2019年武汉市初中毕业生考试数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．实数2019的相反数是（ ）

A．2019 B．－2019 C． D．

2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

A．x＞0 B．x≥－1 C．x≥1 D．x≤1

3．不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）

A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球

C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球

4．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ）

A．诚 B．信 C．友 D．善

5．如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何题的左视图是（ ）

6．“漏壶”是一种这个古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，

水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用t表示漏水时间，

y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（ ）

7．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2＋4x＋c＝0有实数解的概率为（ ）

A． B． C． D．

8．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在该图象上，下列命题：① 过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝－6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③ 若x1＋x2＝0，则y1＋y2＝0其中真命题个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

9．如图，AB是⊙O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（ ）

A． B．

C． D．

10．观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）

A．2a2－2a B．2a2－2a－2 C．2a2－a D．2a2＋a

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．计算的结果是___________

12．武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：℃），分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是___________

13．计算的结果是___________

14．如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为___________

15．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则

关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是___________

16．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，

DE与BC交于点P，可推出结论：PA＋PC＝PE

问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是___________

三、解答题（共8题，共72分）

17．（本题8分）计算：(2x2)3－x2·x4

18．（本题8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F

19．（本题8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

(1) 这次共抽取_________名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为__________

(2) 将条形统计图补充完整

(3) 该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？

各类学生人数条形统计图 各类学生人数扇形统计图

20．（本题8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由

(1) 如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC

(2) 如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC

(3) 如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB

21．（本题8分）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点

(1) 如图1，求证：AB2＝4AD·BC

(2) 如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积

22．（本题10分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：

注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）

(1) ① 求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）

② 该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是

__________元

(2) 由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值

23．（本题10分）在△ABC中，∠ABC＝90°，，M是BC上一点，连接AM

(1) 如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN

(2) 过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q

① 如图2，若n＝1，求证：

② 如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）

24．（本题12分）已知抛物线C1：y＝(x－1)2－4和C2：y＝x2

(1) 如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？

(2) 如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ

① 若AP＝AQ，求点P的横坐标

② 若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标

(3) 如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系

2019年武汉市初中毕业生考试

数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．实数2019的相反数是（ ）

A．2019 B．－2019 C． D．

答案：B

考点：相反数。

解析：2019的相反数为－2019，选B。

2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

A．x＞0 B．x≥－1 C．x≥1 D．x≤1

答案：C

考点：二次根式。

解析：由二次根式的定义可知，x－1≥0，

所以，x≥1，选C。

3．不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）

A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球

C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球

答案：B

考点：事件的判断。

解析：因为袋中只有2个白球，所以，从袋子中一次摸出3个都是白球是不可能的，选B。

4．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ）

A．诚 B．信 C．友 D．善

答案：D

考点：轴对称图形。

解析：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，

如图，只有D才是轴对称图形。

5．如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何题的左视图是（ ）

答案：A

考点：三视图。

解析：左面看，左边有上下2个正方形，右边只有1个正方形，所以，A符合。

6．“漏壶”是一种这个古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，

水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（ ）

答案：A

考点：函数图象。

解析：因为壶是一个圆柱，水从壶底小孔均匀漏出，水面的高度y是均匀的减少，

所以，只有A符合。

7．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2＋4x＋c＝0有实数解的概率为（ ）

A． B． C． D．

答案：C

考点：概率，一元二次方程。

解析：由一元二次方程ax2＋4x＋c＝0有实数解，得：

△＝16－4ac＝4（4－ac）≥0，

即满足：4－ac≥0，

