授课对象

初一3-5人班

授课教师

杨老师

授课时间

授课题目

有理数的除法

课 型

预习课

使用教具

讲义、练习题

教学目标

1．理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算；

2．培养观察、比较、分析、归纳、概括能力,以及探索精神；

3．分类讨论思想．

教学重点和难点

重点：有理数乘方的运算和正确运用科学记数法表示较大的数．

难点：有理数乘方运算的符号法则和正确掌握10的幂指数特征．

教学流程及授课详案

有理数的乘方

知识回顾：

（1） 叙述有理数的乘法法则；

（2） 叙述有理数的除法法则.

学习过程：

情景导入 棋盘上的学问：

古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“就在这个棋盘上放一些米吧，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒米，16粒米，32粒米……一直到第64格．”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑．大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米！”

你认为国王的国库里有这么多米吗？

（一）、从学生原有认知结构提出问题

在小学我们我们已经学习过，记作，读作的平方（或的二次方）；记作，读作的立方（或的三次方）；那么，（n是正整数）呢？

在小学对于字母我们只能取正数，进入中学后，我们学习了有理数，那么还可以取哪些数呢？请举例说明。

（二）、讲授新课

重点1。有理数乘方

1． 求n个相同因数的积的运算叫做乘方。

2． 乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。

一般地，在中，取任意有理数，n取正整数。应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。当看作的n次方的结果时，也可以读作的n次幂。

3． 我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，就是表示n个相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算。

例1 计算：（1）； （2）； (3)； (4)；

☆注：2就是，指数1通常不写。

观察、比较、分析这几组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系？

（1） 横向观察

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶数幂是正数；零的任何次幂都是零。

（2） 纵向观察

互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。

（3） 任何一个数的偶次幂是什么数？

任何一个数的偶次幂都是非负数。

你能把上述的结论用数学符号语言表示吗？

当时，（n是正整数）；

当时，（n是正整数）.

（以上为有理数乘方运算的符号法则）

（n是正整数）；

（n是正整数）

（a是有理数，n是正整数）

例2 计算

（1）； （2）； （3）；

（4）（n为正整数）。

例3 计算：

（1）， ，

（2）， ， ；

（3）， ， ， ；

（4）， ， ；

引导学生纵向观察第（1）题和第（2）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，的底数是，表示n个相乘，是的相反数，这是和的区别。

引导学生横向观察第（3）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，写分数的乘方时要加括号，不然就是另一种计算了。

课堂练习

计算：

（1）， , ；

(2), ， ；

(3) (n为偶数) ， ；

（4）， ；

例3．已知：，，，…，根据前面的各式规律，猜测…的结果（其中n为自然数）。

随堂练习

1.当时，求下列各代数式的值：

（1）； （2）；

（3）； （4）。

2．当a是负数时，判断下列各式是否成立。

（1）； （2）；

重点2.科学记数法

例 计算

， ， ，

左边用10的n次幂表示简洁明了，且不易出错，右边有许多零，很容易发生写错的情况，读的时候也是左易右难，这就是我们想到用10的n次幂表示较大的数，比如一亿，一百亿等等。但是像太阳的半径大约是696 000千米，光速大约是300 000 000米每秒，中国人口大约13亿等等，我们如何能简单明了地表示它们呢？这就是本节课我们要学习的内容科学记数法。

1.的特征

观察下题。

提问：中的n表示n个10相乘，它与运算结果中0的个数有什么关系？与运算结果的数位有什么关系？

练习（1）把下面各数写成10的幂的形式。

1000， 100000000， 100000000000。

练习（2）指出下列各数是几位数。

， ， ， 。

2．科学记数法

（1）任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幂的形式。如：

，，。

第一个等号是我们在小学里就学习过的关于小数点移动的知识，我们现在要做的就是把100,1000，变成10的n次幂的形式就行了。

（2）科学记数法定义

根据上面的例子，我们把大于10的数记成的形式，其中a是正数数位只有一位的数，你是自然数，这种计数法叫做科学记数法。现在我们只学习绝对值大于10的数的科学记数法，以后我们还要学习其他一些数的科学记数法。说它科学，因为它简单明了，易读易记易判断大小，在自然科学中经常运用。

