{来源}2019年德州中考数学

{适用范围:3． 九年级}

{标题}2019年德州市中考数学试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，合计48分．

{题目}1．（2019年德州）－的倒数是（ ）

A．－2 B． C．1 D．1

{答案}A

{解析}本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，由于－×(－2)＝1，因此本题选A．

{分值}4

{章节:[1-1-4-2]有理数的除法}

{考点:倒数}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}2．（2019年德州）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

{答案}D

{解析}本题考查了轴对称和中心对称图形的识别，A．轴对称图形；B．中心对称图形；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，因此本题选D．

{分值}4

{考点:轴对称图形}

{考点:中心对称图形}

{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}3．（2019年德州）据国家统计局统计，我国 2018 年国民生产总值（GDP）为 900300 亿元．用科学记数法表示900300亿是

A．9.003 1012 B．90.03 1012 C．0.9003 1014 D．9.003 1013

{答案}D

{解析}本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此先将“900300亿”改写成90 030 000 000 000，再根据科学记数法的要求表示为9.003 1013．

{分值}4

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}4．（2019年德州）下列运算正确的是（ ）

A．(－2a)2＝－4a2 B．(a＋b)2＝a2＋b2

C．(a5)2＝a7 D．(－a＋2)(－a－2)＝a2－4

{答案}D

{解析}本题考查了整式乘法公式，A项考查了积的乘方公式，正确结果应该是4a2；B项考查的是完全平方公式，正确的结果应该是a2＋2ab＋b2；C项考查的是幂的乘方，正确的结果应该是a10；D项考查了平方差公式，结果正确．

{分值}4

{章节:[1-14-2]乘法公式}

{考点:完全平方公式}

{考点:积的乘方}

{考点:幂的乘方}

{考点:完全平方公式}

{考点:平方差公式}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}5．（2019年德州）若函数与 y＝ax2＋bx＋c 的图象如下图所示，则函数 y＝kx＋b 的大致图象为（ ）

A． B． C． D．

{答案}C

{解析}本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数图象的性质，由于双曲线过二、四象限，因此k＜0，又由于抛物线开口向上，因此a＞0，又由于对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”可知a，b异号，所以b＜0．所以直线应该呈下降趋势，与y轴交于负半轴，因此本题选C．

{分值}4

{章节:[1-22-1-4]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质}

{考点:二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质}

{考点:反比例函数的图象}

{难度:3-中等难度}

{类别:易错题}

{题目}6．（2019年德州）不等式组的所有非负整数解的和是（ ）

A． 10 B． 7 C． 6 D． 0

{答案}A

{解析}本题考查了一元一次不等式不等式组的非负整数解，解答过程如下：

解不等式①，得x＞－；

解不等式②，得x≤4；

∴不等式组的解集为－＜x≤4．

∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，这些非负整数解的和为10．

{分值}4

{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}

{考点:一元一次不等式组的整数解}

{难度:3-中等难度}

{类别:易错题}

{题目}7．（2019•德州）下列命题是真命题的是（　　）

A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等

B．平分弦的直径垂直于弦

C．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形

D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等

{答案}C

{解析} A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；

B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；

C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；

D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；

{分值}4

{章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角}

{考点:垂径定理}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:3-中等难度}

{题目}8．（2019•德州）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（　　）

A． B． C． D．

{答案}B

{解析}本题的等量关系是：绳长－木长＝4.5；木长－绳长＝1，据此可列方程组求解．

解：设绳长x尺，长木为y尺，

依题意得．

{分值}4

{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组}

{考点:简单的列二元一次方程组应用题}

{考点:代入消元法有关的实际问题}

{类别:数学文化}

{难度:3-中等难度}

{题目}9．（2019•德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（　　）

A．130° B．140° C．150° D．160°

{答案}B

{解析}解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，

∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，

∴∠ABC＋∠ADC＝180°，

∵∠ABC＝40°，

∴∠ADC＝140°，

故选：B．

{分值}4

{章节:[1-24-1-4]圆周角}

{考点: {考点:圆内接四边形的性质}

{类别:思想方法}

{难度:4-较高难度}

{题目}10．（2019•德州）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（　　）

A． B． C． D．

{答案}C

{解析}（1）画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，

∴乙获胜的概率为，

故选：C．

{分值}4

{章节:[1-25-2]用列举法求概率}

{考点:两步事件不放回}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}11．在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使0成立的是（　　）

