四川省德阳市2017年高考一诊试卷

（理科数学）

一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（　　）

A．A∩B=∅ B．∁AB=B C．A⊆B D．BA

2．的展开式的所有二项式系数之和为128，则n为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

3．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p是（　　）

A．￢p：∀x∈R，x2+x+1＞0 B．￢p：∃x∈R，x2+x+1≠0

C．￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0 D．￢p：∃x∈R，x2+x+1＜0

4．三位男同学两位同学站成一排，女同学不站两端的排法总数为（　　）

A．6 B．36 C．48 D．120

5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A．1 B． C． D．

6．已知复数z=x+yi（x，y∈R）满足，则y≥x﹣1的概率为（　　）

A． B． C． D．

7．曲线在x=1处的切线的倾斜角为α，则cosα+sinα的值为（　　）

A． B． C． D．

8．过双曲线右焦点的直线l被圆x2+（y+2）2=9截得弦长最长时，则直线l的方程为（　　）

A．x﹣y+2=0 B．x+y﹣2=0 C．x﹣y﹣2=0 D．x+y+2=0

9．如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（　　）

A． B． C． D．3π

10．若，，，则（　　）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

11．函数f（x）=在区间（a+，﹣b2+4b）上满足f（﹣x）+f（x）=0，则g（﹣）的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣ D．

12．如图，由于函数f（x）=sin（π﹣ωx）sin（+φ）﹣sin（ωx+）sinφ（ω＞0）的图象部分数据已污损，现可以确认点C（，0），其中A点是图象在y轴左侧第一个与x轴的交点，B点是图象在y轴右侧第一个最高点，则f（x）在下列区间中是单调的（　　）

A．（0，） B．（，） C．（，2π） D．（，）

二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）

13．A公司有职工代表40人，B公司有职工代表60人，用分层抽样的方法在这两个公司的职工代表中选取10人，则A公司应该选取　　人．

14．中国古代数学名著《算法统宗》中，许多数学问题都是以诗歌的形式呈现，其中一首诗可改编如下：“甲乙丙丁戊，酒钱欠千文，甲兄告乙弟，三百我还与，转差十几文，各人出怎取？”意为：五兄弟，酒钱欠千文，甲还三百，甲乙丙丁戊还钱数依次成等差数列，在这个问题中丁该还　　文钱．

15．如图，已知正方形OABC边长为3，点M，N分别为线段BC，AB上一点，且2BM=MC，AN=NB，P为△BNM内一点（含边界），设（λ，μ为实数），则的最大值为　　．

16．若函数在某区间[a，b]上的值域为[ta，tb]，则t的取值范围　　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知函数．

（1）求f（x）单调递减区间；

（2）已知△ABC中，满足sin2B+sin2C＞sinBsinC+sin2A，求f（A）的取值范围．

18．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，满足，，．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．

19．为了解市民在购买食物时看营养说明与性别的关系，现在社会上随机询问了100名市民，得到如下2×2列联表：

（1）是否有95%的把握认为：“性别与读营养说明有关系”，并说明理由；

（2）把频率当概率，若从社会上的男性市民中随机抽取3位，记这3位中读营养说明的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

20．如图在棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，PD⊥面ABCD，PB=2，PB与面PCD成45°角，PB与面ABD成30°角．

（1）在PB上是否存在一点E，使PC⊥面ADE，若存在确定E点位置，若不存在，请说明理由；

（2）当E为PB中点时，求二面角P﹣AE﹣D的余弦值．

21．已知函数．

（1）若y=f（x）在（0，+∞）恒单调递减，求a的取值范围；

（2）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求a的取值范围并证明x1+x2＞2．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）

22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4．

（1）若l的参数方程中的时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；

（2）若点P（0，2），l和曲线C交于A，B两点，求．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知f（x）=|2x﹣1|+|5x﹣1|

