2020年上海市中考数学试卷

一、选择题（共6小题）.

1．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　

A． B． C． D．

2．（4分）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于的方程是　　

A． B． C． D．

3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是　　

A．条形图 B．扇形图

C．折线图 D．频数分布直方图

4．（4分）已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式是　　

A． B． C． D．

5．（4分）下列命题中，真命题是　　

A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形

B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形

C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形

6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是　　

A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．（4分）计算：　　．

8．（4分）已知，那么（3）的值是　　．

9．（4分）已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而　　．（填“增大”或“减小”

10．（4分）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是　　．

11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是　　．

12．（4分）如果将抛物线向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　．

13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为　　．

14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为　　米．

15．（4分）如图，、是平行四边形的对角线，设，，那么向量用向量、表示为　　．

16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行　　米．

17．（4分）如图，在中，，，，点在边上，，联结．如果将沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为　　．

18．（4分）在矩形中，，，点在对角线上，圆的半径为2，如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是　　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算：．

20．（10分）解不等式组：

21．（10分）如图，在直角梯形中，，，，，．

（1）求梯形的面积；

（2）联结，求的正切值．

22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．

（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．

23．（12分）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）如果，求证：．

24．（12分）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、（如图）．抛物线经过点．

（1）求线段的长；

（2）如果抛物线经过线段上的另一点，且，求这条抛物线的表达式；

（3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围．

25．（14分）如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点．

（1）求证：；

（2）当是等腰三角形时，求的大小；

（3）当，时，求边的长．

2020年上海市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　

A． B． C． D．

解：与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；

，与不是同类二次根式；

，与被开方数相同，故是同类二次根式；

，与被开方数不同，故不是同类二次根式．

故选：．

2．（4分）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于的方程是　　

A． B． C． D．

解：把代入原方程得：，转化为整式方程为．

故选：．

3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是　　

A．条形图 B．扇形图

C．折线图 D．频数分布直方图

解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，

故选：．

4．（4分）已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式是　　

A． B． C． D．

解：设反比例函数解析式为，

将代入，得：，

解得，

所以这个反比例函数解析式为，

故选：．

5．（4分）下列命题中，真命题是　　

A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形

B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形

C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形

解：、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；

、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；

、正确；

、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；

故选：．

6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是　　

A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆

解：如图，平行四边形中，取，的中点，，连接．

四边形向右平移可以与四边形重合，

平行四边形是平移重合图形，

故选：．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．（4分）计算：　　．

解：．

故答案为：．

8．（4分）已知，那么（3）的值是　1　．

解：，

（3），

故答案为：1．

9．（4分）已知正比例函数是常数，的图象经过第二、四象限，那么的值随着的值增大而　减小　．（填“增大”或“减小”

解：函数的图象经过第二、四象限，那么的值随的值增大而减小，

故答案为：减小．

10．（4分）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是　4　．

解：依题意，

方程有两个相等的实数根，

△，解得，

故答案为：4．

11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是　　．

解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，

取到的数恰好是5的倍数的概率是．

故答案为：．

12．（4分）如果将抛物线向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　．

解：抛物线向上平移3个单位得到．

故答案为：．

13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为　3150名　．

解：（名．

答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．

故答案为：3150名．

14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为　7　米．

解：，，

，

，

，

，

（米，

答：井深为7米．

15．（4分）如图，、是平行四边形的对角线，设，，那么向量用向量、表示为　　．

解：四边形是平行四边形，

，，，，

，

，

，

，

，

故答案为：．

16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行　350　米．

解：当时，设，

将、代入，得：

，

解得：，

；

当时，，

，

当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，

故答案为：350．

17．（4分）如图，在中，，，，点在边上，，联结．如果将沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为　　．

解：如图，过点作于．

，，

，

，，

是等边三角形，

，

，

，

，

，

，

，

到直线的距离为，

故答案为．

18．（4分）在矩形中，，，点在对角线上，圆的半径为2，如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是　　．

解：在矩形中，，，，

，

如图1，设与边相切于，连接，

则，

，

，

，

，

，

如图2，设与边相切于，连接，

则，

，

，

，

，

，

，

如果圆与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是，

故答案为：．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算：．

解：原式

．

20．（10分）解不等式组：

解：，

解不等式①得，

解不等式②得．

故原不等式组的解集是．

21．（10分）如图，在直角梯形中，，，，，．

（1）求梯形的面积；

（2）联结，求的正切值．

解：（1）过作于，

，，

，

，

四边形是矩形，

，，

，

，

，

梯形的面积；

（2）过作于，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

的正切值．

22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．

（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．

解：（1）（万元）．

答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．

（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为，

依题意，得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为．

23．（12分）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）如果，求证：．

【解答】（1）证明：四边形是菱形，

，，，

，

，

，

，

，

，

，

．

（2）证明：，

，

，

，

，

，，

，

即．

24．（12分）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、（如图）．抛物线经过点．

（1）求线段的长；

（2）如果抛物线经过线段上的另一点，且，求这条抛物线的表达式；

（3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围．

解：（1）针对于直线，

令，，

，

令，则，

，

，

；

（2）设点，

，

，

，

，

，

点在线段上，

，

，

将点，代入抛物线中，得，

，

抛物线；

（3）点在抛物线中，得，

，

抛物线的解析式为，

抛物线的顶点坐标为，

将代入中，得，

顶点位于内，

，

；

25．（14分）如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点．

（1）求证：；

（2）当是等腰三角形时，求的大小；

（3）当，时，求边的长．

【解答】（1）证明：连接．

，

，

，

，

，

，

．

（2）解：如图2中，延长交于．

①若，则，

，

，

，

，

，

．

②若，则，

，

，

，

．

③若，则与重合，这种情形不存在．

综上所述，的值为或．

（3）如图3中，作交的延长线于．

则，

，设，，

，

，

，

，

．