2018-2019年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招考试数学试卷 https://wenku.baidu.com/new?act=update&id=fe7b4754773231126edb6f1aff00bed5b8f37340&fr=view

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（ ）

A． B． C． D．

2.已知复数（是虚数单位），则（ ）

A． B． C． D．

3.已知，，，则，，的大小关系是（ ）

A． B． C． D．

4.下图给出的是计算值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（ ）

A． B． C． D．

5.若的展开式中的系数为，则（ ）

A． B． C． D．

6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．

7.已知，则（ ）

A． B． C． D．

8.函数的大致图象为（ ）

A． B． C． D．

9.已知，则满足成立的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

10.某多面体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形.该多面体的各个面中有若干个是等腰三角形，这些等腰三角形的面积之和为（ ）

A． B． C． D．

11.设、是椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

12.已知函数的图象关于点对称，则在上的值域为（ ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知实数，满足，则的最大值为 ．

14.在平行四边形中，，，若，则 ．

15.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的标准方程为 ．

16.已知，若函数图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是 ．（结果用区间表示）

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17.为数列的前项和.已知，.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

18.在四棱锥中，平面平面，平面平面.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若底面为矩形，，为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值.

19.随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了个区间：、、、、、，整理得到如下频率分布直方图：

根据一周内平均每天学习数学的时间，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：

（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数（精确到）；

（Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值与及方差与的大小关系（只需写出结论），并计算其中的、（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅲ）记事件：“甲高中学生对数学的喜好等级高于乙高中学生对数学的喜好等级”.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率.

20.已知抛物线：，不过坐标原点的直线交于，两点.

（Ⅰ）若，证明：直线过定点；

（Ⅱ）设过且与相切的直线为，过且与相切的直线为.当与交于点时，求的方程.

21.已知.

（Ⅰ）若曲线与轴有唯一公共点，求的取值范围；

（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.

（Ⅰ）若，求直线被曲线截得的线段的长度；

（Ⅱ）若，在曲线上求一点，使得点到直线的距离最小，并求出最小距离.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）设函数.当时，恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题

1-5: ACBDD 6-10: CBABB 11、12：AD

二、填空题

13. 14. 15. 16.

三、解答题

17.（Ⅰ）当时，有，即.

因为，所以.从而，即.

由，知.

两式相减，得.

即，即，

即.

因为，所以，即.

所以，数列是首项为，公差为的等差数列.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.

数列的前项和为

.

18.（Ⅰ）证法1：在平面内过点作两条直线，，

使得，.

因为，所以，为两条相交直线.

因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.

所以.

同理可证.

又因为平面，平面，，

所以平面.

证法2：在平面内过点作，在平面内过点作.

因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.

同理可证平面.

而过点作平面的垂线有且仅有一条，

所以与重合.所以平面.

所以，直线为平面与平面的交线.

所以，直线与直线重合.所以平面.

（Ⅱ）如图，分别以、、所在方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系.

设，则，，，，，.

由为的中点，得；

由，得.

所以，，.

设平面的一个法向量为，

则，即.

取，则，.

所以.

所以.

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

19.解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）；；

；

.

（Ⅲ）由题意，甲高中学生对数学的喜好程度为“一般”、“爱好”、“痴迷”的概率分别为、、.

.

20.设，.

（Ⅰ）解：显然直线的斜率存在，设为，直线的方程为.由题意，.

由，得.

由题意，该方程的判别式，即.

则，.

因为，所以，所以，

即，即.

所以.

所以.解得（舍去），或.

当时，，满足式.

所以直线的方程为.

直线过定点.

（Ⅱ）解法一：过点且与：相切的直线的斜率必存在，设其斜率为，则其方程为，即.

由消去并整理得.

由判别式，解得.

不妨设的斜率，则的斜率.

由韦达定理，得，即.

.所以.

同理可得.

直线的方程为，

即直线的方程为.

解法二：，所以过且与相切的直线的斜率为.

同理，的斜率为.

：，即：.同理：.

因为与的交点的坐标为方程组的解，

所以，且.

所以方程，即的两个实根是，.

由，解得，.

又点，在：上，可得，.

直线的方程为，

即直线的方程为.

解法三：，所以过且与相切的直线的斜率为.同理，的斜率为.

所以，切线：，即.

又是抛物线上的点，所以，即.

故切线的方程为.

同理切线的方程为.

又切线与切线均过点，故，.

所以切点、的坐标适合方程.

所以的方程为.

21.（Ⅰ）解：函数的定义域为..