（1）求f（x）＞x+1的解集；

（2）若m=2﹣n，对∀m，n∈（0，+∞），恒有成立，求实数x的范围．

四川省德阳市2017年高考一诊试卷（理科数学）

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（　　）

A．A∩B=∅ B．∁AB=B C．A⊆B D．BA

【考点】集合的包含关系判断及应用．

【分析】利用真子集的定义，即可得出结论．

【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3}，

∴B⊊A．

故选D．

2．的展开式的所有二项式系数之和为128，则n为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【考点】二项式定理的应用．

【分析】令x=1，可得2n=128，解得n．

【解答】解：令x=1，可得2n=128，解得n=7．

故选：C．

3．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p是（　　）

A．￢p：∀x∈R，x2+x+1＞0 B．￢p：∃x∈R，x2+x+1≠0

C．￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0 D．￢p：∃x∈R，x2+x+1＜0

【考点】命题的否定．

【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．

【解答】解：特称命题的否定是全称命题得￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，

故选：C

4．三位男同学两位同学站成一排，女同学不站两端的排法总数为（　　）

A．6 B．36 C．48 D．120

【考点】排列、组合的实际应用．

【分析】根据题意，假设5个人分别对应5个空位，女同学不站两端不站在两端，有3个位置可选；而其他3人对应其他3个位置，对其全排列，可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．

【解答】解：假设5个人分别对应5个空位，女同学不站两端不站在两端，有3个位置可选；

则其他3人对应其他3个位置，有A33=6种情况，

则不同排列方法种数6×6=36种．

故选B．

5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A．1 B． C． D．

【考点】程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．

【解答】解：由于=﹣，

则n=1，S=﹣1；n=2，S=﹣+﹣1=﹣1；

n=3，S=2﹣+﹣+﹣1=2﹣1；

…

n=2016，S=﹣1；

n=2017，S=﹣1.2017＞2016，此时不再循环，

则输出S=﹣1．

故选：D．

6．已知复数z=x+yi（x，y∈R）满足，则y≥x﹣1的概率为（　　）

A． B． C． D．

【考点】复数求模；几何概型．

【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．

【解答】解：复数z=x+yi（x，y∈R）满足，它的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．y≥x﹣1的图形是除去图形中阴影部分，如图：

复数z=x+yi（x，y∈R）满足，则y≥x﹣1的概率： =．

故选：C．

7．曲线在x=1处的切线的倾斜角为α，则cosα+sinα的值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；三角函数的化简求值；直线的倾斜角．

【分析】通过函数的导数求出切线的斜率，求出切线的倾斜角的正切值，结合同角基本关系式，解方程，即可得到所求和．

【解答】解：f（x）=lnx﹣，

∴函数f′（x）=+，

∵y=f（x）在x=1处的切线的倾斜角为α，

∴tanα=3，0＜α＜，

又sin2α+cos2α=1，

解得sinα=，cosα=，

∴cosα+sinα的值为=．

故选：A．

8．过双曲线右焦点的直线l被圆x2+（y+2）2=9截得弦长最长时，则直线l的方程为（　　）

A．x﹣y+2=0 B．x+y﹣2=0 C．x﹣y﹣2=0 D．x+y+2=0

【考点】圆与圆锥曲线的综合．

【分析】求出双曲线的右焦点和圆心坐标，利用需圆心到直线的距离最小，故直线过圆心时，弦最长为圆的直径，用两点式求直线方程．

【解答】解：双曲线的右焦点为（2，0），圆x2+（y+2）2=9，圆心为（0，﹣2），半径为3．

由弦长公式可知，要使截得弦最长，需圆心到直线的距离最小，故直线过圆心时，弦最长为圆的直径．

由两点式得所求直线的方程，即x﹣y﹣2=0，

故选：C．

9．如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（　　）

A． B． C． D．3π

【考点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积；球内接多面体．

【分析】依题意知，该几何体为从底面直角顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥，可将其补成一个边长为1的正方体，该几何体的外接球就是补成的正方体的外接球，从而可得答案．

