2018年山东省滨州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】A

【解析】分析：直接根据勾股定理求解即可．

详解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，

∴弦为

故选A．

点睛：本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

2. 若数轴上点A、B分别表示数2、﹣2，则A、B两点之间的距离可表示为（　　）

A. 2+（﹣2） B. 2﹣（﹣2） C. （﹣2）+2 D. （﹣2）﹣2

【答案】B

【解析】分析：根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可．

详解：A、B两点之间的距离可表示为：2﹣（﹣2）．

故选B．

点睛：本题考查的是数轴上两点间的距离、数轴等知识，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．

3. 如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（　　）

A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠1+∠3=180° D. ∠3+∠4=180°

【答案】D

详解：如图，∵AB∥CD，

∴∠3+∠5=180°，

又∵∠5=∠4，

∴∠3+∠4=180°，

故选D．

点睛：本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．

4. 下列运算：①a2•a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】分析：根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．

详解：①a2•a3=a5，故原题计算错误；

②（a3）2=a6，故原题计算正确；

③a5÷a5=1，故原题计算错误；

④（ab）3=a3b3，故原题计算正确；

正确的共2个，

故选B．

点睛：此题主要考查了同底数幂的除法、乘法、幂的乘方、积的乘方，关键是熟练掌握各计算法则．

5. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（　　）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】分析：先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．

详解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，

解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1，

将两不等式解集表示在数轴上如下：

故选B．

点睛：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．

6. 在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（　　）

A. （5，1） B. （4，3） C. （3，4） D. （1，5）

【答案】C

【解析】分析：利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出C点坐标．

详解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，

∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，

又∵A（6，8），

∴端点C的坐标为（3，4）．

故选C．

点睛：此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．

7. 下列命题，其中是真命题的为（　　）

A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B. 对角线互相垂直的四边形是菱形

C. 对角线相等的四边形是矩形

D. 一组邻边相等的矩形是正方形

【答案】D

【解析】试题分析：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故A选项错误；

B、对角线互相垂直的四边形也可能是一般四边形，故B选项错误；

C、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故C选项错误．

D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确．

故选：D．

考点： 命题与定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．

8. 已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（　　）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】分析：根据圆周角定理和弧长公式解答即可．

详解：如图：连接AO，CO，

∵∠ABC=25°，

∴∠AOC=50°，

∴劣弧的长=，

故选C．

点睛：此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答．

9. 如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为（　　）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】A

【解析】分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．

详解：根据题意，得：=2x

解得：x=3，

则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，

所以这组数据的方差为 [（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4，

故选A．

点睛：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．

10. 如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则

①二次函数的最大值为a+b+c；

②a﹣b+c＜0；

③b2﹣4ac＜0；

④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】分析：直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．

详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，

∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；

②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；

③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；

④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），

∴A（3，0），

故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．

故选B．

点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．

11. 如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）

A. B. C. 6 D. 3

【答案】D

【解析】分析：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．

详解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，

则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，

∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，

∴此时△PMN周长最小，

作OH⊥CD于H，则CH=DH，

∵∠OCH=30°，

∴OH=OC=，

CH=OH=,

∴CD=2CH=3．

故选D．

点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．

12. 如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为（　　）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】分析：根据定义可将函数进行化简．

详解：当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，y=x+1

当0≤x＜1时，[x]=0，y=x

当1≤x＜2时，[x]=1，y=x﹣1

……

故选A．

点睛：本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解[x]的定义，然后对函数进行化简，本题属于中等题型．

二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）

13. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=_______．

【答案】100°

【解析】分析：直接利用三角形内角和定理进而得出答案．

详解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，

∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．

故答案为：100°

点睛：此题主要考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题关键．

14. 若分式的值为0，则x的值为______．

【答案】-3

【解析】分析：分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．

详解：因为分式的值为0，所以=0，

化简得x2﹣9=0，即x2=9．

解得x=±3

因为x﹣3≠0，即x≠3

所以x=﹣3．

故答案为﹣3．

点睛：本题主要考查分式的值为0的条件，注意分母不为0．

15. 在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______．

【答案】

【解析】分析：直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．

详解：如图所示：

∵∠C=90°，tanA=，

∴设BC=x，则AC=2x，故AB=x，

则sinB=.

故答案为： ．

点睛：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．

16. 若从﹣1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M的横、纵坐标，则点M在第二象限的概率是____．

【答案】

【解析】分析：列表得出所有等可能结果，从中找到点M在第二象限的结果数，再根据概率公式计算可得．

详解：列表如下：

由表可知，共有6种等可能结果，其中点M在第二象限的有2种结果，

所以点M在第二象限的概率是..

故答案为：．

点睛：本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数n，再找出某事件发生的结果数m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率=..

