2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）解析

一、填空题

（1）曲线的水平渐近线方程为

（2）设函数在x=0处连续，则a=

（3）广义积分

（4）微分方程的通解是

（5）设函数确定，则

当x=0时，y=1，

又把方程每一项对x求导，

(6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= .

-1 2

解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得

|B||A-E|=|2E|=4,

计算出|A-E|=2,因此|B|=2.

二、选择题

（7）设函数具有二阶导数，且为自变量x在点x0处的增量， ，则[A]

（A） （B）

（C） （D）

由严格单调增加

是凹的

即知

（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则

是[B]

（A）连续的奇函数 （B）连续的偶函数

（C）在x=0间断的奇函数 （D）在x=0间断的偶函数

（9）设函数则g(1)等于[C]

（A） （B）

（C） （D）

∵， g(1)=

（10）函数满足的一个微分方程是[D]

（A） （B）

（C） （D）

将函数代入答案中验证即可.

（11）设为连续函数，则等于[C]

（A） （B）

（C） （D）

（12）设均为可微函数，且在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是[D]

（A）若

（B）若

（C）若

（D）若

今代入(1) 得

今故选[D]

(13)设1,2,…,s 都是n维向量，A是mn矩阵，则（ ）成立.

(A) 若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性相关.

(B) 若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性无关.

(C) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性相关.

(D) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.

解: (A)

本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.

若1,2,…,s线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得

c11+c22+…+css=0,

用A左乘等式两边,得

c1A1+c2A2+…+csAs=0,

于是A1,A2,…,As线性相关.

如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:

1.1,2,…,s r(1,2,…,s)=s.

2. r(AB) r(B).

矩阵(A1,A2,…,As)=A(1,2,…,s),因此

r(A1,A2,…,As) r(1,2,…,s).

由此马上可判断答案应该为(A).

(14)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0

P= 0 1 0 ,则

0 0 1

(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1.

(C) C=PTAP. (D) C=PAPT.

解: (B)

用初等矩阵在乘法中的作用得出

B=PA ,

1 -1 0

C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1.

0 0 1

三、解答题

（15）试确定A，B，C的常数值，使其中是当.

解：泰勒公式代入已知等式得

整理得

比较两边同次幂函数得

B+1=A ①

C+B+=0 ②

③

式②-③得

代入①得

代入②得

（16）求.

解：原式=

.

（17）设区域， 计算二重积分.

解：用极坐标系

.

（18）设数列满足，

证明：（1）存在，并求极限；

（2）计算.

证：（1）

单调减少有下界

根据准则1，存在

在两边取极限得

因此

（2）原式

离散型不能直接用洛必达法则

先考虑

用洛必达法则

.

（19）证明：当时，.

证：令

只需证明严格单调增加

严格单调减少

又

故单调增加（严格）

得证

（20）设函数内具有二阶导数，且满足等式.

（I）验证 ；

（II）若求函数.

证：（I）

（II）令

（21）已知曲线L的方程

（I）讨论L的凹凸性；

（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程；

（III）求此切线与L（对应部分）及x轴所围的平面图形的面积.

解：（I）

（II）切线方程为，设，，

则

得

点为（2，3），切线方程为

（III）设L的方程

则

由于（2，3）在L上，由

(22)已知非齐次线性方程组

x1+x2+x3+x4=-1,

4x1+3x2+5x3-x4=-1，

ax1+x2+3x3+bx4=1

有3个线性无关的解.

证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.

求a,b的值和方程组的通解.

解: 设1,2,3是方程组的3个线性无关的解,则2-1,3-1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)2,从而r(A)2.

又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)2.

两个不等式说明r(A)=2.

对方程组的增广矩阵作初等行变换:

1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1

(A|)= 4 3 5 -1 -1 0 –1 1 –5 3 ,

a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a

由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:

1 0 2 -4 2

0 1 -1 5 -3 .

0 0 0 0 0

得同解方程组

x1=2-2x3+4x4，

x2=-3+x3-5x4，

求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.

(23) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.

求A的特征值和特征向量.

求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得 Q TAQ=.

解: 条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又1,2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于1,2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.

属于3的特征向量:c0, c0.

属于0的特征向量:c11+c22, c1,c2不都为0.

将0单位化,得0=(, ,)T.

对1,2作施密特正交化,的1=(0,-,)T,2=(-, ,)T.

作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵,并且

3 0 0

Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 .

0 0 0