用字母N表示数，则，这就是科学记数法。

例1． 用科学记数法表示下列各数：

（1）1 000 000； （2）57 000 000； （3）696 000；

（4）300 000 000； （5）-78 000； （6）12 000 000 000。

解：

（1）1 000 000=；

（2）57 000 000=；

（3）696 000=；

（4）300 000 000=；

（5）-78 000=；

（6）12 000 000 000=。

如果每次都按解的步骤去做又显得有点繁，那么利用n与数位的关系去做，试一试：

（1）1 000 000是7位数，所以n=6，即。

（2）57 000 000是8位数，n=7，所以57 000 000=。

（3）696 000是6位数，n=5，所以696 000=。

（4）300 000 000是9位数，n=8，所以300 000 000=。

随堂练习

1． 用科学记数法记出下列各数：

8000000； 5600000； 740000000

2． 用科学记数法记出下列各数：

（1）7 000 000； （2）92 000； （3）63 000 000； （4）304 000；

（5）8 700 000； （6）500 900 000；（7）374.2 （8）7000.5

例2．下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数?

(1); (2); (3); (4);

(5) (6); (7); (8).

3.巧算：首同末和10

（1）已知：可写成

可写成

可写成

则可写成 ，可写成 。

（2）请归纳猜想得： 。

（3）根据上面的归纳猜想，计算出 。

4．给出依次排列的一列数：-1，2，-4,8，-16，32……

（1）写出32后面的三项数 。

（2）按照此规律，第n个数为 。

例. 比较和的大小.

为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和大小（n为正整数），然后我们从分析n=1,2,3…，这些简单情形入手，从中发现规律。如（1） ； ； ； ； 。

猜想（2）和的大小关系是 。

结论（3） 。

小结

让学生回忆，做出小结：

1． 乘方的有关概念、乘方的符号法则和括号的作用。

2． 强调什么是科学记数法，以及为什么学习科学记数法。

3． 突出科学记数法中字母a的规定及10的幂指数与原整数位数的关系。

课后作业

A. 基础演练

1．填空

（1）平方得的数是 ，立方得的数是 ；（2） ， ；

（3）的底数是 ，它表示 ；（4） ， ， ；

（5）已知=0，则 ；（6）若，则 0；

（7）若，则a= ；（8）在中，最大的数是 ；

（9）瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按照这种规律写出第七个数据是 ；

（10）…那么的个位数字是 。

2．选择题

（1）已知，则m+n的值为（ ）

A.-1 B.-3 C.3 D.不确定

（2）一个数的平方是4，这个数的立方是（ ）

A．8 B.-8 C.8或-8 D.4或-4

(3)若a,b为有理数,下列判断:①总是正数;②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是0，其中错误的有（ ）

A．1 B.2 C.3 D.4

3．计算:

(1); (2); (3);

(4); (5); (6);

(7); (8).

B. 综合测试

1.用科学记数法记出下列各数:

(1)地球离太阳约有一亿五千万千米;

(2)地球上煤的储量估计为15万亿吨以上;

(3)月球的质量约为7 340 000 000 000 000万吨;

(4)银河系中的恒星数约为160 000 000 000个;

(5)地球绕太阳公转的轨道半径约是149 000 000千米;

(6)的空气中约有25 000 000 000 000 000 000个分子.

2.一天有秒,一年如果按365天计算,一年有多少秒?(用科学记数法表示)

3．地球绕太阳转动(即地球的公转)每小时约通过千米,声音在空气中传播,每小时约通过千米.地球公转的速度与声音的速度哪个大?

4.10m长的绳子,第一次剪去一半,第二次减去剩下的一半,如此剪下去,第5次后剩下的绳子有多长?

5.已知:a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值等于2，试求的值.

C. 探究升级

1.回答下列问题:

(1)看一看,下面两组算式:与,与,每组两个算式的计算结果是否相等?

(2)想一想,等于什么?

(3)猜一猜,当n为正整数时,等于什么?试证明结论的正确性.

2．你喜欢吃拉面吗?拉面馆的师傅用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,在捏合,在拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条,这样捏合到第 次后可拉出128根面条.

3． 平方得9的数有几个?是什么?有没有平方得-9的有理数?为什么?

4． 若,求的值.