2018年湖北省襄阳市中考数学试卷

一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分）

1．（3分）﹣2的相反数为（　　）

A．2 B． C．﹣2 D．

2．（3分）近几年，襄阳市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2017年GDP突破4000亿元大关，4000亿这个数用科学记数法表示为（　　）

A．4×1012 B．4×1011 C．0.4×1012 D．40×1011

3．（3分）如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）

A．55° B．50° C．45° D．40°

4．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a2+a2=2a4 B．a6÷a2=a3 C．（﹣a3）2=a6 D．（ab）2=ab2

5．（3分）不等式组的解集为（　　）

A．x＞ B．x＞1 C．＜x＜1 D．空集

6．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A． B．

C． D．

7．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）

A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm

8．（3分）下列语句所描述的事件是随机事件的是（　　）

A．任意画一个四边形，其内角和为180°

B．经过任意点画一条直线

C．任意画一个菱形，是屮心对称图形

D．过平面内任意三点画一个圆

9．（3分）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）

A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2

10．（3分）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　）

A．4 B．2 C． D．2

二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）

11．（3分）计算：|1﹣|=　 　．

12．（3分）计算﹣的结果是　 　．

13．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是　 　元．

14．（3分）一组数据3，2，3，4，x的平均数是3，则它的方差是　 　．

15．（3分）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为　 　．

16．（3分）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为　 　．

三、解答题（本题共9题，72分）

17．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+y（x+2y）﹣（x﹣y）2，其中x=2+，y=2﹣．

18．（6分）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．

19．（6分）“品中华诗词，寻文化基因”．某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图．

频数分布统计表

请观察图表，解答下列问题：

（1）表中a=　 　，m=　 　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）D组的4名学生中，有1名男生和3名女生．现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛，则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为　 　．

20．（6分）正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时．求高铁的速度．

21．（7分）如图，已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A（﹣4，1）和点B（m，﹣4）．

（1）求双曲线和直线的解析式；

（2）直接写出线段AB的长和y1＞y2时x的取值范围．

22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．

（1）求证：DA=DE；

（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．

23．（10分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入﹣成本）．

（1）m=　 　，n=　 　；

（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？

（3）在销售蓝莓的30天中，当大利润不低于870元的共有多少天？

24．（10分）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．

（1）证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；

②推断：的值为　 　：

（2）探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：

（3）拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　 　．

25．（13分）直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．

（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；

（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．

①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；

②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．

2018年湖北省襄阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分）

1．（3分）﹣2的相反数为（　　）

A．2 B． C．﹣2 D．

【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，﹣2的相反数为2．

【解答】解：与﹣2符号相反的数是2，

所以，数﹣2的相反数为2．

故选：A．

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2．（3分）近几年，襄阳市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2017年GDP突破4000亿元大关，4000亿这个数用科学记数法表示为（　　）

A．4×1012 B．4×1011 C．0.4×1012 D．40×1011

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：4000亿=4×1011，

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）

A．55° B．50° C．45° D．40°

【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题；

【解答】解：

∵∠1=∠3=50°，∠2+∠3=90°，

∴∠2=90°﹣∠3=40°，

故选：D．

【点评】本题考查平行线的性质，三角板的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

4．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a2+a2=2a4 B．a6÷a2=a3 C．（﹣a3）2=a6 D．（ab）2=ab2

【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、a2+a2=2a2，故A错误；

B、a6÷a2=a4，故B错误；

C、（﹣a3）2=a6，故C正确；

D、（ab）2=a2b2，故D错误．

故选：C．

【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

5．（3分）不等式组的解集为（　　）

A．x＞ B．x＞1 C．＜x＜1 D．空集

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．

【解答】解：解不等式2x＞1﹣x，得：x＞，

解不等式x+2＜4x﹣1，得：x＞1，

则不等式组的解集为x＞1，

故选：B．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

6．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．

【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．

故选：C．

【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体．主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．

