人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系

摘要：

本文通过对人在雨中奔跑速度与淋雨量的分析，运用统计分析和分类讨论的方法，得出人在雨中奔跑时最佳的奔跑速度与淋雨量的关系。因此从以下方面分析：

一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。据此可列出总淋雨量W与跑步速度v之间的函数关系。分析表明当跑步速度为时，淋雨量最少。并计算出当雨与人体的夹角θ=0、θ=30°时淋雨量

三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。列出函数关系式分析并求解，可知当人速度v=2时淋雨量最少

四，列出淋雨量W和跑步速度v之间的函数关系式，利用MATLAB画出α分别为0°，10°，….90°的曲线图。

五，雨线与人跑步方向不在同一平面内，则考虑人的淋雨面积为前后左右以及头顶。分别列式表示，总的淋雨量即为三者之和。

1、问题的重述

要在雨中的一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且保持方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快淋雨量越少。

将人简化为一个长方体，高（颈部以下），宽，厚，设跑步距离，跑步最大速度，雨速，降雨量，记跑步速度为。

问题一，不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

问题二，雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1,建立总淋雨量与速度及参数之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算时的总淋雨量。

问题三，与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度及参数之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算时的总淋雨量。

问题四，以总淋雨量为纵轴，速度为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

问题五，若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么样的变化。

2、问题的分析

问题一，将人体简化成长方体，雨以降雨量w均匀地淋遍全身，求出人接受雨的总

面积，人以最大速度跑步，并计算淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量W。

问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为θ，如图1所示。根据分析可以得到人在头部及身体前面淋雨，计算模型中长方体的面积，再根据人的速度和跑步路程得出时间t,进而求出在人体总的淋雨量.据此可得W与v之间关系，并能求出θ=0和θ=30°时的总淋雨量。

图1

问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为α，如图2所示。左右方向上淋雨量为0。头顶上单位时间内接收雨的量与雨速垂直方向上的分量成正比，为头顶面积bc与时间的d/v以及之积。当时，前方不受雨，前后方向上单位时间内淋雨量与人前进方向上人相对于雨的速度（usinθ-v）成正比，据此推算出；而当时，后方不受雨，由于人速已经高于雨速，这时前面会向前撞上雨滴，即与成正比。为人体前面积ab和跑步时间d/v顶淋雨量以及之积。

由此可计算出总的淋雨量。，据此可得W与v之间关系，并能求出α=30°时的总淋雨量。

问题四以总淋雨量W为纵轴、速度ν为横，针对问题三的求解，利用MATLAB作出当α分别为0°，10°，20°，30°，40°，50°，60°，70°，80°，90°时的曲线图并加以分析。

问题五，如图三，为人体模型的俯视图。需要分三部分计算，在前后面上，雨垂直方向分速度为，相对速度为，乘上垂直受雨的面积ab以及时间即为前后侧受雨量。因为垂直于左右面人的分速度为0，左右两面上相对速度为乘上面积ac以及时间极为左右受雨量.而头顶受雨与雨速和人速夹角大小无关，因此仍按（2）、（3）问的算法做。由可得雨量求法公式。图3

3、模型的假设与符号说明

、模型的假设

1、把人体视为长方体，人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。ν大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。

2、问题1中不考虑雨下落的方向，假设为自由落体。人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。

3、问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。在此过程中左右两侧因与雨速平行而不沾雨。

4、假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变

5、假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。

、符号说明

:人的身高

:宽度

：厚度

:速度

：降雨下落方向与人的夹角

W：淋雨总量

:降雨大小(降雨强度)

：路程

4、模型的建立与求解

问题一：

不考虑雨的方向，因为降雨量w均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W的求解公式如下：，利用MATLAB编程求解，可得：

问题二：

将降落在人体上的雨滴分成两部分， （顶部）（前面），人体接收的雨量和头顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量、行走时间有关。

列式求解如下：

头顶：

假设降雨量w与与点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以：

正面：

而

利用MATLAB编程求解，可得：

当v=5m/s时，淋雨量W最小；当θ=0°时，W= ，当θ=30°时，W=

图4 图5

问题三：

将降落在人体上的雨滴分成两部分， （顶部）（前后两面），面积为假设：与雨点密度，雨点与人的相对速度成正比而雨点均匀分布。

头顶：

正面：当时，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的前面

当时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的后面

，因为

所以

编程求解可得：当v=2m/s时，总淋雨量最少；雨线方向与人体夹角为30°时，淋雨量为。

问题四：

合速度

总淋雨量

若ccos-asin<0,即：tan>c/a,则v=usin时，W最小。否则，V=时，W最小。（如下图）

Q Q

tan>c/a

tan

0 v 0 v

usin usin

当a=30°，tan>,v=2m/s,W 升最小，可与v=Vm,升相比。

分析结果的实际意义可知，当雨从背面吹来，只要不太小，满足tan>c/a,即：>时，v=usin,W最小。此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨。

问题五：

该问题中，只举例研究雨从正侧面吹来。设雨线与跑步速度方向夹角为。作图如下：

顶部淋雨量W1=bcdwsincos/v

雨速水平分量 ucos(方向与v相反)

合 速 度 ucos+v 单位面积时

间的淋雨量 （ucos+v）/u

迎面淋雨量W2=abd(ucos+v)/uv

侧面淋雨量W3=acdwsinsin/v

所以，总淋雨总量：

W=W1+W2+W3=bcdwsincos/v+abdw(ucos+v)/uv+acdwsinsin/v

由以上式子可知，当v 最大时，W最小。其他情况与问题二处理类似，利用速度分解和合成，可以解决。本质并无区别。

5、模型的评价

、模型优点

通过模型的建立，对雨的各个方向进行了讨论，比较客观得出了人的速度与淋雨量的关系。同时应用了matlab等软件的得到了比较准确的结果，并与实际情况相比较，忽略次要干扰，得到了比较满意的结果。

、模型改进

此模型将人近似类比为长方体，与人体的实际形状有较大的差异，经分析后发现可以将人类比于一个长方体加一个球；并且文章没有考虑到人在奔跑时雨淋到身上并不是准确的直线，而是会发生偏折。

参考文献：

l、中国大学生数学建模竞赛，李大潜主编，高等教育出版社(1998)

2、数学建模案例分析，白其岭主编，海洋出版社，(2000年，北京)

小组成员：熊俞超 辛晓云