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    2019浙江省衢州市中考数学试卷附答案-

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    浙江省衢州市2019年中考数学试卷

    一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1.在
    A. ，0，1，-9四个数中，负数是（ ） B. 0 C. 1 D. -9 2.浙江省陆域面积为101800平方千米，其中数据101800用科学记数法表示为（ ） A. 0.1018×105 B. 1.018×105 C. 0.1018×105 D. 1.018×106
    3.如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）



    A B C D 4.下列计算正确的是（ ）

    A. a6+a6=a12 B. a6×a2=a8 C. a6÷a2=a3 D. （a6）2=a8
    5.在一个箱子里放有1个自球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是（ ） A. 1 B. C. D.
    6.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ）

    A. (1，3 B. （1，-3 C. （-1，3） D. （-1，-3）

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    7.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ）



    A. 60° B. 65° B. C. 75° D. 80°
    8.一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（ ）



    A. 6dm B. 5dm C. 4dm D. 3dm 9.如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。则原来的纸带宽为（ ）



    A. 1 B. C.
    D. 2 10.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C，设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）

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    A B C
    D 二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分） 11.计算：
    =________。

    12.数据2，7，5，7，9的众数是________ 。 13.已知实数m，n满足
    ，则代数式m2-n2的值为________ 。

    【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案. 14.如图，人字梯AB，AC的长都为2米。当a=50°时，人字梯顶端高地面的高度AD是________米（结果精确到0.1m。参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）



    15.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F。若y= （k≠0）图象经过点C，且S△BEF=1，则k的值为________ 。

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    16.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。



    （1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则
    的值为________ .

    （2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1 ， 摆放第三个“7”字图形得顶点F2 ， 依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点Fn-1 ， …，则顶点F2019的坐标为________ . 三、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20-21小题每小题8分，第22~23小题每小题10分，第24小题12分，共66分。请务必写出解答过程） 17.计算：|-3|+（π-3）0-


    第 4 页 共 35 页
    +tan45°


    18.已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.





    19.如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上，



    （1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点，

    （2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点.


    第 5 页 共 35 页

    20.某校为积极响应“南孔圣地，衢州有礼”城市品牌建设，在每周五下午第三节课开展了丰富多彩的走班选课活动。其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程，要求全校学生必须参与其中一门课程。为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图。



    （1）请问被随机抽取的学生共有多少名?并补全条形统计图。

    （2）在扇形统计图中，求选择“礼行”课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数。

    （3）若该校共有学生1200人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人？


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    21.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.



    （1）求证：DE是⊙O的切线.

    （2）若DE=

    22.某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表： x（元） … 190 200 210 220 … y(间
    … 65 60 55 50 …
    ，∠C=30°，求
    的长。

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    （1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。

    （2）求y关于x的函数表达式、并写出自变量x的取值范围.

    （3）设客房的日营业额为w（元）。若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时。客房的日营业额最大?最大为多少元？

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    23.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B(c，d，若点T（x，y满足x= y= ，那么称点T是点A，B的融合点。

    =1,y=     ，例如：A（-1，8），B（4，-2），当点T（x，y）满是x= 则点T（1，2）是点A，B的融合点，
    =2时，

    （1）已知点A（-1，5），B(7，7，C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点。

    （2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y是点D，E的融合点。 ①试确定y与x的关系式。

    ②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标。

    24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作 第 9 页 共 35 页

    DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G。



    （1）求CD的长。

    （2）若点M是线段AD的中点，求

    （3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°?

    的值。



    浙江省衢州市2019年中考数学试卷

    一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
    第 10 页 共 35 页

    1.在
    A. ，0，1，-9四个数中，负数是（ ）

    B. 0 C. 1 D. -9 【答案】 D

    【考点】正数和负数的认识及应用 【解析】【解答】解：∵-9＜0＜ ∴负数是-9. 故答案为：D. 【分析】负数：任何正数前加上负号都等于负数；负数比零、正数小， 在数轴线上，负数都在0的左侧. 2.浙江省陆域面积为101800平方千米，其中数据101800用科学记数法表示为（ ） A. 0.1018×105 B. 1.018×105 C. 0.1018×105 D. 1.018×106 【答案】 B

    【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解：∵101800=1.018×105. 故答案为：B. 【分析】科学记数法：将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，由此即可得出答案. 3.如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）

    ＜1，



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    A B C D 【答案】 A

    【考点】简单组合体的三视图

    【解析】【解答】解：从物体正面观察可得， 左边第一列有2个小正方体，第二列有1个小正方体. 故答案为：A. 【分析】主视图：从物体正面观察所得到的图形，由此观察即可得出答案. 4.下列计算正确的是（ ）