7．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）

A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm

【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．

【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，

∴DA=DC，AE=EC=6cm，

∵AB+AD+BD=13cm，

∴AB+BD+DC=13cm，

∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，

故选：B．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．

8．（3分）下列语句所描述的事件是随机事件的是（　　）

A．任意画一个四边形，其内角和为180°

B．经过任意点画一条直线

C．任意画一个菱形，是屮心对称图形

D．过平面内任意三点画一个圆

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

【解答】解：A、任意画一个四边形，其内角和为180°是不可能事件；

B、经过任意点画一条直线是必然事件；

C、任意画一个菱形，是屮心对称图形是必然事件；

D、过平面内任意三点画一个圆是随机事件；

故选：D．

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

9．（3分）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）

A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2

【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．

【解答】解：∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，

∴△=（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，

解得：m≤5，

故选：A．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．

10．（3分）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　）

A．4 B．2 C． D．2

【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．

【解答】解：∵OA⊥BC，

∴CH=BH，=，

∴∠AOB=2∠CDA=60°，

∴BH=OB•sin∠AOB=，

∴BC=2BH=2，

故选：D．

【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．

二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）

11．（3分）计算：|1﹣|=　﹣1　．

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．

【解答】解：|﹣|=﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了实数的性质，是基础题，主要利用了绝对值的性质．

12．（3分）计算﹣的结果是　　．

【分析】根据同分母分式加减运算法则计算即可，最后要注意将结果化为最简分式．

【解答】解：原式=

=

=，

故答案为：．

【点评】本题考查了分式的加减，归纳提炼：分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．

13．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是　53　元．

【分析】设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，根据“每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解答】解：设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，

根据题意得：，

解得：．

故答案为：53．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

14．（3分）一组数据3，2，3，4，x的平均数是3，则它的方差是　0.4　．

【分析】由于数据2、3、3、4、x的平均数是3，由此利用平均数的计算公式可以求出x，然后利用方差的计算公式即可求解．

【解答】解：∵数据2、3、3、4、x的平均数是3，

∴2+3+3+4+x=3×5，

∴x=3，

∴S2=[（3﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2]=0.4．

故答案为：0.4．

【点评】此题主要考查了平均数和方差的计算，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的计算公式．

15．（3分）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为　2或2　．

【分析】分两种情况：

①当△ABC是锐角三角形，如图1，

②当△ABC是钝角三角形，如图2，

分别根据勾股定理计算AC和BC即可．

【解答】解：分两种情况：

①当△ABC是锐角三角形，如图1，

∵CD⊥AB，

∴∠CDA=90°，

∵CD=，AD=1，

∴AC=2，

∵AB=2AC，

∴AB=4，

∴BD=4﹣1=3，

∴BC===2；

②当△ABC是钝角三角形，如图2，

同理得：AC=2，AB=4，

∴BC===2；

综上所述，BC的长为2或2．

故答案为：2或2．

【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．

16．（3分）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为　　．

【分析】设AB=a，AD=b，则ab=32，构建方程组求出a、b即可解决问题；

【解答】解：设AB=a，AD=b，则ab=32，

由△ABE∽△DAB可得：=，

∴b=a2，

∴a3=64，

∴a=4，b=8，

设PA交BD于O．

在Rt△ABD中，BD==12，

∴OP=OA==，

∴AP=．

故答案为．

【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

三、解答题（本题共9题，72分）

17．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+y（x+2y）﹣（x﹣y）2，其中x=2+，y=2﹣．

【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（x+y）（x﹣y）+y（x+2y）﹣（x﹣y）2

=x2﹣y2+xy+2y2﹣x2+2xy﹣y2

=3xy，

当x=2+，y=2﹣时，原式=3×（2+）（2﹣）=3．

【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．

18．（6分）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．

【分析】作PC⊥AB于C，构造出Rt△PAC与Rt△PBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值求解．

【解答】解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，

在Rt△PAC中，，∴AC=PC，

在Rt△PBC中，，∴BC=PC，

∵AB=AC+BC=，

∴PC=100，

答：建筑物P到赛道AB的距离为100米．

【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．

19．（6分）“品中华诗词，寻文化基因”．某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图．

频数分布统计表

请观察图表，解答下列问题：

（1）表中a=　12　，m=　40　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）D组的4名学生中，有1名男生和3名女生．现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛，则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为　　．

