2019年浙江省杭州市初中毕业、升学考试

数 学

一、选择题:本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题綸出的四个迭项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（2019浙江省杭州市，1，3分）计算下列各式，值最小的是 【 】

A．2×0+1-9 B．2+0×1-9 C．2+0-1×9 D．2+0+1-9

【答案】A

【解析】有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．A.2×0+1-9=-8，B．2+0×1-9=-7，C．2+0-1×9=-7，D．2+0+1-9=-6，故选：A．

【知识点】有理数的混合运算

2. （2019浙江省杭州市，2，3分）在平面直角坐标系中,点A（m，2）与点B(3，n)关于y轴对称，则【 】

A.m=3，n=2 B.m=-3，n=2 C.m=2，n=3 D.m=-2，n=3

【答案】B

【解析】A，B关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同，故选：B．

【知识点】直角坐标系内点的坐标特征

3.（2019浙江省杭州市，3，3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=3，则PB= 【 】

A．2 B.3 C.4 D.5

【答案】B

【解析】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，可知： PA=PB=3，故选：B．

【知识点】切线长定理

4.（2019浙江省杭州市，4，3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树.设男生有x人，则 【 】

A.2x+3(72-x)=30 B.3x+2(72-x)=30 C.2x+3(30-x)=72 D.3x+2(30-x)=72

【答案】D

【解析】设男生有x人，则女生（30-x）人，根据题意可得：3x+2（30-x）=72．故选：D．

【知识点】一次方程（组）及应用 模型思想 应用意识

5. （2019浙江省杭州市，5，3分）点点同学对数据26，36，36，46，5█，52进行统计分析.发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是 【 】

A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差

【答案】B

【解析】这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关．故选：B．

【知识点】统计的应用

6.（2019浙江省杭州市，6，3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)连接AM交DE干点N，则 【 】

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】根据DE∥BC，可得△ADN∽△ABM与△ANE∽△AMC，再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴，∴．故选：C．

【知识点】相似三角形的判定与性质

7.（2019浙江省杭州市，7，3分）在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则 【 】

A.必有一个内角等干30° B.必有一个内角等于45°

C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90°

【答案】D

【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．

【知识点】三角形内角和定理

8．（2019浙江省杭州市，8，3分）已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是 【 】

A B C D

【答案】A

【解析】根据直线①判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．A、由①可知：a＞0，b＞0，∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；B、由①可知：a＜0，b＞0，∴直线②经过一、二、三象限，故B错误；C、由①可知：a＜0，b＞0，∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；D、由①可知：a＜0，b＜0，∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．故选：A．

【知识点】一次函数的图象和性质

9. （2019浙江省杭州市，9，3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于【 】

A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx

【答案】D

【解析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，故选：D．

【知识点】三角函数 矩形的性质

10．（2019浙江省杭州市，10，3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则 【 】

A．M=N-1或M=N+1 B．M=n-1或M=N+2 C．M=N或M=N+1 D．M=N或M=N-1

【答案】A

【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．∵y=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+1，∴（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，∴函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N；当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N或M=N+1．故选：C．

【知识点】二次函数图象及其性质 抛物线与x轴的交点

二、填空题:本大题有6个小题，每小题4分，共24分。

11.（2019浙江省杭州市，11，3分）因式分解:1-x2=_________.

【答案】(1-x)(1+x)

【解析】直接应用平方差公式进行因式分解，1-x2=(1-x)(1+x)，故填：(1-x)(1+x).

【知识点】因式分解

12.（2019浙江省杭州市，12，3分）某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于_____________.

【答案】

【解析】∵某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于：．故答案为：．

【知识点】加权平均数

13.（2019浙江省杭州市，13，3分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，已知其母线长为12cm.底面圆半径为3cm.则这个冰淇淋外壳的侧面积等于______ cm(结果精确到个位).

【答案】113

【解析】这个冰淇淋外壳的侧面积=×2π×3×12=36π≈113（cm2）．故答案为113．

【知识点】圆锥的侧面展开图

14.（2019浙江省杭州市，14，3分）在直角三角形ABC中，若2AB=AC则cosC=___________.

【答案】或

【解析】若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，

所以cosC===；若∠A=90°，

设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；

综上所述，cosC的值为或．故答案为或．

【知识点】锐角三角函数 分类讨论

15.（2019浙江省杭州市，15，3分）某函数满足当自变量x=1时，函数值y=0，当自变量x=0时，函数值y=1.写出一个满足条件的函数表达式___________.

【答案】y=-x+1、y=-x2+1或y=

【解析】答案不唯一，可以是一次函数，也可以是二次函数.如：y=-x+1、y=-x2+1或y=

【知识点】函数的解析式

16．（2019浙江省杭州市，16，3分）如图，把某矩形纸片 ABCD沿EF，GH折叠(点E，H在AD边上.点F，G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'点，D点的对称点为D'点，若∠FPG-90°，△A'EP的面积为4，△D'PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__________.

【答案】2（5+3）

【解析】∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，

∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E=4D′H，设D′H=a，则A′E=4a，

∵△A′EP∽△D′PH，∴=，∴=，∴x2=4a2，∴x=2a或-2a（舍弃），∴PA′=PD′=2a，

∵•a•2a=1，∴a=1，∴x=2，∴AB=CD=2，PE==2，PH==，

∴AD=4+2++1=5+3，∴矩形ABCD的面积=2（5+3）．故答案为2（5+3）

【知识点】翻折变换 矩形的性质 勾股定理 相似三角形的判定和性质

三.解答题:本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （2019浙江省杭州市，17，6分）(本题满分6分)

化简：

圆圆的解答如下：

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.

