2018年广东省广州市中考数学试卷及答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）

1．（3分）四个数0，1，，中，无理数的是（　　）

A． B．1 C． D．0

2．（3分）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（　　）

A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条

3．（3分）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．（a+b）2=a2+b2 B．a2+2a2=3a4 C．x2y÷=x2（y≠0） D．（﹣2x2）3=﹣8x6

5．（3分）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（　　）

A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4

6．（3分）甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2：乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2．从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（　　）

A．40° B．50° C．70° D．80°

8．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　）

A． B．

C． D．

9．（3分）一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）

A． B． C． D．

10．（3分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（　　）

A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11．（3分）已知二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而　 　（填“增大”或“减小”）．

12．（3分）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=　 　．

13．（3分）方程=的解是　 　．

14．（3分）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．

15．（3分）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+=　 　．

16．（3分）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：

①四边形ACBE是菱形；

②∠ACD=∠BAE；

③AF：BE=2：3；

④S四边形AFOE：S△COD=2：3．

其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（9分）解不等式组：．

18．（9分）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．

19．（10分）已知T=+．

（1）化简T；

（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．

20．（10分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．

（1）这组数据的中位数是　 　，众数是　 　；

（2）计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；

（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．

21．（12分）友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．

（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？

（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．

22．（12分）设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1．

（1）求y1关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象；

（2）若反比例函数y2=的图象与函数y1的图象相交于点A，且点A的纵坐标为2．

①求k的值；

②结合图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．

23．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．

（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，

①证明：AE⊥DE；

②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．

24．（14分）已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．

（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．

①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；

②若点C关于直线x=﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．

25．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．

（1）求∠A+∠C的度数；

（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度．

2018年广东省广州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）

1．

【解答】解：0，1，是有理数，

是无理数，

故选：A．

2．

【解答】解：五角星的对称轴共有5条，

故选：C．

3．

【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，

故选：B．

4．

【解答】解：（A）原式=a2+2ab+b2，故A错误；

（B）原式=3a2，故B错误；

（C）原式=x2y2，故C错误；

故选：D．

5．

【解答】解：∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠6，

故选：B．

6．

【解答】解：如图所示：

，

一共有4种可能，取出的两个小球上都写有数字2的有1种情况，

故取出的两个小球上都写有数字2的概率是：．

故选：C．

7．

【解答】解：∵∠ABC=20°，

∴∠AOC=40°，

∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，

∴∠AOC=∠BOC=40°，

∴∠AOB=80°，

故选：D．

8．

【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：

，

故选：D．

9．

【解答】解：当y=ax+b经过第一、二、三象限时，a＞0、b＞0，

由直线和x轴的交点知：﹣＞﹣1，即b＜a，∴a﹣b＞0，

所以双曲线在第一、三象限．故选项B不成立，选项A正确．

当y=ax+b经过第二、一、四象限时，a＜0，b＞0，

此时a﹣b＜0，双曲线位于第二、四象限，故选项C、D均不成立；

故选：A．

10．

【解答】解：由题意知OA4n=2n，

∵2018÷4=504÷2，

∴OA2018=+1=1009，

∴A2A2018=1009﹣1=1008，

则△OA2A2018的面积是×1×1008=504m2，

