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    广州市第41中学2018-2019学年高二第二学期数学选修22《推理与证明》测试题-

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    广州市第41中学高二第二学期数学选修2-2《推理与证明》测试题

    一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1、下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤. 2、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b直线a平面，平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
    3、某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色是( ．
    A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 4、观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( ． A．01 B．43 C．07 D．49 5、否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( ． A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数
    C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 6、用数学归纳法证明(n1(n2A.2(2k1 B.2k1 正整数按下表的规律排列 7、
    1 2 5 10
    17


    4 3 6 11
    18


    9 8 7 12
    19


    16 15 14 13
    20


    25 24 23 22 21

    则上起第2009行,左起第2010列的数应为(

    A.2009
    2(nn2n··13··(2n1,从k到k1,左边需要增乘的代数式为(

    C.2k1 k1 D.2k3k1

    B.2010
    2C.20092010 D.20092010
    8、如图，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4，此四边形内任一点P到第i条边
    4a1a2a3a42S的距离记为hi(i＝1,2,3,4，若＝＝＝＝k，则 (ihi＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i1234ki＝1S1S2S3个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4，若＝＝＝1234S4＝K，则 (iHi＝( 4i＝14V3V2VVA. B. C. D. KKKK二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9、用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应该是____________________________________．
    ba10、下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件的个数ab是________． 11、观察下列等式： ①cos 2α＝2cos2α－1； ②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
    ③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
    ④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推测m－n＋p＝________. 112、在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝(a2＋b＋cr”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”．
    n13、已知命题:“若数列an是等比数列,且an0,则数列bna1a2an(nN也是等比数列”.可类比得关于等差数列的一个性质为________________________________. 14、若数列an的通项公式an1(nN,记f(n(1a1(1a2(1an,试通过计算(n12f(1,f(2,f(3的值,推测出f(n________________.
    三、解答题：本大题共6题，共80分。
    15、求证：(1a2b23ab3(ab; (2 6+7>22+5。

    16、若a,b,c均为实数，且ax2x22，by2y22，cz2z22
    求证：a，b，c中至少有一个大于0。



    17、已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1. (1写出a1, a2, a3,并推测an的表达式; (2用数学归纳法证明所得的结论.


    18、已知函数f(n(n∈N*，满足条件：①f(2＝2，②f(xy＝f(x·f(y，③f(n∈N*，
    ④当x>y时，有f(x>f(y． (1求f(1，f(3的值；
    (2由f(1，f(2，f(3的值，猜想f(n的解析式； (3证明你猜想的f(n的解析式的正确性．


    19、已知函数f(x＝log2(x＋2，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a＋f(c与2f(b的大小关系，并证明你的结论．




    20、已知函数y＝x＋＋∞上是增函数．
    a有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，在[xa，2b（1）如果函数y＝x＋（x＞0）的值域为[6，＋∞，求b的值；
    xc2（2）研究函数y＝x＋2（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
    xaa2（3）对函数y＝x＋和y＝x＋2（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研xx1n究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x＝＋(2x（n是x1正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
    2



    高二数学选修2-2《推理与证明》测试题答案
    一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1、解析：D 2、解析：A
    3、解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．答案： A 4、解析： 72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649，…由此看出，末两位数字具有周期性，且周
    期为4，又2 011＝4×502＋3，由此知72 011的末两位数字应为43.答案
    B 5、解析： ∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．答案 D 6、当nk时,左边=(k1(k2(kk
    当nk1时,左边[(k11][(k12](k2(k3(kk(kk1(kk2 (k1(k2(kk(kk1(kk2
    k1[(k1(k1]
    (k1(k2(kk[2(2k1],
    ∴从k到k1,左边需要增乘的代数式为2(2k1.答案A 7、由上的规律可知,第一列的每个数为所该数所在行数的平方,而第一行的数则满足列数减1的平方再加1.依题意有,左起第2010列的第一个数为20091,故按连线规律可知,上起第2009行,左起第2010列的数应为2009200920092010.答案D 11148、解析： V三棱锥＝(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝K(H1＋2H2＋3H3＋4H4＝K (iHi
    333i＝13V∴ (iHi＝，故选B.
    Ki＝1422二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9、解析：用反证法证明命题时，假设结论不成立，即否定命题的结论．
    答案 三角形的三个内角都大于60°
    baba10、解析： 要使＋≥2，只要＞0且＞0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．
    abab11、解析： m＝29＝512，p＝5×10＝50. 又m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，
    ∴n＝－400. 答案 962