    2=a8 A. a6+a6=a12 B. a6×a2=a8 C. a6÷a2=a3 D. （a6）【答案】 B

    【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方 【解析】【解答】解：A.∵a6+a6=2a6 ， 故错误，A不符合题意； B.∵a6×a2=a6+2=a8 ， 故正确，B符合题意； C.∵a6÷a2=a6-2=a4 ， 故错误，C不符合题意； D.∵（a6）2=a2×6=a12 ， 故错误，D不符合题意； 故答案为：B. 【分析】A.根据合并同类项法则计算即可判断错误；B.根据同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，依此计算即可判断正确；C.根据同底数幂的除法：底数不变，指数相减，依此计算即可判断错误；D.根据幂的乘方：底数不变，指数相乘，依此计算即可判断错误. 5.在一个箱子里放有1个自球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是（ ）

    第 12 页 共 35 页

    A. 1 B. D.
    C. 【答案】 C

    【考点】等可能事件的概率 【解析】【解答】解：依题可得， 箱子中一共有球：1+2=3（个），
    ∴从箱子中任意摸出一个球，是白球的概率P= 故答案为：C. 【分析】结合题意求得箱子中球的总个数，再根据概率公式即可求得答案. 6.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ）

    A. (1，3 B. （1，-3 C. （-1，3） D. （-1，-3） 【答案】 A

    【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质 【解析】【解答】解：∵y=（x-1）2+3， ∴二次函数图像顶点坐标为：（1，3）. 故答案为：A. 【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标. 7.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ）

    .

    第 13 页 共 35 页

    A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】 D

    【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE， ∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC， 设∠O=∠ODC=x， ∴∠DCE=∠DEC=2x，
    ∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x， ∵∠BDE=75°，
    ∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°， 即x+180°-4x+75°=180°， 解得：x=25°， ∠CDE=180°-4x=80°. 故答案为：D. 【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得x值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案. 8.一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（ ）



    A. 6dm B. 5dm C. 4dm 第 14 页 共 35 页

    D. 3dm 【答案】 B

    【考点】垂径定理的应用

    【解析】解：连结OD，OA，如图，设半径为r，

    ∵AB=8，CD⊥AB，
    ∴AD=4,点O、D、C三点共线, ∵CD=2， ∴OD=r-2， 在Rt△ADO中， ∵AO2=AD2+OD2 ， , 即r2=42+（r-2）2 ， 解得：r=5， 故答案为：B. 【分析】连结OD，OA，设半径为r，根据垂径定理得AD=4,OD=r-2，在Rt△ADO中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案. 9.如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。则原来的纸带宽为（ ）



    A. 1 B. D. 2
    C. 第 15 页 共 35 页

    【答案】 C

    【考点】等边三角形的性质 【解析】解：如图，作BG⊥AC，

    依题可得：△ABC是边长为2的等边三角形， 在Rt△BGA中， ∵AB=2，AG=1, ∴BG= ，
    . 即原来的纸宽为 故答案为：C. 【分析】结合题意标上字母，作BG⊥AC，根据题意可得：△ABC是边长为2的等边三角形，在Rt△BGA中，根据勾股定理即可求得答案. 10.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C，设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）





    A B C
    D 【答案】 C

    第 16 页 共 35 页

    【考点】动点问题的函数图象

    【解析】【解答】解：①当点P在AE上时， ∵正方形边长为4，E为AB中点， ∴AE=2，
    ∵P点经过的路径长为x， ∴PE=x， ∴y=S△CPE= ·PE·BC= ×x×4=2x，
    ②当点P在AD上时，
    ∵正方形边长为4，E为AB中点， ∴AE=2，
    ∵P点经过的路径长为x， ∴AP=x-2，DP=6-x，
    ∴y=S△CPE=S正方形ABCD-S△BEC-S△APE-S△PDC ， =4×4- ×2×4- ×2×（x-2）- ×4×（6-x），
    =16-4-x+2-12+2x， =x+2，
    ③当点P在DC上时，
    ∵正方形边长为4，E为AB中点， ∴AE=2，
    ∵P点经过的路径长为x， ∴PD=x-6，PC=10-x， ∴y=S△CPE= ·PC·BC= ×（10-x）×4=-2x+20，
    综上所述：y与x的函数表达式为：
    第 17 页 共 35 页

    y= . 故答案为：C. 【分析】结合题意分情况讨论：①当点P在AE上时，②当点P在AD上时，③当点P在DC上时，根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式. 二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分） 11.计算： 【答案】