故选：A．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11．

【解答】解：∵二次函数y=x2，开口向上，对称轴为y轴，

∴当x＞0时，y随x的增大而增大．

故答案为：增大．

12．

【解答】解：∵旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m，

∴tanC=，

故答案为：

13．

【解答】解：去分母得：x+6=4x，

解得：x=2，

经检验x=2是分式方程的解，

故答案为：x=2

14．

【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，

∴AB=5，

∴AD=5，

∴由勾股定理知：OD===4，

∴点C的坐标是：（﹣5，4）．

故答案为：（﹣5，4）．

15．

【解答】解：由数轴可得：

0＜a＜2，

则a+

=a+

=a+（2﹣a）

=2．

故答案为：2．

16．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵EC垂直平分AB，

∴OA=OB=AB=DC，CD⊥CE，

∵OA∥DC，

∴===，

∴AE=AD，OE=OC，

∵OA=OB，OE=OC，

∴四边形ACBE是平行四边形，

∵AB⊥EC，

∴四边形ACBE是菱形，故①正确，

∵∠DCE=90°，DA=AE，

∴AC=AD=AE，

∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确，

∵OA∥CD，

∴==，

∴==，故③错误，

设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积=△AOE的面积=3a，

∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a

∴S四边形AFOE：S△COD=2：3．故④正确，

故答案为①②④．

三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．

【解答】解：，

解不等式①，得x＞﹣1，

解不等式②，得x＜2，

不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图

，

原不等式组的解集为﹣1＜x＜2．

18．

【解答】证明：在△AED和△CEB中，

，

∴△AED≌△CEB（SAS），

∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．

19．

【解答】解：（1）T=+==；

（2）由正方形的面积为9，得到a=3，

则T=．

20．

【解答】解：（1）按照大小顺序重新排列后，第5、第6个数分别是15和17，所以中位数是（15+17）÷2=16，17出现3次最多，所以众数是17，

故答案是16，17；

（2）=14，

答：这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是14次；

（3）200×14=2800

答：该小区居民一周内使用共享单车的总次数为2800次．

21．

【解答】解：设购买A型号笔记本电脑x台时的费用为w元，

（1）当x=8时，

方案一：w=90%a×8=7.2a，

方案二：w=5a+（8﹣5）a×80%=7.4a，

∴当x=8时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7.2a元；

（2）∵若该公司采用方案二购买更合算，

∴x＞5，

方案一：w=90%ax=0.9ax，

方案二：当x＞5时，w=5a+（x﹣5）a×80%=5a+0.8ax﹣4a=a+0.8ax，

则0.9ax＞a+0.8ax，

x＞10，

∴x的取值范围是x＞10．

22．

【解答】解：（1）由题意y1=x．

函数图象如图所示：

（2）①由题意A（2，2），

∴2=，

∴k=4．

②观察图象可知：x＞2时，y1＞y2．

23．

【解答】解：（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示．

（2）①延长DE交AB的延长线于F．

∵CD∥AF，

∴∠CDE=∠F，∵∠CDE=∠ADE，

∴∠ADF=∠F，

∴AD=AF，

∵AD=AB+CD=AB+BF，

∴CD=BF，

∵∠DEC=∠BEF，

∴△DEC≌△FEB，

∴DE=EF，

∵AD=AF，

∴AE⊥DE．

②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．

∵AD=AF，DE=EF，

∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB，

∴AK=AB=4，

在Rt△ADG中，DG==4，

∵KH∥DG，

∴=，

∴=，

∴KH=，

∵MB=MK，

∴MB+MN=KM+MN，

∴当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为GH的长，

∴BM+MN的最小值为．

24．

【解答】解：（1）令y=0，

∴x2+mx﹣2m﹣4=0，

∴△=m2﹣4[﹣2m﹣4]=m2+8m+16，

∵m＞0，

∴△＞0，

∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）

令y=0，

∴x2+mx﹣2m﹣4=0，

∴（x﹣2）[x+（m+2）]=0，

∴x=2或x=﹣（m+2），

∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），

∴OA=2，OB=m+2，

令x=0，

∴y=﹣2（m+2），

∴C（0，﹣2（m+2）），

∴OC=2（m+2），

①通过定点（0，1）理由：如图，

∵点A，B，C在⊙P上，

∴∠OCB=∠OAF，

在Rt△BOC中，tan∠OCB===，

在Rt△AOF中，tan∠OAF===，

∴OF=1，

∴点F的坐标为（0，1）；

②如图1，在Rt△BOD中，根据勾股定理得，BD=，

由①知，点F（0，1），

∵D（0，1），

∴点D在⊙P上，

∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，

∴∠DCE=90°，

∴DE是⊙P的直径，

∴∠DBE=90°，

∵∠BED=∠OCB，

∴tan∠BED=，

在Rt△BDE中，tan∠BED==，

∴BE=2，

根据勾股定理得，DE==5，

∴l=BD+BE+DE=5+3，r=DE=，

∴=．

25．

【解答】解：（1）如图1中，

在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D=180°，∠B=60°，∠C=30°，

∴∠A+∠C=360°﹣60°﹣30°=270°．

（2）如图2中，结论：DB2=DA2+DC2．

理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．

∵∠ABC=∠DBQ=60°，

∴∠ABD=∠CBQ，

∵AB=BC，DB=BQ，

∴△ABD≌△CBQ，

∴AD=CQ，∠A=∠BCQ，

∵∠A+∠BCD=∠BCQ+∠BCD=270°，

∴∠BCQ=90°，

∴DQ2=DC2+CQ2，

∵CQ=DA，DQ=DB，

∴DB2=DA2+DC2．

（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．

则△AER是等边三角形，∵EA2=EB2+EC2，EA=RE，EC=RB，

∴RE2=RB2+EB2，

∴∠EBR=90°，

∴∠RAE+∠RBE=150°，

∴∠ARB+∠AEB=∠AEC+∠AEB=210°，

∴∠BEC=150°，

∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上，在⊙O上取一点K，连接KB，KC，OB，OC，

∵∠K+∠BEC=180°，

∴∠K=30°，∠BOC=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴点E的运动路径==．