【解答】解：∵该几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，

∴该几何体为从底面直角顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥，可将其补成一个边长为1的正方体，

则该几何体的外接球就是补成的正方体的外接球，

∵补成的正方体的对角线长l==为其外接球的直径d，

∴外接球的表面积S=πd2=3π，

即该几何体的外接球的表面积为3π，

故选：D．

10．若，，，则（　　）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

【考点】对数值大小的比较．

【分析】由，可得： =﹣logπb＞0，b∈（0，1）．进而再利用指数函数与对数函数的单调性即可判断出大小关系．

【解答】解：∵＞1，c==＜0．

由，可得： =﹣logπb＞0，∴b∈（0，1）．

∴a＞b＞c．

故选：A．

11．函数f（x）=在区间（a+，﹣b2+4b）上满足f（﹣x）+f（x）=0，则g（﹣）的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣ D．

【考点】函数的值．

【分析】由题意知f（x）是区间（a+，﹣b2+4b）上的奇函数，从而求出b=2，a=﹣2，由此能求出g（﹣）．

【解答】解：由题意知f（x）是区间（a+，﹣b2+4b）上的奇函数，

∴a+，

∴（b﹣2）2+（）2=0，

解得b=2，a=﹣2，

∴g（﹣）=﹣f（）=﹣2﹣=﹣2+2=2．

故选：B．

12．如图，由于函数f（x）=sin（π﹣ωx）sin（+φ）﹣sin（ωx+）sinφ（ω＞0）的图象部分数据已污损，现可以确认点C（，0），其中A点是图象在y轴左侧第一个与x轴的交点，B点是图象在y轴右侧第一个最高点，则f（x）在下列区间中是单调的（　　）

A．（0，） B．（，） C．（，2π） D．（，）

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式开始f（x）=sin（ωx+φ），由函数图象可得＜，可求﹣＞，可得f（x）在（，）单调递增，即可得解．

【解答】解：f（x）=sin（π﹣ωx）sin（+φ）﹣sin（ωx+）sinφ=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin（ωx+φ），

由题意，设函数f（x）的周期为T，可得：＜，

解得：T＜，可得：＜，

∵可得：﹣＞，

∴函数f（x）在（，）单调递增．

故选：D．

二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）

13．A公司有职工代表40人，B公司有职工代表60人，用分层抽样的方法在这两个公司的职工代表中选取10人，则A公司应该选取　4　人．

【考点】排列、组合的实际应用．

【分析】由题意抽样比例为=，即可求出A公司应该选取的人数．

【解答】解：由题意抽样比例为=，

则A公司应该选取40×=4，

故答案为4．

14．中国古代数学名著《算法统宗》中，许多数学问题都是以诗歌的形式呈现，其中一首诗可改编如下：“甲乙丙丁戊，酒钱欠千文，甲兄告乙弟，三百我还与，转差十几文，各人出怎取？”意为：五兄弟，酒钱欠千文，甲还三百，甲乙丙丁戊还钱数依次成等差数列，在这个问题中丁该还　150　文钱．

【考点】函数模型的选择与应用．

【分析】依题意甲、乙、丙、丁、戊还钱数组成以300为首项，d为公差的等差数列，利用条件求出d，则答案可求．

【解答】解：依题意甲、乙、丙、丁、戊还钱数组成以300为首项，d为公差的等差数列，

又300×5+=1000，∴d=50，

则丁还钱数300﹣150=150．

故答案为150．

15．如图，已知正方形OABC边长为3，点M，N分别为线段BC，AB上一点，且2BM=MC，AN=NB，P为△BNM内一点（含边界），设（λ，μ为实数），则的最大值为　　．