由题意，函数有唯一零点..

（1）若，则.

显然恒成立，所以在上是增函数.

又，所以符合题意.

（2）若，.

；.

所以在上是减函数，在上是增函数.

所以.

由题意，必有（若，则恒成立，无零点，不符合题意）.

①若，则.

令，则.

；.

所以函数在上是增函数，在上是减函数.

所以.所以，当且仅当时取等号.

所以，，且.

取正数，则；

取正数，显然.而，

令，则.当时，显然.

所以在上是减函数.

所以，当时，，所以.

因为，所以.

又在上是减函数，在上是增函数.

则由零点存在性定理，在、上各有一个零点.

可见，，或不符合题意.

注：时，若利用，，，说明在、上各有一个零点.

②若，显然，即.符合题意.

综上，实数的取值范围为.

（Ⅱ）.

令，则对任意的恒成立.

（1）当时，.

当时，，所以在上是减函数.

所以，当时，.可见，符合题意.

（2）若，显然在上是减函数.

取实数，显然.

则（利用）

.

又，在上是减函数，

由零点存在定点，存在唯一的使得.

于是，当时，，函数在上是增函数.

所以，当时，.可见，不符合题意.

当时，分如下三种解法：

解法一：（3）若，，.

令，显然在上是减函数，

所以，当时，，当且仅当时取等号.

所以，当时，，在上是减函数.

所以，当时，.

所以，在上是减函数.

所以，当时，.可见，符合题意.

（4）若，，.

令，显然在上是减函数，且，

，

所以，存在唯一的，使得，即.

于是，当时，；当时，.

所以，当时，；当时，.

所以，在上是增函数，在上是减函数.

所以，在上的最大值.

将式代入上式，得.

所以，当时，，所以在上是减函数.

所以，当时，.可见，符合题意.

综上，所求的取值范围是.

解法二：（3）若，对任意的恒成立对任意的恒成立.

令，.

，当时，，

所以在上是增函数.所以.

显然在上是减函数，.

所以，当时，，即对任意的恒成立.

所以符合题意.

综上，所求的取值范围是.

解法三：（3）若，对任意的恒成立.

令，.

，当时，，

所以在上是减函数.所以.

所以，当时，.

当，时，.

所以，当，时，恒成立.

所以符合题意.

综上，所求的取值范围是.

解法四：.

令，则对任意的恒成立.

.

令，当时，，

所以在上是增函数.

（1）若，则时，，，

所以在上是增函数.

所以，当时，.可见，符合题意.

（2）若，，

.

（这里利用了时，）

又在上是增函数，由零点存在性定理，

知存在唯一的，使得.

于是，当时，，，

所以，在上是减函数.

所以，当时，.可见，不符合题意.

综上，所求的取值范围是.

注：利用，，说明在上有零点.

解法五：.

令，则对任意的恒成立.

（1）先寻求使结论成立的充分条件.

由，要使对任意的恒成立.

只需要在上是减函数，即对任意的恒成立.

而，

所以，只需要对任意的恒成立.

令，.

显然在上是减函数，

所以，当时，.

所以在上是减函数.

所以在上的最大值.

则只需要.

可见，当时，对任意的恒成立.

（2）当时，，

（时，）

.

又时，在上是减函数，

由零点存在定理，存在唯一的，使得.

于是，当时，，

所以在上是增函数.

所以，当时，.

可见，不符合题意.

综上，所求的取值范围是.

注：时，用，，说明在上有零点.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）曲线的普通方程为.

当时，直线的普通方程为.

由.解得或，

直线被曲线截得的线段的长度为.

（Ⅱ）解法一：时，直线的普通方程为.

由点到直线的距离公式，椭圆上的点到直线：的距离为

，

其中满足，.

由三角函数性质知，当时，取最小值.

此时，，.

因此，当点位于时，点到的距离取最小值.

解法二：当时，直线的普通方程为.

设与平行，且与椭圆相切的直线的方程为.

由消去并整理得.

由判别式，解得.

所以，直线的方程为，或.

要使两平行直线与间的距离最小，则直线的方程为.

这时，与间的距离.

此时点的坐标为方程组的解.

因此，当点位于时，点到直线的距离取最小值.

23.选修4-5：不等式选讲

解：（Ⅰ）当时，.

由，解得.

所以，不等式的解集为.

（Ⅱ）

（当且仅当时取等号）

（当且仅当时取等号）

.

综上，当时，有最小值.

故由题意得，解得，或.

所以，实数的取值范围为.