【分析】（1）先由A组人数及其百分比求得总人数，总人数乘以C的百分比可得a的值，用B组人数除以总人数可得m的值；

（2）根据（1）中所求结果可补全图形；

（3）列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．

【解答】解：（1）∵被调查的总人数为8÷20%=40人，

∴a=40×30%=12，m%=×100%=40%，即m=40，

故答案为：12、40；

（2）补全图形如下：

（3）列表如下：

∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种．

∴抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为=，

故答案为：．

【点评】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率．

20．（6分）正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时．求高铁的速度．

【分析】设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，根据题意列出方程，求出方程的解即可．

【解答】解：设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，

根据题意得：﹣=1.5，

解得：x=325，

经检验x=325是分式方程的解，且符合题意，

则高铁的速度是325千米/小时．

【点评】此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．

21．（7分）如图，已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A（﹣4，1）和点B（m，﹣4）．

（1）求双曲线和直线的解析式；

（2）直接写出线段AB的长和y1＞y2时x的取值范围．

【分析】（1）先把A点坐标代入y1=中求出k得到反比例函数的解析式为y1=﹣，再把B（m，﹣4）代入y1=﹣中求出m得到B（1，﹣4），然后利用待定系数法求直线解析式；

（2）利用两点间的距离公式计算AB的长；利用函数图象，写出反比例函数图象在直线上方所对应的自变量的范围得到y1＞y2时x的取值范围．

【解答】解：（1）把A（﹣4，1）代入y1=得k=﹣4×1=﹣4，

∴反比例函数的解析式为y1=﹣，

把B（m，﹣4）代入y1=﹣得﹣4m=﹣4，解得m=1，则B（1，﹣4），

把A（﹣4，1），B（1，﹣4）代入y2=ax+b得，解得，

∴直线解析式为y2=﹣x﹣3；

（2）AB==5，

当﹣4＜x＜0或x＞1时，y1＞y2．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．

（1）求证：DA=DE；

（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OE．推知CD为⊙O的切线，即可证明DA=DE；

（2）利用分割法求得阴影部分的面积．

【解答】解：（1）证明：连接OE、OC．

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB．

∵BC=EC，

∴∠CBE=∠CEB，

∴∠OBC=∠OEC．

∵BC为⊙O的切线，

∴∠OEC=∠OBC=90°；

∵OE为半径，

∴CD为⊙O的切线，

∵AD切⊙O于点A，

∴DA=DE；

（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，

∴AD=BF，DF=AB=6，

∴DC=BC+AD=4．

∵BC==2，

∴BC﹣AD=2，

∴BC=3．

在直角△OBC中，tan∠BOE==，

∴∠BOC=60°．

在△OEC与△OBC中，

，

∴△OEC≌△OBC（SSS），

∴∠BOE=2∠BOC=120°．

∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC•OB﹣=9﹣3π．

【点评】本题考查了切线的判定与性质：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，运用全等三角形的判定与性质进行计算．

23．（10分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入﹣成本）．

（1）m=　﹣　，n=　25　；

（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？

（3）在销售蓝莓的30天中，当大利润不低于870元的共有多少天？

【分析】（1）根据题意将相关数值代入即可；

（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值；

（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数．

【解答】解：（1）当第12天的售价为32元/件，代入y=mx﹣76m得

32=12m﹣76m

解得m=﹣

当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n

则n=25

故答案为：m=﹣，n=25

（2）由（1）第x天的销售量为20+4（x﹣1）=4x+16

当1≤x＜20时

W=（4x+16）（﹣x+38﹣18）=﹣2x2+72x+320=﹣2（x﹣18）2+968

∴当x=18时，W最大=968

当20≤x≤30时，W=（4x+16）（25﹣18）=28x+112

∵28＞0

∴W随x的增大而增大

∴当x=30时，W最大=952

∵968＞952

∴当x=18时，W最大=968

（3）当1≤x＜20时，令﹣2x2+72x+320=870

解得x1=25，x2=11

∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下

∴11≤x≤25时，W≥870

∴11≤x＜20

∵x为正整数

∴有9天利润不低于870元

当20≤x≤30时，令28x+112≥870

解得x≥27

∴27≤x≤30

∵x为正整数

∴有3天利润不低于870元

∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．

【点评】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，应用了分类讨论的数学思想．

24．（10分）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．

（1）证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；

②推断：的值为　　：

（2）探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：

（3）拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　3　．

【分析】（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD=90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°，据此可得=、GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理可得；