    =________。

    【考点】分式的加减法 【解析】【解答】解：∵原式= 故答案为：
    . .
    【分析】根据分式加减法法则：同分母相加，分母不变，分子相加减，依此计算即可得出答案. 12.数据2，7，5，7，9的众数是________ 。 【答案】 7 【考点】众数

    【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：2，5，7，7，9， ∴这组数据的众数为：7. 故答案为：7. 【分析】众数：一组数据中出现次数最多的数，由此即可得出答案. 13.已知实数m，n满足 【答案】 3

    【考点】代数式求值

    【解析】【解答】解：∵m-n=1，m+n=3， ∴m2-n2=（m+n）（m-n）=3×1=3.
    第 18 页 共 35 页
    ，则代数式m2-n2的值为________ 。


    故答案为：3. 【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案. 14.如图，人字梯AB，AC的长都为2米。当a=50°时，人字梯顶端高地面的高度AD是________米（结果精确到0.1m。参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）



    【答案】 1.5

    【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：在Rt△ADC中， ∵AC=2，∠ACD=50°, ∴sin50°= ，
    ∴AD=AC×sin50°=2×0.77≈1.5. 故答案为：1.5. 【分析】在Rt△ADC中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案. 15.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，
    ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F。若y= （k≠0）图象经过点C，且S△BEF=1，则k的值为________ 。



    【答案】 24

    第 19 页 共 35 页

    【考点】相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】解：作FG⊥BE，作FH⊥CD，如图，设A（-2a，0），D（0，4b），

    依题可得：△ADO≌△EDO， ∴OA=OE， ∴E（2a，0）， ∵B为OE中点， ∴B（a，0）, ∴BE=a, ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥CD,AB=CD=3a，C（3a，4b）， ∴△BEF∽△CDF, ∴
    又∵D（0，4b）， ∴OD=4b, ∴FG=b, 又∵S△BEF= ∴即
    ·BE·FG=1，
    ,     ab=1, ∴ab=2, ∵C（3a，4b）在反比例函数y= 上，
    第 20 页 共 35 页

    ∴k=3a×4b=12ab=12×2=24. 故答案为：24. 【分析】作FG⊥BE，作FH⊥CD，设A（-2a，0），D（0，4b），由翻折的性质得：△ADO≌△EDO，根据全等三角形性质得OA=OE，结合题意可得E（2a，0），B（a，0）,由平行四边形性质得AE∥CD,AB=CD=3a，C（3a，4b），根据相似三角形判定和性质得 FG=b,由三角形面积公式得
    ,从而得ab=1,即ab=2,将点C坐标代入反比例函数解析式即可求得k值. 16.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。



    （1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则
    的值为________ .

    （2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1 ， 摆放第三个“7”字图形得顶点F2 ， 依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点Fn-1 ， …，则顶点F2019的坐标为________ . 【答案】 （1）（2）（

    , ）

    【考点】探索图形规律

    【解析】（1）依题可得，CD=1，CB=2， ∵∠BDC+∠DBC=90°，∠OBA+∠DBC=90°， ∴∠BDC=∠OBA， 又∵∠DCB=∠BOA=90°， ∴△DCB∽△BOA，

    第 21 页 共 35 页

    ∴ ；
    （ 2 ）根据题意标好字母，如图，

    依题可得：
    CD=1,CB=2，BA=1， ∴BD= ，
    ，
    ，OA= ，
    由（1）知 ∴OB= 易得：
    △OAB∽△GFA∽△HCB， ∴BH= ，CH= ，AG= ，FG= ，
    ∴OH= + = ，OG= + = ，
    ∴C（ ， ），F（ ， ），
    ∴由点C到点F横坐标增加了 ……
    ∴Fn的坐标为：（
    + n，
    ，纵坐标增加了 ，
    + n），
    第 22 页 共 35 页

    ∴F2019的坐标为：（ + ×2019， + ×2019）=（ ，405 ），
    故答案为： ，（ ，405 ）. 【分析】（1）根据题意可得CD=1，CB=2，由同角的余角相等得∠BDC=∠OBA，根据相似三角形判定得△DCB∽△BOA，由相似三角形性质即可求得答案.（2）根据题意标好字母，根据题意可得CD=1,CB=2，BA=1，在Rt△DCB中，由勾股定理求得 BD= ，由（1）知
    ，从而可得OB= ，OA=     ，结合题意易得：△OAB∽△GFA∽△HCB，根据相似三角形性质可得BH= ，CH= ，AG= ，FG= ，从而可得
    C（ ， ），F（ ， ），观察这两点坐标知由点C到点F横坐标增加了
    ，纵坐标增加了 代入即可求得答案. ，依此可得出规律：Fn的坐标为：（ + n， + n），将n=2019三、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20-21小题每小题8分，第22~23小题每小题10分，第24小题12分，共66分。请务必写出解答过程） 17.计算：|-3|+（π-3）0- +tan45°

    【答案】 解：原式=3+1-2+1 =3 【考点】算术平方根，实数的运算，0指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值，实数的绝对值 【解析】【分析】根据有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式一一计算即可得出答案. 18.已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.

