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山东省烟台市2018年初中学业水平考试

数 学

本试卷满分150分,考试时间120分钟.

一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1. 的倒数是 （　　）

A.3 B. C. D.

2.在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案.下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （　　）

3.2018年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，稳居世界第二，82.7万亿用科学记数法表示为 （　　）

A. B. C. D.

4.由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙.如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为 （　　）

A.9 B.11 C.14 D.18

5.甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示：

哪支仪仗队的身高更为整齐？ （　　）

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

6.下列说法正确的是 （　　）

A.367人中至少有2人生日相同

B.任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是

C.天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨

D.某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖

7.利用计算器求值时，小明将按键顺序为显示结果记为，的显示结果记为.则，的大小关系为 （　　）

A. B. C. D.不能比较

8.如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为（　　）

A.28 B.29 C.30 D.31

9.对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点为对角线的交点，过点折叠菱形，使，两点重合，是折痕.若，则的长为 （　　）

A.7 B.6 C.5 D.4

10.如图，四边形内接于，点是的内心，，点在的延长线上，则的度数为 （　　）

A.56° B.62° C.68° D.78°

11.如图，二次函数的图象与轴交于点，.有下列结论：①；②；③当时，；④当时，将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到抛物线.其中正确的是 （　　）

A.①③ B.②③ C.②④ D.③④

12.如图，矩形中，，，点从点出发，以的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止.设运动时间为，的面积为，下列能大致反映与之间函数关系的图象是 （　　）

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)

13. 　　　　.

14. 与最简二次根式是同类二次根式，则　　　　.

15.如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点，，在坐标轴上，，的面积为6，则　　　　.

16.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系，则过，，三点的圆的圆心坐标为　　　　.

17.已知关于的一元二次方程的实数根，，满足，则的取值范围是　　　　.

18.如图，点为正六边形的中心，点为中点，以点为圆心，以的长为半径画弧得到扇形，点在上；以点为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形，把扇形的两条半径，重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为；将扇形以同样方法围成的圆锥的底面半径记为，则　　　　.

三、解答题(本大题共9小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19.先化简，再求值：，其中满足.

20.随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共调查了　　　　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　　　　；

（2）将条形统计图补充完整.观察此图，支付方式的“众数”是“　　　　”；

（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.

21.汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速.在l外取一点P，作，垂足为点C.测得米，，.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速.（参考数据：，，，，，）

22.为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元.

（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36 800元.试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？

（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开.按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元.请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？

23.如图，已知D，E分别为的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上.F为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M.

（1）若为，请将用含的代数式表示；

（2）若，请说明当为多少度时，直线EF为⊙D的切线；

（3）在（2）的条件下，若，求的值.

24.【问题解决】

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，，，.你能求出的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接，求出的度数；

思路二：将绕点B顺时针旋转90°，得到，连接，求出的度数.

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程.

【类比探究】

如图2，若点P是正方形ABCD外一点，，，，求的度数.

25.如图1，抛物线与轴交于，两点，过点B的直线分别与y轴及抛物线交于点C，D.

（1）求直线和抛物线的表达式；

（2）动点P从点O出发，在轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，为直角三角形？请直接写出所有满足条件的的值；

（3）如图2，将直线BD沿轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由.

山东省烟台市2018年初中学业水平考试

数学答案解析

一、选择题

1．【答案】B

【解析】解：的倒数是，故选：B．

【考点】倒数

2．【答案】C

【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．

【考点】中心对称图形、轴对称图形

3．【答案】C

【解析】解：82.7万亿，故选：C．

【考点】科学记数法

4．【答案】B

【解析】解：由图可知涂色部分是从上、前、右三个方向所涂面积相加，即涂色部分面积为，故选：B．

【考点】几何体的表面积

5．【答案】D

【解析】解：∵甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的方差中丁的方差最小，

∴丁仪仗队的身高更为整齐，故选：D．

【考点】方差

6．【答案】A

【解析】解：A.367人中至少有2人生日相同，正确；B.任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，错误；C.天气预报说明天的降水概率为90%，则明天不一定会下雨，错误；D.某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票不一定有1张中奖，错误；故选：A．

