无穷限广义积分的计算

陈雪静

（宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013）

摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣.

关键词: 广义积分;收敛;计算方法

广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法.

1 无穷限广义积分的定义

定义1 设函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间dcb52e18772b666b5d244976f2425a19.png上连续,取dbdcb780f4a5e551341c1ce9ab735043.png.如果极限

470236b8da0310fb3c8f8355c269fa31.png

存在,则称此极限为函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在无穷区间dcb52e18772b666b5d244976f2425a19.png上的反常积分（也称作广义积分）,记作34fd0a4c670e6d44dff80a9c6987998d.png,即

34fd0a4c670e6d44dff80a9c6987998d.png=470236b8da0310fb3c8f8355c269fa31.png;

这时也称反常积分34fd0a4c670e6d44dff80a9c6987998d.png收敛;如果上述极限不存在,函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在无穷区间dcb52e18772b666b5d244976f2425a19.png上的反常积分34fd0a4c670e6d44dff80a9c6987998d.png就没有意义,习惯上称为反常积分34fd0a4c670e6d44dff80a9c6987998d.png发散,这时记号34fd0a4c670e6d44dff80a9c6987998d.png不再表示数值了.

类似地,设函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间0bf36913dafeef777b6139d5fbaec855.png上连续,取06a7c3f4fe1a2e64253e9a91651ed3a9.png. 如果极限

1520695b586ce494fe6684babc7227ff.png

存在,则称此极限为函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在无穷区间0bf36913dafeef777b6139d5fbaec855.png上的反常积分,记作ed6b6a97f8bb0ae90c694d8932fddc3e.png,即

ed6b6a97f8bb0ae90c694d8932fddc3e.png=1520695b586ce494fe6684babc7227ff.png;

这时也称反常积分ed6b6a97f8bb0ae90c694d8932fddc3e.png收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分ed6b6a97f8bb0ae90c694d8932fddc3e.png发散.

设函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在无穷区间ee79fabc055934de03d92f1e8ba90090.png内连续,如果广义积分

83e7c129cae54ea1263decd061397099.png和2e30daf6e4930297f2bacb708fb5fde6.png（4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png为常数）

都收敛,则称上述两个反常积分之和为函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在无穷区间ee79fabc055934de03d92f1e8ba90090.png内的广义积分,记作b2d7434b91471f243b94ee9bcdb966a4.png,即

b2d7434b91471f243b94ee9bcdb966a4.png=83e7c129cae54ea1263decd061397099.png+2e30daf6e4930297f2bacb708fb5fde6.png

=5802b3d24cdb663c873cf8c02c06e70f.png+05837efe08b49d1028f7eb1e6c2e051b.png

这时也称广义积分b2d7434b91471f243b94ee9bcdb966a4.png收敛;否则就称反常积分b2d7434b91471f243b94ee9bcdb966a4.png发散.

上述反常积分统称为积分区间为无穷区间的广义积分或无穷限广义积分.

2 无穷限广义积分的计算方法

2.1利用广义积分的定义求无穷限广义积分

由定义计算可以分两步:

1求定积分bcc140f9ba2aa6e2cf9d17ff3179889b.png=18760c0431a2f869b624f1448cab54b4.png.需要说明的是原函数18760c0431a2f869b624f1448cab54b4.png均指有限形式.

2取极限3ed43b3ba79b7660cddbd779fed75664.png=9b846ea261ee9bbe9789df214e230c47.png18760c0431a2f869b624f1448cab54b4.png.

例1［1］ 计算abca37ac516855f33d5a1d6a9e619ddc.png

解 =c05c9ab825a29f1a1ef76fb9643e5db8.png

26c47a415446698c427cbf74e20fded4.png

f2457d33f7bc5ea217a7f111021496b4.png

49563573c526577853993ff1e9e69a9a.png

60c38f11866229e1e306284eb65a9dd1.png

dbc1240d2d0d15a07d0c5ffcb2ac2970.png

2.2利用含参量积分的理论求无穷限广义积分

含参量积分:

9c97088890b44d1089a42e226fea26fb.png（c9a9a7d1fbfcf6bfb0d33dd85d93b227.png）

6ff2e7495e17ff66abea0104db9c4e5a.png （34c69d376d22d918bcd9f8dc462add83.png）统称为欧拉积分.

