第一节 求根公式

【例题求解】

【例1】满足的整数n有 个．

【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）

A． 一4 B．8 C．6 D．0

【例3】 解关于的方程．

【例4】 设方程，求满足该方程的所有根之和．

【练习题】

1.已知、是实数，且，那么关于的方程的根为 ．

2.已知，那么代数式的值是 ．

3. 若两个方程和只有一个公共根，则( )

A． B． C． D．

4.若，则＝ ．

5.已知、是有理数，方程有一个根是，则的值为 ．

6.已知、都是负实数，且，那么的值是( )

A． B． C． D．

7.已知，求代数式的值．

8.已知，求的值．

9.已知m、n是一元二次方程的两个根，求的值．

10.已知方程的两根、也是方程的根，求、的值．

第二节 根的判别式

【例题求解】

【例1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．

【例2】已知关于的方程，

(1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；

(2)若等腰三角形△ABC的一边长＝1，另两边长、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

【例3】设方程，只有3个不相等的实数根，求的值和相应的3个根．

【例4】已知关于的方程

(1)求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；

(2)如果方程的两实根分别为、，满足=3，求实数的值．

【练习题】

1.已知，若方程有两个相等的实数根，则= ．

2.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．

3.已知关于方程有两个不相等的实数解，化简= ．

4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )

A． B． C．且 D．且

5.已知一直角三角形的三边为、、，∠B＝90°，那么关于的方程的根的情况为( )

A．有两个相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

6.如果关于的方程只有一个实数根，那么方程的根的情况是( )

A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根

7.在等腰三角形ABC中，∠ A、∠B、∠C的对边分别为、、，已知，和是 关于的方程的两个实数根，求△ABC的周长．

8. 已知一元二次方程，且、可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( )

A．12个 B．10个 C． 7个 D．5个

9.如果关于的方程没有实数根，那么关于的方程的实根的个数( )

A．2 B．1 C．0 D．不能确定

10.已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足方程，则方程根的情况是( )

A．有两相等实根 B．有两相异实根 C．无实根 D．不能确定

11. 、为实数，关于的方程有三个不等的实数根．

(1)求证：；

(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°；

(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求和的值．

12.关于的方程有有理根，求整数是的值．

第三节 韦达定理

【例题求解】

【例1】已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．

【例2】如果、都是质数，且，，那么的值为( )

A． B．或2 C． D．或2

【例3】 已知关于的方程：

(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．

(2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、．

【例4】 设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值?并求出这个最小值．

【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于的方程的两个根．

(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由．

(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB，求AB、CD的长．

【练习题】

1.(1)已知和为一元二次方程的两个实根，并和满足不等式，则实数取值范围是 ．

(2)已知关于的一元二次方程有两个负数根，那么实数的取值范围是 ．

2.已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．

3. CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程的两根，则△ABC的面积是 ．

4.设、是关于的方程的两根， +1、+1是关于的方程的两根，则、的值分别等于( )

A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3

5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于

的方程的两根，那么AB边上的中线长是( )

A． B． C．5 D．2

6.方程恰有两个正整数根、，则的值是( )

A．1 B．-l C． D．

7.已知、是方程的两个根，则的值为 ．

8.△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是 ．

9.已知关于的方程．

(1) 当是为何值时，此方程有实数根；

(2) 若此方程的两个实数根、满足：，求的值．

10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(AB>BC)的长是关于的方程的两个根．

(1)求rn的值；

（2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的，请说明理由．

11.如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又关于x的方程两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值．