    12、解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类11比为内切球的半径．二维图形中类比为三维图形中的，
    231得V四面体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4r. 3（注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．） 13. 若数列an是等差数列,则数列bna1a2nan也是等差数列. 证明如下: 设等差数列an的公差为d,
    则bna1a2nanna1n(n1dd2a1(n1, n2所以数列bn是以a1为首项,14. f(nd为公差的等差数列. 2n2111111 a1 ,a,a232223222n2(112(213(31411113(1(1, 222222111324同理f(2(1a1(1a2(12(12
    232233111132435f(3(1a1(1a2(1a3(12(12(12
    234223344f(11a11∴f(n(1111(1[1] 22223(n1 (1111111(1(1(1(1(1 2233n1n113243nn2n2... 22334n1n12n2三、解答题：本大题共6题，共80分。 15、证明：（1） ∵a2b22ab, （2）要证原不等式成立，
    a2323a, 只需证（6+7）2>（22+5）2， b2323b ; 即证242240。
    将此三式相加得 ∵上式显然成立, 2(a2b232ab23a23b, ∴原不等式成立. ∴a2b23ab3(ab.

    16、(反证法.证明：设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，
    πππ222而a＋b＋c＝（x－2y＋）＋（y－2z＋）＋（z－2x＋）
    236222222＝（x－2x）＋（y－2y）＋（z－2z）＋π＝（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＋π－3， ∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0. 17、解:(1 a1＝37151, a2＝, a3＝,猜测 an＝2－n 24821, k2 (2 ①由(1已得当n＝1时,命题成立;

    ②假设n＝k时,命题成立,即 ak＝2－当n＝k＋1时,a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1＋1, 且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
    ∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1＋1＝2k＋3, ∴2ak＋1＝2＋2－11, a, ＋1＝2－k2k2k1即当n＝k＋1时,命题成立.

    根据①②得n∈N+ , an＝2－1都成立. 2n
    18、解：(1∵f(2＝f(2×1＝f(2·f(1，又f(2＝2，
    ∴f(1＝1.又∵f(4＝f(2·2＝f(2·f(2＝4,2＝f(2<f(3<f(4＝4，且f(3∈N*. ∴f(3＝3. (2由f(1＝1，f(2＝2，f(3＝3，猜想f(n＝n(n∈N*． (3用数学归纳法证明：
    (ⅰ当n＝1时，f(1＝1，函数解析式成立． (ⅱ假设n＝k时，f(k＝k，函数解析式成立．
    ①若k＋1＝2m(m∈N*，f(k＋1＝f(2m＝f(2·f(m＝2m＝k＋1. ②若k＋1＝2m＋1(m∈N*，f(2m＋2＝f[2(m＋1]＝f(2·f(m＋1＝2(m＋1＝2m＋2， 2m＝f(2m<f(2m＋1<f(2m＋2＝2m＋2. ∴f(2m＋1＝2m＋1＝k＋1. 即当n＝k＋1时，函数解析式成立． 综合(ⅰ(ⅱ可知，f(n＝n(n∈N*成立． 19、解 f(a＋f(c>2f(b．

    证明如下：因为a，b，c是不相等的正数， 所以a＋c>2ac. 即ac＋2(a＋c＋4>b2＋4b＋4， 从而(a＋2(c＋2>(b＋22. 因为f(x＝log2x是增函数，
    所以log2(a＋2(c＋2>log2(b＋22， 即log2(a＋2＋log2(c＋2>2log2(b＋2． 故f(a＋f(c>2f(b．














    （综合法和分析法各有其优缺点，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程．有时要把分析和综合结合起来交替使用，才能成功）．
























    因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c>b2＋4b，










    2b20、解：（1）函数y=x+(x>0的最小值是22b，则22b=6, ∴b=log29. x2 (2 设012,y2－y1=x2ccc222x(xx(1. 12122x2x12x12x2c4在[c,+∞上是增函数； 2xc2当012<4c时y21, 函数y=x2在(0,4c]上是减函数. x2 当4c12时, y2>y1, 函数y=x
    c是偶函数，于是，该函数在(－∞,－4c]上是减函数, 在[－4c,0上是增函数； 2xan (3 可以把函数推广为y=xn(常数a>0,其中n是正整数. xan 当n是奇数时,函数y=xn在(0,2na]上是减函数,在[2na,+∞ 上是增函数, x2又y=x 在(－∞,－2na]上是增函数, 在[－2na,0上是减函数；
    n 当n是偶数时,函数y=xa在(0,2na]上是减函数,在[2na,+∞ 上是增函数, nx在(－∞,－2na]上是减函数, 在[－2na,0上是增函数；
    1n11111+(2xn =Cn0(x2n2nCn1(x2n32n3Cnr(x2n3r2n3rCnn(xnn xxxxxx1 因此F(x 在 [,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.

    2199 所以，当x=或x=2时，F(x取得最大值(n+(n；当x=1时F(x取得最小值2n+1；
    2242F(x=(x

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