【答案】

【解析】分析：利用关于x、y的二元一次方程组，的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解，利用整体的思想整理找到两个方程组的联系求解的方法更好．

详解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，

∴将解代入方程组

可得m=﹣1，n=2

∴关于a、b的二元一次方程组整理为：

解得：

点睛：本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．

18. 若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为________．

【答案】y2＜y1＜y3

【解析】分析：设t=k2﹣2k+3，配方后可得出t＞0，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．

详解：设t=k2﹣2k+3，

∵k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，

∴t＞0．

∵点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y=（k为常数）的图象上，

∴y1=﹣，y2=﹣t，y3=t，

又∵﹣t＜﹣＜t，

∴y2＜y1＜y3．

故答案为：y2＜y1＜y3．

点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．

19. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为_____．

【答案】

【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．

详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，

∴NF=，AN=4﹣x，

∵AB=2，

∴AM=BM=1，

∵AE=，AB=2，

∴BE=1，

∴ME=，

∵∠EAF=45°，

∴∠MAE+∠NAF=45°，

∵∠MAE+∠AEM=45°，

∴∠MEA=∠NAF，

∴△AME∽△FNA，

∴，

∴，

解得：x=

∴AF=

故答案为：．

点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，

20. 观察下列各式：

，

，

，

……

请利用你所发现的规律，

计算+++…+，其结果为_______．

【答案】

【解析】分析：直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．

详解：由题意可得：

+++…+

=+1++1++…+1+

=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）

=9+

=9．

故答案为：9．

点睛：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．

三、解答题（本大题共6小题，满分74分）

21. 先化简，再求值：（xy2+x2y）×，其中x=π0﹣（）﹣1，y=2sin45°﹣．

【答案】

【解析】分析：原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．

详解：原式=xy（x+y）•=x﹣y，

当x=1﹣2=﹣1，y=﹣2=﹣时，

原式=﹣1．

点睛：此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：

（1）直线DC是⊙O的切线；

（2）AC2=2AD•AO．

【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.

【解析】分析：（1）连接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知OC∥AD，根据AD⊥DC即可得证；

（2）连接BC，证△DAC∽△CAB即可得．

详解：（1）如图，连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠DAB，

∴∠OAC=∠DAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

又∵AD⊥CD，

∴OC⊥DC，

∴DC是⊙O的切线；

（2）连接BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴AB=2AO，∠ACB=90°，

∵AD⊥DC，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

又∵∠DAC=∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴，即AC2=AB•AD，

∵AB=2AO，

∴AC2=2AD•AO．

点睛：本题主要考查圆的切线，解题的关键是掌握切线的判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质．

23. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：

（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？

（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

【答案】（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；（3）在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．

【解析】分析：（1）根据题目中的函数解析式，令y=15即可解答本题；

（2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；

（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．

详解：（1）当y=15时，

15=﹣5x2+20x，

解得，x1=1，x2=3，

答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；

（2）当y=0时，

0═﹣5x2+20x，

解得，x3=0，x2=4，

∵4﹣0=4，

∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；

（3）y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20，

∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，

答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．

点睛：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

24. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（1，）．

（1）求图象过点B的反比例函数的解析式；

（2）求图象过点A，B的一次函数的解析式；

（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）x＜﹣1或0＜x＜3．

【解析】分析：（1）由C的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；

（2）由菱形的边长确定出A坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式即可；

（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，由图象确定出满足题意x的范围即可．

详解：（1）由C的坐标为（1，），得到OC=2，

∵菱形OABC，

∴BC=OC=OA=2，BC∥x轴，

∴B（3，），

设反比例函数解析式为y=，

把B坐标代入得：k=3，

则反比例解析式为y=；

（2）设直线AB解析式为y=mx+n，

把A（2，0），B（3，）代入得：，

解得：

则直线AB解析式为y=﹣2；

（3）联立得：，

解得：或，即一次函数与反比例函数交点坐标为（3，）或（﹣1，﹣3），

则当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．

点睛：此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

25. 已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．

（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；

（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）BE=AF，证明见解析.

【解析】分析：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF；

（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF．

详（1）证明：连接AD，如图①所示．

∵∠A=90°，AB=AC，

∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．

∵点D为BC的中点，

∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．

∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，

∴∠BDE=∠ADF．

在△BDE和△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE=AF；

（2）BE=AF，证明如下：

连接AD，如图②所示．

∵∠ABD=∠BAD=45°，

∴∠EBD=∠FAD=135°．

∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，

∴∠EDB=∠FDA．

在△EDB和△FDA中，

，

∴△EDB≌△FDA（ASA），

∴BE=AF．

点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：（1）根据全等三角形的判定定理ASA证出△BDE≌△ADF；（2）根据全等三角形的判定定理ASA证出△EDB≌△FDA．

26. 如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．

（1）当x=2时，求⊙P的半径；

（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；

（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到　 　的距离等于到　 　的距离的所有点的集合．

（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．

【答案】（1）；（2）图象为开口向上的抛物线，见解析；（3）点A；x轴；（4）

【解析】分析：（1）由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；

（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可；

（3）类比圆的定义描述此函数定义即可；

（4）画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可．

详解：（1）由x=2，得到P（2，y），

连接AP，PB，

∵圆P与x轴相切，

∴PB⊥x轴，即PB=y，

由AP=PB，得到=y，

解得：y=，

则圆P的半径为；

（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，

整理得：y=（x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线，

画出函数图象，如图②所示；

（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合；

故答案为：点A；x轴；

（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，

设PE=a，则有EF=a+1，ED=，

∴D坐标为（1+，a+1），

代入抛物线解析式得：a+1=（1﹣a2）+1，

解得：a=﹣2+或a=﹣2﹣（舍去），即PE=﹣2+，

在Rt△PED中，PE=﹣2，PD=1，

则cos∠APD==﹣2．

点睛：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：两点间的距离公式，二次函数的图象与性质，圆的性质，勾股定理，弄清题意是解本题的关键．