A．y＝3x－1（x＜0） B．y＝－x2+2x－1（x＞0）

C．y（x＞0） D．y＝x2－4x－1（x＜0）

{答案}D

{解析}解：A、∵k＝3＞0

∴y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2

∴当x＜0时，＞0，

故A选项不符合；

B、∵对称轴为直线x＝1，

∴当0＜x＜1时y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小，

∴当0＜x＜1时：当x1＞x2时，必有y1＞y2

此时＞0，

故B选项不符合；

C、当x＞0时，y随x的增大而增大，

即当x1＞x2时，必有y1＞y2

此时＞0，

故C选项不符合；

D、∵对称轴为直线x＝2，

∴当x＜0时y随x的增大而减小，

即当x1＞x2时，必有y1＜y2

此时＜0，

故D选项符合．

{分值}4

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}

{考点:一次函数的性质}

{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}

{考点:反比例函数的性质}

{类别:高度原创}

{难度:3-中等难度}

{题目}12．（2019年德州）如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF∶FB＝1∶2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF∶S四边形CNFB＝1∶8．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④

{答案}C

{解析}①正确．证明△ADF≌△DCE（ASA），即可判断．

②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．

③正确．作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，通过计算证明MH＝CH即可解决问题．

④错误．设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出＝＝，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可判断．

{分值}4

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）}

{考点:相似三角形面积的性质}

{考点:几何选择压轴}

{类别:高度原创}

{难度:5-高难度}

二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.

{题目}13．（2019•德州）|x－3|＝3－x，则x的取值范围是　 　．

{答案} x≤3

{解析}根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以3－x≥0，即可求解；

{分值}4

{章节:[1-1-2-4]绝对值}

{考点:绝对值的性质}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

14．（2019•德州）方程1的解为　 　．

{答案} x＝－4

{解析}解∶1，

1，

1，

1，

x＋1＝－3，

x＝－4，

经检验x＝－4是原方程的根．

{分值}4

{章节:[1-15-3]分式方程}

{考点:解含两个分式的分式方程}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}15．（2019•德州）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为　 　米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）

{答案}1.02

{解析}解：由题意可得：

∵∠ABO＝70°，AB＝6m，

∴sin70°＝＝≈0.94，

解得：AO＝5.64（m），

∵∠CDO＝50°，DC＝6m，

∴sin50°＝≈0.77，

解得：CO＝4.62（m），

则AC＝5.64－4.62＝1.02（m），

答：AC的长度约为1.02米．

{分值}4

{章节:[1-28-2-2]非特殊角}

{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}16．（2019•德州）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[－0.8]＝－1．现定义：{x}＝x－[x]，例：{1.5}＝1.5－[1.5]＝0.5，则{3.9}＋{－1.8}－{1}＝　 　．

{答案}0.7

{解析}解：根据题意可得：{3.9}＋{－1.8}－{1}＝3.9－3－1.8＋2－1＋1＝0.7．

{分值}4

{章节:[1-1-3-2]有理数的减法}

{考点:省略加号的代数和}

{类别:新定义}

{难度:2-简单}

{题目}17．（2019•德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为　　 ．

{答案}9.6

{解析}连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r－1，OA＝r，根据勾股定理得到32＋（r－1）2＝r2，解得r＝5，再利用垂径定理得到OB⊥AF，AG＝FG，则AG2＋OG2＝52，AG2＋（5－OG）2＝62，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长．

{分值}4

{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径}

{考点:垂径定理}

{类别:高度原创}

{难度:3-中等难度}

{题目}18．（2019•德州）如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y＝－（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则An（n为正整数）的纵坐标为　 　．（用含n的式子表示）

{答案}(－1)n＋1 (－)

{解析}先证明△OA1E是等边三角形，求出A1的坐标，作高线A1D1，再证明△A2EF是等边三角形，作高线A2D2，设A2（x，－），根据OD2＝2＋＝x，解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A1、A3、A5…在x轴的上方，纵坐标为正数，点A2、A4、A6……在x轴的下方，纵坐标为负数，可以利用(－1)n＋1来解决这个问题．