    第 23 页 共 35 页



    【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D， ∵BE=DF ∴△ABE≌△ADF． ∴AE=CF 【考点】菱形的性质

    【解析】【分析】由菱形性质得AB=AD，∠B=∠D，根据全等三角形判定SAS可得△ABE≌△ADF，由全等三角形性质即可得证. 19.如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上，



    （1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点， （2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点. 【答案】 （1）解：如图，

    第 24 页 共 35 页



    线段CD就是所求作的图形．

    （2）解：如图，



    ABEC就是所求作的图形
    【考点】作图—复杂作图

    【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥CB，且点D是格点即可.（2）作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形. 20.某校为积极响应“南孔圣地，衢州有礼”城市品牌建设，在每周五下午第三节课开展了丰富多彩的走班选课活动。其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程，要求全校学生必须参与其中一门课程。为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图。

    第 25 页 共 35 页



    （1）请问被随机抽取的学生共有多少名?并补全条形统计图。

    （2）在扇形统计图中，求选择“礼行”课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数。 （3）若该校共有学生1200人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人？ 【答案】 （1）解：学生共有40人 条形统计图如图所示．


    （2）解：选“礼行”课程的学生所对应的扇形圆心角的度数为 （3）解：参与“礼源”课程的学生约有1200×
    ×360°=36°
    =240（人）

    【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图

    【解析】【分析】（1）根据统计表和扇形统计图中的数据，由总数=频数÷频率，频数=总数×频率即可得答案.（2）由条形统计图中可得“礼行”学生人数，由
    ×360°，计算即可求得答案.（3）由条形统计图知“礼源”的学生人数，根据 ×全校总人数，计算即可求得答案. 21.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.

    第 26 页 共 35 页



    （1）求证：DE是⊙O的切线. （2）若DE= ，∠C=30°，求
    的长。

    【答案】 （1）证明：如图，连结OD．



    ∵OC=OD，AB=AC， ∴∠1=∠C，∠C=∠B， ∴∠1=∠B, ∴DE⊥AB， ∴∠2+∠B=90°， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠ODE=90°， ∴DE为⊙O的切线．
    （2）解：连结AD，∵AC为⊙O的直径． ∴∠ADC=90°． ∵AB=AC, ∴∠B=∠C=30°，BD=CD， ∴∠AOD=60°． ∵DE=
    ，
    第 27 页 共 35 页

    ∴BD=CD=2 ，
    ∴OC=2，…6分 ∴AD= π×2= π
    【考点】圆周角定理，切线的判定，弧长的计算

    【解析】【分析】（1）连结OD，根据等腰三角形性质和等量代换得∠1=∠B，由垂直定义和三角形内角和定理得∠2+∠B=90°，等量代换得∠2+∠1=90°，由平角定义得∠DOE=90°，从而可得证.（2）连结AD，由圆周角定理得∠ADC=90°，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得∠AOD=60°,在Rt△DEB中，由直角三角形性质得BD=CD=2 再由弧长公式计算即可求得答案. 22.某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表： x（元） … 190 200 210 220 … y(间
    … 65 60 55 50 …
    ，在Rt△ADC中，由直角三角形性质得OA=OC=2，

    （1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。 （2）求y关于x的函数表达式、并写出自变量x的取值范围.

    （3）设客房的日营业额为w（元）。若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时。客房 第 28 页 共 35 页

    的日营业额最大?最大为多少元？ 【答案】 （1）解：如图所示：



    （2）解：设y=kx+b(k≠0， 把（200，60和（220，50代入， 得 ∴y= ，解得
    x+160（170≤x≤240）
    x+160= =160，
    x2+160x．


    （3）解：w=x·y=x·（ ∴对称轴为直线x= ∵a= <0，
    ∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小． 故当x=170时，w有最大值，最大值为12750元 【考点】二次函数与一次函数的综合应用