【考点】向量在几何中的应用．

【分析】如图，以OA为x轴，以OC为y轴，建立直角坐标系，表示各点的坐标，根据向量的坐标运算得到λ=﹣=（3x﹣y），构造目标函数，利用可行域即可求出最值．

【解答】解：如图，以OA为x轴，以OC为y轴，建立直角坐标系，

则O（0，0），A（3，0），C（0.3），B（3，3），

∵2BM=MC，AN=NB，

∴M（1，3），N（3，），

设P（x，y），

∵（λ，μ为实数），

∴=λ（3，0）+μ（0，3）=（3λ，3μ），

∴，即，

∴λ=﹣=（3x﹣y），

令z=3x﹣y，即y=3x﹣z，

由M（1，3），N（3，），得到直线MN的方程为3x+4x﹣15=0，

则x，y满足的区域为，如图所示，

当目标函数z=3x﹣y，过点N（3，）时，Z最大，

则zmax=3×3﹣=9﹣=，

∴（λ）max=×=

故答案为：

16．若函数在某区间[a，b]上的值域为[ta，tb]，则t的取值范围　（，）　．

【考点】函数单调性的性质．

【分析】由题意可得，即在（0，+∞）上有2个不等实数根，故函数y=的图象与函数y=tx的图象在（0，+∞）上有两个不同的交点．求得t的范围．

【解答】解：函数在（0，+∞）为增函数，某区间[a，b]上的值域为[ta，tb]，

可得，即，变形为在（0，+∞）上有2个不等实数根，

故函数y=的图象与函数y=（t﹣）x的图象在（0，+∞）上有两个不同的交点，

∴t﹣＞0，解得：t

令F（x）=﹣tx

则F′（x）=

令F′（x）=0，解得：x=

故当x=是函数y=的图象与函数y=（t﹣）x的图象切点．

故得，

解得：t=

故得t的取值范围是．

故答案为：（，）

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知函数．

（1）求f（x）单调递减区间；

（2）已知△ABC中，满足sin2B+sin2C＞sinBsinC+sin2A，求f（A）的取值范围．

【考点】正弦函数的单调性．

【分析】（1）化简函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调减区间；

（2）利用正弦定理求出A的取值范围，再求f（A）的取值范围即可．

【解答】解：（1）

=﹣+sin2x

=sin2x﹣cos2x

=sin（2x﹣），

令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，

解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；

∴f（x）的单调递减区间是；…

（2）△ABC中，满足sin2B+sin2C＞sinBsinC+sin2A，

∴b2+c2＞bc+a2，

即b2+c2﹣a2＞bc，

∴cosA=＞，

∴0＜A＜；

∴﹣＜2A﹣＜，

∴﹣＜sin（2A﹣）＜1，

∴f（A）的取值范围是（﹣，1）．…

18．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，满足，，．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．

【考点】数列与向量的综合．

【分析】（1）先根据向量的平行得到n（Sn+1﹣2Sn）=2Sn，继而得到=2•，问题得以证明，

（2）由（1）可得以，由错位相减法即可求出数列{Sn}的前n项和Tn．

【解答】证明：（1），，．

∴n（Sn+1﹣2Sn）=2Sn，

∴=2•，

∴a1=1，

∴=1，

∴数列是以1为首项，以2为公比的等比数列

（2）由（1）知，

∴，

∴Tn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1，

∴2Tn=1×21+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，

由错位相减得﹣Tn=1+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=2n﹣1﹣n•2n=（1﹣n）2n﹣1，

∴Tn=（n﹣1）2n+1

19．为了解市民在购买食物时看营养说明与性别的关系，现在社会上随机询问了100名市民，得到如下2×2列联表：

（1）是否有95%的把握认为：“性别与读营养说明有关系”，并说明理由；

（2）把频率当概率，若从社会上的男性市民中随机抽取3位，记这3位中读营养说明的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

