间
(1)相遇问题 速度和×相遇时间=相遇路程 相遇路程÷相遇时间=速度和 相遇路程÷速度和=相遇时间 | (2)追及问题 速度差×追及时间=追及路程 追及路程÷追及时间=速度差 追及路程÷速度差=追及时间 |
(3)过桥问题 (桥长+列车长)÷速度=过桥时间 (桥长+列车长)÷过桥时间=速度 速度×过桥时间=桥、车长度之和 | (4)流水行船问题 顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度-水流速度 静水速度(船速)=(顺水速度+逆水速度)÷2 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 顺水路程=(船速+水速)×顺水时间 逆水路程=(船速-水速)×逆水时间 |
(5)其他
火车+人:
(1)火车+迎面行走的人,相当于相遇问题:S=(火车速度+人的速度)×迎面错过的时间
(2)火车+同向行走的人,相当于追及问题:S=(火车速度-人的速度)×追及时间
火车+车
(1)错车问题,相当于相遇问题:S=(快车速度+慢车速度)×错车时间
(2)超车问题:相当于追及问题:S=(快车速度-慢车速度)×错车时间
火车+车
(1)错车问题,相当于相遇问题:S=(快车速度+慢车速度)×错车时间
(2)超车问题:相当于追及问题:S=(快车速度-慢车速度)×错车时间
3、分数、百分数问题
(1)求一个数是另一个数的几分之几(百分之几)
(2)求一个数比另一个数多(或少)几分之几(百分之几)
(3)求一个数的几分之几(百分之几)是多少
(4)已知一个数的几分之几(或百分之几)是多少,求这个数
(5)生活中的百分数问题:包括出勤率、发芽率、利息、折扣等
4、工程问题:把工作总量(一项工程)用“1”表示,工作效率用“1/时间”表示。
工作效率×时间=工作总量
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
5、比和比例问题
(1)按比例分配问题
A、解答按比例分配问题的关键:仔细审题、认真分析、找准分配的总量和分配的比。
B、解答按比例分配问题的步骤:
a、求出按比例分配的总数量;
b、找出分配的比,并求出各个部分占总数量的几分之几;
c、用总数量乘部分量占总数量的几分之几,得到各个部分量。
(2)比例尺的问题
A、求比例尺:图上距离÷实际距离=比例尺
B、求实际距离:图上距离÷比例尺=实际距离
C、求图上距离:图上距离=实际距离×比例尺
6、鸡兔同笼问题
(一)已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少(假设法):
假设全是鸡:口诀:假“鸡”得“兔”(第一次算得的数)
(总脚数-每只鸡的脚数×总头数)÷(每只兔的脚数-每只鸡的脚数)=兔数;
总头数-兔数=鸡数。
或者假设全是兔:口诀:假“兔”得“鸡”(第一次算得的数)
(每只兔脚数×总头数-总脚数)÷(每只兔脚数-每只鸡脚数)=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。
例如,“有鸡、兔共36只,它们共有脚100只,鸡、兔各是多少只?”
解一 (100-2×36)÷(4-2)=14(只)………兔;
36-14=22(只)……………………………鸡。
解二 (4×36-100)÷(4-2)=22(只)………鸡;
36-22=14(只)…………………………兔。答:略
(二)已知总头数和鸡 、兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用公式
※仍属 假“鸡”得“兔”类型
(每只鸡脚数×总头数-脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;
总头数-兔数=鸡数
※仍属假“兔”得“鸡”类型
或(每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只免的脚数)=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。(
例如:鸡和兔总共107只,鸡比兔多58只脚,鸡和兔各几只?
(1)假设全是鸡:(2×107-58)÷(2+4)=26(只兔);107-26=81(只鸡)
※↓因为鸡脚比兔脚多58,所以应减去58
(2)假设全是兔: (4×107+58)÷(2+4)=81(只鸡); 107-81=26(只兔)
※↓因兔脚比鸡脚少58,所以应加上58
(三)已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时,可用公式。
※仍属 假“鸡”得“兔”类型
(每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;
总头数-兔数=鸡数。
※仍属假“兔”得“鸡”类型
或(每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。
例如:鸡和兔总共107只,兔比鸡多56只脚,鸡和兔各几只?
(2×107+56)÷(2+4)=45(只兔);107-45=62(只鸡)
※↓因为鸡脚比兔脚少56,所以应加上56
或(4
※↓因为兔脚比鸡脚多56,所以应减去56
说明:每增加(或减少)一只鸡(或兔),它们脚数的差就是(2+4)
(四)鸡兔互换问题(已知总脚数及鸡兔互换后总脚数,求鸡兔各多少的问题),可用下面的公式:
〔(两次总脚数之和)÷(每只鸡、兔脚数和)+(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)〕÷2=鸡数;
〔(两次总脚数之和)÷(每只鸡、兔脚数之和)-(两次总脚数之差)÷(每只鸡、兔脚数之差)〕÷2=兔数。
例如,“有一些鸡和兔,共有脚44只,若将鸡数与兔数互换,则共有脚52只。鸡兔各是多少只?”
分析:由题意知,鸡比兔多
解 法一:(1)〔(52+44)÷(4+2)+(52-44)÷(4-2)〕÷2
=(16+4)
=20÷2=10(只鸡)
(2)〔(52+44)÷(4+2)-(52-44)÷(4-2)〕÷2
=(16-4)
=12÷2=6(只兔) (答略)
或:解:(52-44)
法二: 设鸡有x只,则兔有(x-4)只。 法三:解:设兔有x只,则鸡有(x+4)只。
(x-4)
4x-16+2x=44 2x+8+4x=44
6x=60 6x=36
X=10 x=6
10-4=6(只兔) 6+4=10(只鸡)
(五)得失问题(鸡兔问题的推广题)的解法,可以用下面的公式:
(1只合格品得分数×产品总数-实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数;
或者是总产品数-(每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。
例如,“灯泡厂生产灯泡的工人,按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分,每生产一个不合格品不仅不记分,还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡,共得3525分,问其中有多少个灯泡不合格?”
解一 (4×1000-3525)÷(4+15)
=475÷19=25(个)
解二 1000-(15×1000+3525)÷(4+15)
=1000-18525÷19
=1000-975=25(个)(答略)
(“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”,运到完好无损者每只给运费××元,破损者不仅不给运费,还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。)
¥29.8
¥9.9
¥59.8