{分值}4

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}

{考点:双曲线与几何图形的综合}

{考点:规律－图形变化类}

{考点:几何填空压轴}

{类别:高度原创}

{难度:5-高难度}

三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

{题目}19．（8分）（2019•德州） 先化简，再求值：（）÷（）•（2），其中 (n－3)2＝0．

{解析}先通分，再利用因式分解，把可以分解的分解，然后统一化成乘法运算，约分化简，再将所给等式化简，得出m和n的值，最后代回化简后的分式即可．

{答案}解∶（）÷（）•（2）

•

••

．

∵（n﹣3）2＝0．

∴m＋1＝0，n﹣3＝0，

∴m＝﹣1，n＝3．

∴．

∴原式的值为．

{分值}8

{章节:[1-15-2-2]分式的加减}

{考点:分式的混合运算}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}20．（2019•德州）《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如下：

（1）根据上述数据，补充完成下列表格．

整理数据：

分析数据：

（2）该校目前七年级有200人，八年级有300人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？

（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．

{解析}（1）根据平均数和中位数的概念解答即可；

（2）根据样本估计总体解答即可；

（3）根据数据调查信息解答即可

{答案}解∶（1）八年级及格的人数是4，平均数，中位数；

故答案为∶4；74；78；

（2）计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有200人；

（3）根据以上数据可得∶七年级学生的体质健康情况更好．

{分值}10

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}

{考点:算术平均数}

{考点:中位数}

{考点:众数}

{难度:3-中等难度}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}21．（2019年德州）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人字样浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆． 据统计，第一个月进馆 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．

（1）求进馆人次的月平均增长率；

（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力补超过 500 人次，在进馆人次的月平均增长率的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．

{解析}本题考查了一元二次方程的应用问题（增长率）．

（1）套用公式a(1＋x)2＝b即可；（2）根据第（1）小题算出的增长率，算出第四个月的进馆人数，然后与608进行比较得出结果．

{答案}解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意，得：

128＋128 (1＋x)＋128 (1＋x)2＝608

解得 x1＝0.5；x2＝－3.5（舍去）．

答：进馆人次的月平均增长率为50%．

（2）第四个月进馆人数为128(1＋)3＝432（人次）

∵432＜500

∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．

{分值}10

{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}

{难度:3-中等难度}

{类别:易错题}

{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}

{题目}22．（12分）（2019•德州）如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC＝30°，AC＝2．

（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；

（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；

（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．

{解析}（1）过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，然后以OA为半径作⊙O即可；

（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP，先证明Rt△PAO≌Rt△PCO，然后根据切线的判定方法判断PB、PC为⊙O的切线；

（3）先证明△OAC为等边三角形得到OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，再计算出AP＝2，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积进行计算．

{答案}解∶（1）如图，

（2）已知∶如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC＝30°，AC＝2，过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作⊙O，OA⊥PB，

求证∶PB、PC为⊙O的切线；

证明∶∵∠BPD＝120°，PAC＝30°，

∴∠PCA＝30°，

∴PA＝PC，

连接OP，

∵OA⊥PA，PC⊥OC，

∴∠PAO＝∠PCO＝90°，

∵OP＝OP，

∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL）

∴OA＝OC，

∴PB、PC为⊙O的切线；

（3）∵∠OAP＝∠OCP＝90°－30°＝60°，

∴△OAC为等边三角形，

∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，

∵OP平分∠APC，

∴∠APO＝60°，

∴AP22，∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO－S扇形AOC＝22242π．

{分值}12

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}

{考点:扇形的面积}

{考点:切线的判定}

{考点:与圆有关的作图问题}

{类别:北京作图}

{类别:高度原创}

{难度:3-中等难度}

{题目}23．（12分）（2019•德州）下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式．

（1）设月通话时间为x小时，则方案A，B，C的收费金额y1，y2，y3都是x的函数，请分别求出这三个函数解析式．

（2）填空：

若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为　 　；

若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为　 　；

若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为　 　；

（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．

{解析}（1）根据题意可以分别写出y1、y2、y3关于x的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围；

（2）根据题意作出图象，结合图象即可作答；

（3）结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，将y＝81代入y2关于x的函数关系式，解方程即可得出小王该月的通话时间．

{答案}解：（1）∵0.1元/min＝6元/h，

∴由题意可得，

y1，

y2，

y3＝100（x≥0）；

（2）作出函数图象如图∶

结合图象可得∶

若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为∶0≤x，

若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为∶x，

若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为∶x．

故答案为∶0≤x，x，x．

（3）∵小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，

∴结合图象可得∶小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，

将y＝80分别代入y2，可得

6x－250＝80，

解得∶x＝55，

∴小王该月的通话时间为55小时．

{分值}12

{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}

{考点:分段函数的应用}

{考点:方案比较}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}24．（12分）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD∶GC∶EB的结果（不必写计算过程）