【考点】独立性检验．

【分析】（1）计算K2＜3.841，可得结论．

（2）读营养说明的男性概率为，ξ～B（3，），由此求得X的分布列与数学期望．

【解答】解：（1）由于…

故没有95%的把握认为：“性别与读营养说明有关系”． …

（2）由题意可知：读营养说明的男性概率为，ξ～B（3，），

分布列为：

…

…

20．如图在棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，PD⊥面ABCD，PB=2，PB与面PCD成45°角，PB与面ABD成30°角．

（1）在PB上是否存在一点E，使PC⊥面ADE，若存在确定E点位置，若不存在，请说明理由；

（2）当E为PB中点时，求二面角P﹣AE﹣D的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）法一：要证明PC⊥面ADE，只需证明AD⊥PC，通过证明即可，然后推出存在点E为PC中点．

法二：建立如图所示的空间直角坐标系D﹣XYZ，设，通过=0得到，即存在点E为PC中点．

（2）由（1）知求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空间向量的数量积．求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．

【解答】（1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，

所以由，即存在点E为PC中点 …

法二：建立如图所示的空间直角坐标系D﹣XYZ，由题意知PD=CD=1，，设，∴，

由，得，

即存在点E为PC中点． …

（2）由（1）知D（0，0，0），，，P（0，0，1），，，

设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为

由的法向量为得，得

同理求得所以

故所求二面角P﹣AE﹣D的余弦值为．…

21．已知函数．

（1）若y=f（x）在（0，+∞）恒单调递减，求a的取值范围；

（2）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求a的取值范围并证明x1+x2＞2．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为，令，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；

（2）求出函数f（x）的导数，令F（x）=f'（x）=lnx﹣ax+1，求出函数F（x）的导数，通过讨论a的范围求出a的范围，证明即可．

【解答】解：（1）因为f'（x）=lnx﹣ax+1（x＞0），

所以由f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立得，

令，易知g（x）在（0，1）单调递增（1，+∞）单调递减，

所以a≥g（1）=1，

即得：a≥1…

（2）函数y=f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），

即y=f'（x）有两个不同的零点，且均为正，f'（x）=lnx﹣ax+1（x＞0），

令F（x）=f'（x）=lnx﹣ax+1，由可知

1）a≤0时，函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点．

2）a＞0时，y=F（x）在是增函数在是减函数，

此时为函数的极大值，也是最大值．

当时，最多有一个零点，所以才可能有两个零点，

得：0＜a＜1…

此时又因为，，，

令，φ（a）在（0，1）上单调递增，

所以φ（a）＜φ（1）=3﹣e2，即

综上，所以a的取值范围是（0，1）…

下面证明x1+x2＞2

由于y=F（x）在是增函数在是减函数，，可构造出

构造函数

则，故m（x）在区间上单调减．又由于，

则，即有m（x1）＞0在上恒成立，即有成立．

由于，，y=F（x）在是减函数，所以

所以成立 …

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）

22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4．

（1）若l的参数方程中的时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；

（2）若点P（0，2），l和曲线C交于A，B两点，求．

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的方法得到结论；

（2）利用参数的几何意义，求．

【解答】解：（1）l的参数方程中的时，M（﹣1，1），极坐标为，

曲线C的极坐标方程为ρ=4，曲线C的直角坐标方程：x2+y2=16…

（2）由得， …

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知f（x）=|2x﹣1|+|5x﹣1|

（1）求f（x）＞x+1的解集；

（2）若m=2﹣n，对∀m，n∈（0，+∞），恒有成立，求实数x的范围．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】（1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取交集即可；（2）根据基本不等式的性质求出x的范围即可．

【解答】解：（1），

故x＞时，7x﹣2＞x+1，解得：x＞，

≤x≤时，3x＞x+1，解得：x＞，

x＜时，2﹣7x＞x+1，解得：x＜，

故f（x）＞x+1的解集为…

（2）因为，

当且仅当时等于号成立．

由解得x的取值范围为…