其中8f42d4c1f99b091aff7ec2637707347c.png称为格马函数.25477837a0c61b7f52adcbe8cdd3c28a.png称为贝塔函数.且有递推公式

d8b957f31aaad47916933353e95e2348.png 及 7def8c62ffebb6915f5ac545de4865cd.png.

因此在计算广义积分时看所给广义积分当c305e918b12be0f132596eb5a4e89f93.png为何值时对应的欧拉积分,然后用欧拉积分公式直接算出广义积分的值.

例2［5］ 求aabed50470f4df4f4173036ca685370d.png（7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为正整数）

解 此广义积分与表达式相似,因此可用1b004e48cd1f64e22d5c000cf0d7f047.png函数法求解.

aabed50470f4df4f4173036ca685370d.png=9b846ea261ee9bbe9789df214e230c47.png56c646dfc6f47bc209090b3a20b0b64a.pngbc6abe6587119e32f2f7503c0bf69363.png1fed1bdd5446db6882ab173bf9fafbb5.png

=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngac05c9635b08455b8d1e1146c6c593cb.png==93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png5ce5851df7c655de30435ad20817c5e8.png=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngc5d65d8a2eb9fcf2046ee43f802b5d47.png

=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png078a49649b54cac73d2a2972ee2d2ed1.pngba4643675593407da316f49f4ebe991b.png=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png078a49649b54cac73d2a2972ee2d2ed1.pngfdcc1e3293052ea7fa452c046fcf8e74.png71f017949fdc1d71ab26b578baf665ed.png

=07f3499316288b1947329d908de835af.png

注:396c3602c4c39b97cd89aae714945321.png.

2.3利用变量代换法求无穷限广义积分

有些函数的原函数不易求出或直接积分不出来,但如果对被积函数施以变量代换,在辅以一定的技巧就可以求出这类积分.作变量带换时,首先要对被积函数的结构进行分析,然后再看积分限与被积函数的关系.变换的方向是求出原函数或求出一个含原积分的方程,从而求得所含广义积分的值.

例3［2］ 求I=da59a292c3e6fb00ec49676a166aa896.png

解 令x=d0b4392396339b39a11a65ab9a86c942.png,则I=eeb5a068607518004d9a64d989c336d2.png上式加上I=52bc5516ef6b14935be75d318b5a631b.png

得

2I=fddb65dd90ea0604404ee5991f08e5cc.png=36cdea1a7e2e661a9bd2acb34b1915be.png=fefc4564cb14c928183439f7bc8a09e4.png=534794e9a27ee3cc674ca6a962dc60a2.png8e2d90cec9abce0b7f9a9e5c3553f59a.png=fafe6a9cf82222a16abb437883d18698.png

故 I=6656e941e26e727a54eeb18ef3c7fe4e.png

2.4利用二重积分理论计算无穷限广义积分.

利用二重积分理论计算广义积分时,应分两步:

1把广义积分巧妙的化为一个二重积分.

2计算二重积分,从而间接的计算出广义积分的值.

例4［5］ 计算广义积分1d9e59755bb3cd0a352f8c439e6c62ff.png

解 由于1d9e59755bb3cd0a352f8c439e6c62ff.png=8f09a2af27a0da6f403100aebd1bee9e.png

所以19b41c9c38a47b482b314f400d41a7e2.png=5e360ab8174ed99650f7460fd61f240a.png

而5e360ab8174ed99650f7460fd61f240a.png=cbfb77b1ec02356e7130459b1a94d16b.png 其中D=0323fe1f4df82456bd2fc91bfea056be.png

故e8aa87900d02cfc6f85447ce65a306c8.png= cbfb77b1ec02356e7130459b1a94d16b.png而cbfb77b1ec02356e7130459b1a94d16b.png=cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png

1d9e59755bb3cd0a352f8c439e6c62ff.png=5ed3706c09985af4832f7056946bf98a.png.