随机选取两个不同的数a、c，记为（a，c）,所有可能为：

共有12种，

满足：4－ac≥0有6种，

所以，所求的概率为：，选C。

8．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在该图象上，下列命题：

① 过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝－6；

②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；

③ 若x1＋x2＝0，则y1＋y2＝0。

其中真命题个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

答案：D

考点：反比例函数的图象。

解析：反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，

所以，k〈0，设A（x，y），

则△ACO的面积为：S＝，

又因为点A在函数图象上，所以，有：，

所以，，解得：k＝－6，①正确。

对于②，若x1＜0＜x2，则y1＞0，y2〈0，所以，y1＞y2成立，正确；

对于③ ，由反比例函数的图象关于原点对称，所以，若x1＋x2＝0，则y1＋y2＝0成立，正确，

选D。

9．如图，AB是⊙O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（ ）

A． B．

C． D．

答案：A

考点：轨迹问题，弧长的计算。

解析：连结BE，

因为点E是∠ACB与∠CAB的交点，

所以，点E是三角形ABC的内心，

所以，BE平分∠ABC，

因为AB为直径，所以，∠ACB＝90°，

所以，∠AEB＝180°－（∠CAB+∠CBA）＝135°，为定值，

所以，点E的轨迹是弓形AB上的圆弧，圆弧所以圆的圆心一定在弦AB的中垂线上，

如下图，过圆心O作直径CD⊥AB，

∠BDO＝∠ADO＝45°，

在CD的延长线上，作DF＝DA，

则∠AFB＝45°，

即∠AFB+∠AEB＝180°，

A、E、B、F四点共圆，

所以，∠DAE＝∠DEA＝67.5°，

所以，DE＝DA＝DF，

所以，点D为弓形AB所在圆的圆心，

设圆O的半径为R，

则点C的运动路径长为：，

DA＝R，

点E的运动路径为弧AEB，弧长为：，

C、E两点的运动路径长比为：，选A。

10．观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）

A．2a2－2a B．2a2－2a－2 C．2a2－a D．2a2＋a

答案：C

考点：找规律，应用新知识解决问题。

解析：250＋251＋252＋…＋299＋2100

＝a＋2a＋22a＋…＋250a

＝a＋（2＋22＋…＋250）a

＝a＋（251－2）a

＝a＋（2 a－2）a

＝2a2－a

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．计算的结果是___________

答案：4

考点：算术平方根。

解析：的意义是求16的算术平方根，所以＝4

12．武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：℃），分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是___________

答案：23

考点：中位数。

解析：数据由小到大排列为：

18、20、23、25、27，

所以，中位数为23.

13．计算的结果是___________

答案：

考点：分式的运算。

解析：＝

＝

＝

14．如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为___________

答案：21°

考点：等边对等角，三角形的内角和定理，直角形斜边上的中线定理。

解析：因为AE＝EF，∠ADF＝90°，

所以，DE＝AE＝EF，

又AE＝EF＝CD，

所以，DC＝DE，

设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，

则∠DCE＝∠DEC＝2x，

又AD∥BC，

所以，∠ACB＝∠DAE＝x，

由∠ACB+∠ACD＝63°，

得：x+2x＝63°，

解得：x＝21°，所以，∠ADE的大小为21°

15．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则

关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是___________

答案：x＝－2或5

考点：抛物线，一元二次方程。

解析：依题意，得：，

解得：，

所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：

即：，

化为：，

解得：x＝－2或5

16．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，

DE与BC交于点P，可推出结论：PA＋PC＝PE

问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是___________

图1 图2

答案：2

考点：应用新知识解决问题的能力。

解析：如下图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，

显然△MOP为等边三角形，

所以，OM＋OG＝OP＋PQ，

所以，点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ＝NQ，

所以，当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小。

此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，

过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，

则∠AMQ＝45°，MQ＝MG＝4，

所以，AQ＝AM＝4，

NQ＝

三、解答题（共8题，共72分）

17．（本题8分）计算：(2x2)3－x2·x4

考点：整式的运算。

解析：

18．（本题8分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F

考点：两直线平行的性质与判定。

解析：

19．（本题8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

(1) 这次共抽取_________名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为__________

(2) 将条形统计图补充完整

(3) 该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？

各类学生人数条形统计图 各类学生人数扇形统计图

考点：统计图。

解析：

20．（本题8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由

(1) 如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC

(2) 如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC

(3) 如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB

考点：两直线平行，两个角相等的作图方法。

解析：

21．（本题8分）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点

(1) 如图1，求证：AB2＝4AD·BC

(2) 如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积

考点：圆的切线的性质，三角形相似，三角形的全等。

解析：

22．（本题10分）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：

注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）

(1) ① 求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）

② 该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是

__________元

(2) 由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值

考点：应用题，二次函数。

解析：

23．（本题10分）在△ABC中，∠ABC＝90°，，M是BC上一点，连接AM

(1) 如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN

(2) 过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q

① 如图2，若n＝1，求证：

② 如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）

考点：三角形的全等 ，两直线平行的性质。

解析：

24．（本题12分）已知抛物线C1：y＝(x－1)2－4和C2：y＝x2

(1) 如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？

(2) 如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ

① 若AP＝AQ，求点P的横坐标

② 若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标

(3) 如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系

考点：二次函数，直线与抛物线的相关问题，解决问题的综合能力。

解析：