【思路分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案．

【解题过程】圆圆的解答错误，

正确解法：--1=--

===-．

【知识点】分式的加减

18. （2019浙江省杭州市，18，8分）(本题满分8分)称量五筐水果的质量，若每筐以50 千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数.不足基准部分的干克数记为负数.甲组为实际称量读数，乙组为记录数据.并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图(单位:千克).

实际称量读数和记录数据统计表

(1)补充完整乙组数据的折线统计图.

(2) 甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的等量关系

甲，乙两组数据的方差分别为，，比较与的大小，并说明理由。

【思路分析】问题（1）利用描点法画出折线图即可；问题（2）利用方差公式计算即可判断．

【解题过程】（1）乙组数据的折线统计图如图所示：

（2）①=50+；②S甲2=S乙2．

理由：∵ S甲2=[（48-50）2+（52-50）2+（47-50）2+（49-50）2+（54-50）2]=6.8，

S乙2=[（-2-0）2+（2-0）2+（-3-0）2+（-1-0）2+（4-0）2]=6.8，

∴ S甲2=S乙2．

【知识点】折线统计图 算术平均数 方差

19.（2019浙江省杭州市，19，8分）(本题满分8分)

如图在△ABC中，AC＜AB＜BC.

(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证:∠APC= 2∠B.

(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC= 3∠B，求∠B的度数.

【思路分析】问题（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA=PB，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC=2∠B；问题（2）根据题意可知BA=BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ=∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．

【解题过程】（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，

∴PA=PB，∴∠B=∠BAP，

∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=2∠B；

（2）根据题意可知BA=BQ，∴∠BAQ=∠BQA，

∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，∴∠BQA=2∠B，

∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°．

【知识点】等腰三角形的性质 垂直平分线的性质以 三角形的外角性质

20．（2019浙江省杭州市，20，10分）(本题满分10分)

方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t(单位:小时)，行驶速股为v(单位:千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时.

(1) 求v关于t的函数表达式.

(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.

方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地.求小汽车行驶速度v的范围.

方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.

【思路分析】问题（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；问题（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；②8点至11点30分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．

【解题过程】（1）∵ vt=480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，

∴ v关于t的函数表达式为：v=（0≤t≤4）；

（2）① 8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，

将t=6代入v=得v=80；将t=代入v=得v=100．

∴ 小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．

② 方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：

8点至11点30分时间长为小时，将t=代入v=得v=＞120千米/小时，超速了．

故方方不能在当天11点30分前到达B地．

【知识点】反比例函数的应用

21．（2019浙江省杭州市，21，10分）(本题满分10分)

如图.已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线.设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2.且S1=S2.

(1)求线段CE的长.

(2)若点H为BC边的中点，连接HD，求证:HD=HG.

【思路分析】（1）设出正方形CEFG的边长，然后根据S1=S2，即可求得线段CE的长；（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD和HG的长，即可证明结论成立．

【解题过程】（1）设正方形CEFG的边长为a，

∵正方形ABCD的边长为1，∴DE=1-a，

∵S1=S2，∴a2=1×（1-a），

解得，（舍去），，即线段CE的长是；

（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC=1，

∴CH=0.5，∴DH==，

∵CH=0.5，CG=，∴HG=，∴HD=HG．

【知识点】正方形的性质 矩形的性质 一元二次方程的应用

22. （2019浙江省杭州市，22，12分）(本题满分12分)

设二次函数y=(x-x1)(x-x2)( x1,x2是实数)

（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x=时，y=-.若甲求得的结果都正确·你认为乙求得的结果正确吗?说明理由.

(2)写出二次函数图像的对称轴，并求该函数的最小值.(用含x1,x2的代数式表示).

(3)已知二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点(m，n是实数)，当0＜x1＜x2＜1时.

求证: 0＜mn＜.

【思路分析】问题（1）将（0，0），（1，0）代入y=(x-x1)(x-x2)求出函数解析式即可求解；问题（2）对称轴为x=，当x=时，y=-是函数的最小值；问题（3）将已知两点代入求出m=x1x2，n=1-x1-x2+x1x2，再表示出mn=[-][-]，由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0≤-≤，0≤-≤，即可求解．

【解题过程】（1）当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），

∴x1=0，x2=1，∴y=x（x-1）=x2-x，当x=时，y=-，∴乙说点的不对；

（2）对称轴为x=，当x=时，y=-是函数的最小值；

（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，∴m=x1x2，n=1-x1-x2+x1x2，

∴mn=[-][-]

∵0＜x1＜x2＜1，∴0≤-≤，0≤-≤，∴0＜mn＜．

【知识点】二次函数的性质 函数最值的求法

23.（2019浙江省杭州市，23，12分）(本题满分12分)

如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D.连接0A.

(1)若∠BAC=60°，

求证：OD=OA.

当OA=1时，求△ABC面积的最大值.

(2) 点E在线段0A上.OE=OD.连接DE，设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED(m，n是正数).

若∠ABC＜∠ACB.求证:m-n+2=0

【思路分析】问题（1）①连接OB、OC，则∠BOD=BOC=∠BAC=60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；问题（2）∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=∠BOC=

∠DOC，而∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，即可求解．

【解题过程】（1）①连接OB、OC，则∠BOD=BOC=∠BAC=60°，

∴∠OBC=30°，∴OD=OB=OA；

②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，

当AD过点O时，AD最大，即：AD=AO+OD=，

△ABC面积的最大值=×BC×AD=×2OBsin60°×=；

（2）如图2，连接OC，

设∠OED=x，则∠ABC=mx，∠ACB=nx，

则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=∠BOC=∠DOC，

∵∠AOC=2∠ABC=2mx，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，

∵OE=OD，∴∠AOD=180°-2x，即：180°+mx-nx=180°-2x，化简得：m-n+2=0．

【知识点】三角形内角和 解直角三角形 圆的综合运用