例5［3］ 计算广义积分I=dc6c979a7740af2db7b84756cd683ebf.png

解 因为b7cbb6d753e64f73b794f94c4c4263ff.png=ec2a4c7b18a65a671fbd947f7ab3de4f.png

所以I=dc6c979a7740af2db7b84756cd683ebf.png=4fbedccf173321227508db4dc7dc9c9c.png

=23f6eb62b01977031acb2c51eac16e38.png=b3a7b5f1f22f6cafe694ca312d2298b1.png

=b0e57757d979b54af0916eb43ed87774.png=622ad317e1203e045aed3d0f13b1bde3.png-4366b543ca845b00e9076246676cef48.png.

2.5积分号下求导法计算无穷限广义积分.

收敛因子法:此方法是对被积函数引入一个收敛因子,因子中有一个参数, 对参数（不一定是收敛因子中的参数）求导,有时可求得原积分的值.在此情况下引入的收敛因子加强了原积分的收敛性（如条件收敛的成为绝对收敛,或求导后发散的,变成一致收敛）.这样使积分号下求导条件得以满足.一般采用db9e6e3864949f47f7c1f2cdc40cb9f7.png（k>0)作为收敛因子.

例65］ 求积分bef0646e5de2b4240aa1d006117948a1.png (77b4599594def71ab1fd041bbd4e3bc7.png)

解 引入积分因子2fc752779dc3edacd6cce4fb2433deaa.png（83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png>0)作积分c1d8a6e06903adcf6d6d9bad42315e72.png=3db701264a71ec8e28eb3b534a35212a.png

2112a66fe7ea3035269150ab91b4ca46.png=7fea58514c5cce49e9cb83dc1f67dacc.png=41a2dfd10a88a721a9d860d57273262c.png

故 c1d8a6e06903adcf6d6d9bad42315e72.png= 4366b543ca845b00e9076246676cef48.png+0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png=4366b543ca845b00e9076246676cef48.png (显然0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png=I(0)=0)

由此有 757ba11cf68988c51dfc1f2859c9d416.png=6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png

所以 I=6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png

故同样可得 bef0646e5de2b4240aa1d006117948a1.png=-6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.pngb88b06bc8a1df16caf4a97e523b33f03.png

2.6积分号下求积分法算无穷限广义积分

这种方法是将被积函数中某一因子表为一个适当的积分.于是将原积分化成二次积分.交换这两个积分的顺序,就可求出所给的积分.

例7［2］ 求积分I=f39cdf06f64e751be72e53bdb355ee77.png1f48ac229b893c318b804111ba69367d.png

解 由0d8b9664912d3afc89a19986b69e1bf6.png,于是

I=c0be192ea352cdb6fd9f9204884ccd6e.png=b5ccd37b501e05611091c7c724ea0a9c.png

=6c1c68dcc46811b1983cfdc2a7964d3a.pngword/media/image140_1.png08b48f4c1fc5ad29a0d2e24be2395010.png

由47ccdba1361ec59ad0b3b284fd36258b.png,有989cd2de896d282187f6ad03986db651.png=b9b994c90348295577b09ee38bd5b4b4.png

所以 dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.png=0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png098cf8ae84b056b4fe56c0d9f80b2052.png为了确定0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png,令f540181b2f5e934f23cc6927f5160c54.png.

得 62a65516d9bb180705b6a99ed58cd769.png 故3b87f9af475b7a15f8128caf5c6ac143.png.

2.7利用复变函数理论中的留数定理计算无穷限广义积分.