（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD∶GC∶EB；

（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD∶AB＝AH∶AE＝1∶2，此时HD∶GC∶EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．

{解析}（1）连接AG，由菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，易得A，G，C共线，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；

（2）连接AG，AC，由△ADC和△AHG都是等腰三角形，易证△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；

（3）连接AG，AC，易证△ADC∽△AHG和△ADH∽△ABE，利用相似三角形的性质可得结论．

{答案}解∶（1）连接AG，

∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，

∴∠GAE＝∠CAB＝30°，AE＝AH，AB＝AD，

∴A，G，C共线，AB－AE＝AD－AH，

∴HD＝EB，

延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，

∴GC⊥MN，∠NGO＝∠AGE＝30°，

∴cos30°，

∵GC＝2OG，

∴，

∵HGND为平行四边形，

∴HD＝GN，

∴HD∶GC∶EB＝1∶∶1．

（2）如图2，连接AG，AC，

∵△ADC和△AHG都是等腰三角形，

∴AD∶AC＝AH∶AG＝1∶，∠DAC＝∠HAG＝30°，

∴∠DAH＝∠CAG，

∴△DAH∽△CAG，

∴HD∶GC＝AD∶AC＝1∶，

∵∠DAB＝∠HAE＝60°，

∴∠DAH＝∠BAE，

在△DAH和△BAE中，

∴△DAH≌△BAE（SAS）

∴HD＝EB，

∴HD∶GC∶EB＝1∶∶1．

（3）有变化．

如图3，连接AG，AC，

∵AD∶AB＝AH∶AE＝1∶2，∠ADC＝∠AHG＝90°，

∴△ADC∽△AHG，

∴AD∶AC＝AH∶AG＝1∶，

∵∠DAC＝∠HAG，

∴∠DAH＝∠CAG，

∴△DAH∽△CAG，

∴HD∶GC＝AD∶AC＝1∶，

∵∠DAB＝∠HAE＝90°，

∴∠DAH＝∠BAE，

∵DA∶AB＝HA∶AE＝1∶2，

∴△ADH∽△ABE，

∴DH∶BE＝AD∶AB＝1∶2，

∴HD∶GC∶EB＝1∶∶2

{分值}12

{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}

{考点:相似三角形的判定（两边夹角）}

{考点:几何综合}

{类别:高度原创}

{类别:发现探究}

{难度:5-高难度}

{题目}25．（14分）如图，抛物线y＝mx2mx－4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2－x1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a＋2，x2时，均有y1≤y2，求a的取值范围；

（3）抛物线上一点D（1，－5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．

{解析}（1）函数的对称轴为：x，而且x2－x1，将上述两式联立并解得：x1，x2＝4，即可求解；

（2）分a≤a＋2、a≤a＋2两种情况，分别求解即可；

（3）取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，则点M为符合条件的点，即可求解．

{答案}解：（1）函数的对称轴为：x，而且x2－x1，

将上述两式联立并解得：x1，x2＝4，

则函数的表达式为：y＝a（x）（x－4）＝a（x2－4xx－6），

即：－6a＝－4，解得：a，

故抛物线的表达式为：yx2x－4；

（2）当x2时，y2＝2，

①当a≤a＋2时（即：a），

y1≤y2，则a2a－4≤2，

解得：－2≤a，而a，

故：－2≤a；

②当a≤a＋2（即a）时，

则（a＋2）2（a＋2）－4≤2，

同理可得： a，

故a的取值范围为：－2≤a；

（3）∵当∠BDC＝∠MCE，△MDC为等腰三角形，

故取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，则点M为符合条件的点，

点H（，），

将点C、D坐标代入一次函数表达式：y＝mx＋n并解得：

直线CD的表达式为：y＝－x－4，

同理可得：直线BD的表达式为：yx①，

直线DC⊥MH，则直线MH表达式中的k值为1，

同理可得直线HM的表达式为：y＝x－5…②，

联立①②并解得：x，

故点M（，）．

{分值}14

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}

{考点:代数综合}

{考点:二次函数中讨论等腰三角形}

{类别:高度原创}

{难度:5-高难度}