（2）连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得；

（3）证△AHG∽△CHA得==，设BC=CD=AD=a，知AC=a，由=得AH=a、DH=a、CH=a，由=可得a的值．

【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，

∵GE⊥BC、GF⊥CD，

∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，

∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，

∴EG=EC，

∴四边形CEGF是正方形；

②由①知四边形CEGF是正方形，

∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，

∴=，GE∥AB，

∴==，

故答案为：；

（2）连接CG，

由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，

在Rt△CEG和Rt△CBA中，

=cos45°=、=cos45°=，

∴==，

∴△ACG∽△BCE，

∴==，

∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；

（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，

∴∠BEC=135°，

∵△ACG∽△BCE，

∴∠AGC=∠BEC=135°，

∴∠AGH=∠CAH=45°，

∵∠CHA=∠AHG，

∴△AHG∽△CHA，

∴==，

设BC=CD=AD=a，则AC=a，

则由=得=，

∴AH=a，

则DH=AD﹣AH=a，CH==a，

∴=得=，

解得：a=3，即BC=3，

故答案为：3．

【点评】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．

25．（13分）直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．

（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；

（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．

①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；

②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．

【分析】（1）先由直线解析式求得点A、B坐标，将点A坐标代入抛物线解析式求得m的值，从而得出答案；

（2）①由（1）知BD=AC、BD∥OC，根据AB=AD=证四边形ABPQ是平行四边形得AQ=BP，即2t=4﹣3t，解之即可；②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解．

【解答】解：（1）在y=﹣x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=2，

∴点A（2，0）、点B（0，3），

将点A（2，0）代入抛物线解析式，得：﹣×4+4m﹣3m=0，

解得：m=3，

所以抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣9，

∵y=﹣x2+6x﹣9=﹣（x﹣4）2+3，

∴点D（4，3），对称轴为x=4，

∴点C坐标为（6，0）；

（2）如图1，

由（1）知BD=AC=4，

根据0≤3t≤4，得：0≤t≤，

①∵B（0，3）、D（4，3），

∴BD∥OC，

∴∠CAD=∠ADB，

∵∠DPE=∠CAD，

∴∠DPE=∠ADB，

∵AB==、AD==，

∴AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴∠DPE=∠ABD，

∴PQ∥AB，

∴四边形ABPQ是平行四边形，

∴AQ=BP，即2t=4﹣3t，

解得：t=，

即当∠DPE=∠CAD时，t=秒；

②（Ⅰ）当点N在AB上时，0≤2t≤2，即0≤t≤1，

连接NE，延长PN交x轴于点F，延长ME交x轴于点H，

∵PN⊥BD、EM⊥BD，BD∥OC，PN=EM，

∴OF=BP=2t，PF=OB=3，NE=FH、NF=EH，NE∥FQ，

∴FQ=OC﹣OF﹣QC=6﹣5t，

∵点N在直线y=﹣x+3上，

∴点N的坐标为（2t，﹣3t+3），

∴PN=PF﹣NF=3﹣（﹣3t+3）=3t，

∵NE∥FQ，

∴△PNE∽△PFQ，

∴=，

∴FH=NE=•FQ=×（6﹣5t）=6t﹣5t2，

∵A（2，0）、D（4，3），

∴直线AD解析式为y=x﹣3，

∵点E在直线y=x﹣3上，

∴点E的坐标为（4﹣2t，﹣3t+3），

∵OH=OF+FH，

∴4﹣2t=2t+6t﹣5t2，

解得：t=1+＞1（舍）或t=1﹣；

（Ⅱ）当点N在AD上时，2＜2t≤4，即1＜t≤，

∵PN=EM，

∴点E、N重合，此时PQ⊥BD，

∴BP=OQ，

∴2t=6﹣3t，

解得：t=，

综上所述，当PN=EM时，t=（1﹣）秒或t=秒．

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．