聪明文档网
最新最全的文档下载
当前位置：
首页> 留数定理在欧拉积分计算中的应用-
留数定理在欧拉积分计算中的应用-
时间： 下载该word文档
● 姆 嗽 解题技巧与方法 。 一 ～ － ） Ｏｌ ５ 一 一 ● ● 留数震罐痣酸摈积分铺篥咿蜷庭 ◎章辉梁 （北京航空航天大学数学与系统科学学院 北京 １００１９１） 【摘要】留数定理在积分的计算中，一直起着十分重要 的作用．本文主要采用留数定理来计算欧拉积分，从而使欧 拉积分的计算更加快捷简便，起到化繁为简的作用． 【关键词】留数定理；留数；欧拉积分 一 由此可以推出：｝／ ｌＡ２１ｒｒ＇．假定：Ｒｅ ＝ 。，而当 ｒ一０时ｆ一０．由此可得当Ｒｅ ＞０时， 可以取— ０时的极 限． 、 预备知识 １．留数定理 为复平面上的有界区域，设函数在内除了有孤立的奇 点ｚ。， ，．．．， ｚ 外，在每一点上面都解析，并且在在￡上的每 一 根据定义可以得到：Ｆ（ｚ）＝（ｅ 一１）ｆ ｅ－ｔｔ ｄｔ＝ （ｅ 一１）Ｆ（ ）（当Ｒｅｚ≤０时， 该极限过程是不合法的）．这 点都解析上的每一点都解析，因此有ｆ厂（ ）ｄｚ＝ Ｒｅｓ（ｆ， ），这里的沿的积分是由区域Ｐ的正向取的． 样，可以得到函数：Ｆ（ ）＝ — Ｉ ｅ ｄ ． ２．欧拉积分的计算举例 ； 一ｌ ２ 一 ２．留数计算 首先考虑下一阶极点的情况；设 为函数ｈ（ｚ）的一个 阶的极点．即，在去掉中心点 的圆盘内（ ≠ ），ｈ（ ）＝ （ｚ），其 （ ）该圆盘内包括在 一 上解析， 它的泰勒 一 例１ 计算，＝ｆ ＋— ｄｘ， ， 其中０＜ ＜１ １ 解 考虑函数，（ ）＝÷一，该函数为多值函数，其支 点是０和 ，它由０沿着正实轴方向到 点割破的 平面上 的可以分成单值的分支，再选取由支割线上岸ＡＢ： ＝ （ｒ≤ ≤Ｒ）． Ｚ０ 展式为： （ ）＝∑ （ｚ一 。） ，且 。＝ （ｚ。）≠０．于是， 在函数ｈ（ ）的洛朗级数里， Ｚ — Ｚ０ 的系数为 （ ）．因此可 以得出Ｒｅｓ（ｆ， ）＝ｌｉａ（ｚ— 。）ｒ＿厂（：）． 现在采用其他的方法求留数．如果在上面所述的去掉 中心 。的圆盘中（ ≠ 。），，其中Ｐ（ ）和Ｑ（ｚ）在这个圆盘 里面包括在 ＝ 。上解析，Ｐ（ 。）≠０， 。为函数Ｑ（ｚ）的一阶 零点，且Ｑ（ ）在该圆盘里面没有其他的零点，那么ｚ 是函 数ｈ（Ｚ）的一阶的极点，由于Ｒｅｓ（ｈ， ）＝ｌｉｍ（Ｚ一 ） （ｚ）＝ ．． 经过圆弧Ｃ ：Ｚ＝Ｒｅ （Ｏ≤０≤２１ Ｔ），沿着支割线下岸 Ａ Ｂ ： ＝ ｅ 的反方向，再经过圆弧Ｃ ：Ｚ：ｒｅ （０≤０≤ ２７ ｒ）的反向回到Ａ的积分路径Ｃ围成的区域内只有一个一 Ｒｅｓ阶极点 一１，ｆ（ ）＝一ｅ…・ 一 。 由留数定理得 ｚ）出 』（ Ｚａ－１）出＝－２￣ｉｅＭＴ， 即 ＋ 一ＪＩ 出一－ｆ是出＝一ｚ … （１）沿ＡＢ上：ＡＢ： ＝ （ｒ≤ ≤Ｒ），Ｊ，（ ）出＝ Ａ 口 ∞ ｌ ｉｍ … ， 、 Ｐ（ ）Ｐ（ 。） 。 【ｚ一。 丽‘ 接着继续考虑高阶极点的情况，设 为函数ｈ（ ）的一 个ｋ阶的极点（ ＞１）．即，在去掉的中心 的圆盘上（ ≠ ）， ｈ（ｚ）＝＿ Ｌ 一Ｚ０， ， （ ）在该圆盘上面包括在 ≠ 上 解析，且 （ ）≠０．在该圆盘上，所以有Ｒｅｓ（ｆ， ）＝ａ：．．，因 此可以把问题化成为求ｐ（ ）的泰勒展式系数．否则还需要 用另一种方法求留数．在此也可用公式计算Ｒｅｓ（ｈ，Ｚ ）： （ １ ．ｄ ［（ 一 ） ｈ（ ）］ ） — ＿ … 、 ， －ｆ（篙）ａ —Ｊ．（篙） 沿ｃ ＝ 。≤ ≤２ Ｉ ｌ≤ Ｒ—｝。。０． 一 （３）又ｌｉａｒ ｆ厂ｌ（Ｚ）ｄｚ＝０． Ｒ ＋∞Ｊ （４） 沿 Ａ Ｂ 上： ＝ ｅ （ｒ ≤ ≤ Ｒ）， 二、计算欧拉积分 １．欧拉积分的转化 （ ）＝（ ）ｅ２…， 函数由积分（欧拉）厂（ ）＝Ｊ ｅ ｔ 。ｄｔ来定义，这里积分 茜 沿着正半轴来取．该积分对于在右半平面Ｒｅｚ＞０上的所有 的点ｚ都是绝对收敛，又ｌ ｅ ｔ Ｉ＝ｅ－ｔｔ ，且为一个解析的 函数，再进行积分路线的形变． ｆ． ｆ（ｚ －ｆ（ ）ａ ｅ２ ．ｆ （５）沿Ｃ， ＝ｒｅ （０≤ ≤２ｒｒ），Ｉ（ 一０） ｌ≤ 二＿一＿