    【解析】【分析】（1）根据表中数据再平面直角坐标系中先描点、连线即可画出图像.（2）设y与x的函数表达式为y=kx+b，再从表中选两个点（200，60），（220，50）代入函数解析式，得到一个关于k、b的二元一次方程组，解之即可得出答案，由题意即可求得自变量取值范围.（3）设日营业额为w，由w=xy==- x2+160x，再由二次函数图像性质即可求得答案. ，23.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B(c，d，若点T（x，y满足x= 第 29 页 共 35 页

    y= ，那么称点T是点A，B的融合点。

    =1,y= =2时，例如：A（-1，8），B（4，-2），当点T（x，y）满是x= 则点T（1，2）是点A，B的融合点，


    （1）已知点A（-1，5），B(7，7，C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点。 （2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y是点D，E的融合点。 ①试确定y与x的关系式。
    ②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标。 【答案】 （1）解：
    =2，
    =4

    ∴点C（2，4）是点A，B的融合点

    （2）解：①由融合点定义知x= 又∵y= ∴3x-3= ，得t= ，化简得y=2x-1．
    ，得t=3x-3．

    ②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论： （i）当∠THD=90°时，如图1所示，
    第 30 页 共 35 页



    设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）． 由点T是点E，D的融合点， 可得m= 解得m=
    或2m-1= ,∴点E1( ,6．
    ，
    （ii）当∠TDH=90°时，如图2所示，


    则点T为（3，5）． 由点T是点E，D的融合点， 可得点E2（6，15）．
    （iii）当∠HTD=90°时，该情况不存在． 综上所述，符合题意的点为E1（ 【考点】定义新运算

    【解析】【分析】（1）由题中融合点的定义即可求得答案.
    第 31 页 共 35 页
    ，6），E2(6，15）

    （2）①由题中融合点的定义可得y=2x-1，.
    ②结合题意分三种情况讨论：（ⅰ）∠THD=90°时，画出图形，由融合点的定义求得点E坐标；（ⅱ）∠TDH=90°时，画出图形，由融合点的定义求得点E坐标；（ⅲ）∠HTD=90°时，由题意知此种情况不存在. 24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G。



    （1）求CD的长。

    （2）若点M是线段AD的中点，求
    的值。

    （3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°? 【答案】 （1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°， ∴∠DAC= ∠BAC=30°．
    ．

    在Rt△ADC中，DC=AC·tan30°=2 （2）解：易得，BC=6 ，BD=4 由DE∥AC，得∠EDA=∠DAC,∠DFM=∠AGM． ∵AM=DM， ∴△DFM≌△AGM， ∴AG=DF．

    第 32 页 共 35 页

    由DE∥AC，得△BFE∽△BGA， ∴

    ∴

    （3）解：∵∠CPG=60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q， ∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形。 ① 当⊙Q与DE相切时，如图1，


    过Q点作QH⊥AC，
    并延长HQ与DE交于点P，连结QC，QG 设⊙Q的半径QP=r则QH= 解得r= ∴CG= ． ×
    =4，AG=2．
    ，则

    r，r+ r=2 ，
    易知△DFM∽△AGM，可得 ∴DM=
    ．
    ② 当⊙Q经过点E时，如图2，
    第 33 页 共 35 页



    过C点作CK⊥AB，垂足为K． 设⊙Q的半径QC=QE=r，则QK=3 在Rt△EQK中，12+（ ∴CG=
    ×
    = -r．
    ，
    -r）2=r2 ， 解得r=

    易知△DFM∽△AGM，可得DM= ③ 当⊙Q经过点D时，如图3，


    此时点M与点G重合， 且恰好在点A处，可得DM=4 综上所述，当DM= 或
    ．
    时，满足条件的点P只有一个。
    【考点】圆的综合题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用

    【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根据锐角三角函数正切定义即可求得DC长（.2）由题意易求得BC=6 ，BD=4 ，由全等三角形判定ASA得△DFM≌AGM，根据全等三角形性质得DF=AG，根据相似三角形判定得△BFE∽△BGA，由相似三角形性质得
    第 34 页 共 35 页

    ，将DF=AG代入即可求得答案.（3）由圆周角定理可得△CQG是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：①当⊙Q与DE相切时，结合题意画出图形，过点Q作QH⊥AC，并延长HQ与DE交于点P，连结QC，QG，设⊙Q半径为r，由相似三角形的判定和性质即可求得DM长；②当⊙Q经过点E时，结合题意画出图形，过点C作CK⊥AB，设⊙Q半径为r，在Rt△EQK中，根据勾股定理求得r，再由相似三角形的判定和性质即可求得DM长；③当⊙Q经过点D时，结合题意画出图形，此时点M与点G重合，且恰好在点A处，由此可得DM长.

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