【考点】概率

7．【答案】B

【解析】解：由计算器知、，∴，故选：B．

【考点】计算器的使用

8．【答案】C

【解析】解：由图可得，第n个图形有玫瑰花：4n，

令，得，故选：C．

【考点】探索规律

9．【答案】D

【解析】解：连接AC、BD，如图，

∵点O为菱形ABCD的对角线的交点，

∴，，，

在中，，

∵，

∴，

在和中

，

∴，

∴，

∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，

∴，

∴，

∴．

故选：D．

【考点】菱形的性质、折叠的性质、勾用定理、全等三角形的性质与判定

10．【答案】C

【解析】解：∵点I是的内心，

∴、，

∵，

∴

，

又四边形ABCD内接于⊙O，

∴，

故选：C．

【考点】三角形内心的性质、圆内接四边形的性质

11．【答案】D

【解析】解：①图象与x轴交于点，，

∴二次函数的图象的对称轴为

∴

∴，故①错误；

②令，

∴，

∴，

∴，故②错误；

③由图可知：当时，，故③正确；

④当时，

∴

将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，

得到抛物线，故④正确；

故选：D．

【考点】二次函数图象的性质及图象的平移

12．【答案】A

【解析】解：由题意得：，，

①当时，在边上，在边上，如图1，

，

故选项C、D不正确；

②当时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，

，

故选项B不正确；

故选：A．

【考点】利用几何图形的等量关系确定函数的图象

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：原式．

故答案为：．

【考点】实数的运算、特殊角的三角函数值

14．【答案】2

【解析】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且，

∴，解得：．

故答案为2．

【考点】二次根式的化简、同类二次根式的定义

15．【答案】

【解析】解：过点P做轴于点E

∵四边形ABCD为平行四边形

∴

又∵轴

∴ABDO为矩形

∴

∴

∵P为对角线交点，轴

∴四边形PDOE为矩形面积为3

即

∴设P点坐标为

故答案为：.

【考点】平行四边形的性质、矩形的性质与判定以、反比例函数与几何图形的关系

16．【答案】

【解析】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：

在CB的垂直平分线上找到一点D，

，

所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，

即D的坐标为，

故答案为：.

【考点】过三个点的圆的圆心就是三角形的外心、三角形外心的性质、勾股定理

17．【答案】

【解析】解：依题意得：，

解得．

故答案是：．

【考点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系

18．【答案】

【解析】解：连OA

由已知，M为AF中点，则

∵六边形ABCDEF为正六边形

∴

设

∴，

∵正六边形中心角为60°

∴

∴扇形MON的弧长为：

则

同理：扇形DEF的弧长为：

则

故答案为：.

【考点】正多边形的性质、扇形的弧长公式、扇形和圆锥展开图之间的关系

三、解析题

19．【答案】解：，

由，得到，

则原式

20．【答案】（1）200

81°

（2）微信

（3）

【解析】解：（1）本次活动调查的总人数为人，

则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为，

故答案为：200、81°；

（2）微信人数为人，银行卡人数为人，

补全图形如下：

由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，

故答案为：微信；

（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，

画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，

∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为．

21．【答案】解：在中，，

在中，，

则，

∴该汽车的实际速度为，

又∵，

∴该车没有超速．

22．【答案】解：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，

根据题意，得：，

解得：，

答：本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；

（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，

设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，

根据题意，得：，

解得：，

即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆，

则城区10万人口平均每100人至少享有A型车辆、至少享有B型车辆．

23．【答案】解：（1）连接CD、DE，⊙E中，∵，

∴，

∴，

⊙D中，∵，

∴，

中，，

∴；

（2）设，

∵，

∴，

当EF为⊙D的切线时，，

∴，

∴，

中，同理得，，

∴，

∴；

（3）由（2）得：；

由（1）得：；

∴，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

中，，，

∴，，

中，，

中，，

∴，

∴，

∴，

∴．

24．【答案】解：（1）思路一、如图1，

将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接，

∴，

∴，，，

在中，，

∴，根据勾股定理得，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴是直角三角形，且，

∴；

思路二、同思路一的方法；

（2）如图2，

将绕点B逆时针旋转，得到，连接，

∴，

∴，，，

在中，，

∴，根据勾股定理得，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴是直角三角形，且，

∴．

25．【答案】解：（1）把，代入，得

，

解得：，

∴抛物线解析式为：，

∵过点B的直线，

∴代入，得：，

∴BD解析式为；

（2）由得交点坐标为，

如图1，过D作轴于点E，作轴于点F，

当时，为直角三角形，

则，

∴，即，

解得，

当于点D时，为直角三角形

由得，

即，

解得：；

当时，，

∴，即，

解得：，

∴t的值为、、．

（3）由已知直线EF解析式为：，

在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作于点N，交抛物线对称轴于点M

过点N作于点H，此时，最小．

则

设点N坐标为，

∴，即，

解得：，

则N点坐标为，

求得直线ND′的解析式为，

当时，，

∴M点坐标为，

此时，的值最小为．