定理1［5］ 设函数b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png在实轴上处处解析,在上半平面2b06957a4ea8fcd33a662e32a07c431c.png除有限个孤立奇点781ea761cbd8acad6dc51a045d317e49.png2173b173f90051de85efa0e39c3b82c4.pngf7399cf440e4873eab272482b710d776.png外处处解析,且存在常数963562030df9cd5fe47bcf65a858f992.png,eb124f0aa79b80ec79e5a87233e7ac37.png,afc13fa573c63da11d7dd245535d6d76.png,使得当0114885ba6fe9f5fdf7aa1a59367145c.png,且2b06957a4ea8fcd33a662e32a07c431c.png时, b62d09607aab6161e4f54b058e1235fc.png,则

11eb8b1574a108c34010cc2cd9c9a09b.png

推论 1［5］ 设79f4afdb1878a74deb4eff10c4aa9b7c.png是有理函数,2fd54e399812df4e0ccb07cc3516dab1.png与7840bf4572db7f70b802836b9234b906.png为fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png的7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png,6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png次多项,多项式7840bf4572db7f70b802836b9234b906.png的次数比2fd54e399812df4e0ccb07cc3516dab1.png至少高2次,7840bf4572db7f70b802836b9234b906.png在实轴上没有零点,781ea761cbd8acad6dc51a045d317e49.png2173b173f90051de85efa0e39c3b82c4.pngf7399cf440e4873eab272482b710d776.png是b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png在上半平面2b06957a4ea8fcd33a662e32a07c431c.png的孤立奇点,则

11eb8b1574a108c34010cc2cd9c9a09b.png

例8 4］ 计算广义积分ff49f36abcb500f4a204b49ff235b82e.png

解 因为0ce9e4eb7dc724f64d3b4960ab001e28.png,显然b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png满足推论的条件,且c782374a4a501335d9293f828d66fb51.png4921c0e2d1f6005abe1f9ec2e2041909.png,246fa405234ff807dea979c3d374f7ee.png99d4fb3db1563c87da2cdfc0158b37c3.png是b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png在上半平面的孤立奇点,这两个点都是b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png的一级极点,因此有

5ef65ed30b98402b9f224c80f8c92d9f.png

67e44acd2cbfa5c3aaa8bb439d364dc0.png

1d7c15539155bfab620897cfb2b1a59d.png

同理b11d9af3af18be5fdd51243cc6fad57f.png00a25d6b11306b9ed8f7ad966d0e4179.png

故

ff49f36abcb500f4a204b49ff235b82e.png=854120c498344e3e8569c710373185ca.png[582f68518fe19f4cca1dbd8056eebbaf.png+00a25d6b11306b9ed8f7ad966d0e4179.png]

=b61edd42c59271ce3c2207d16a020fff.png

2.8级数展开法求广义积分

利用无穷级数计算广义积分也是常用的一种技巧.常有两种方法.

其一是将被积函数展成级数以求积分;

其二是将无穷区间上的广义积分表示成级数的形式以求积分.

例92］ 求积分I=5fa83d3b15f83b3922f05e3a6071fb88.png

解 利用余弦函数的幂级数展开以及指数函数的展开式

7cabb6771328b770529c6d516eef3c10.png ccbea6ea5f12efb31622998bc99ac6d9.png

我们有5fa83d3b15f83b3922f05e3a6071fb88.png=8d7f442f8986e95a83fd94de5ee910b4.png=b18bb4a891f4a31df17d1b203e292eb1.png

=290bcdcd1932e8334b74dbbec9c47688.png=5035c0f7f8eefefa66ab2b0461aee431.png=6b011a658112e226da29b03307299a2b.png

例10［5］ 计算广义积分4ad5eaaa836dc4034a98c96a3319b130.png.

解 由于4ad5eaaa836dc4034a98c96a3319b130.png=b86ec14768601960632d6181c4d1118f.png

而72b3e30b37f88dc7045bfbd7910d56d2.png=710ca7dd4c92b2846f8c94c957edc5ab.png 故原式=-710ca7dd4c92b2846f8c94c957edc5ab.png.

利用级数展开求积分,展开的仅是被积函数的某个因子,“展开因子”选择应是其展开的级数形式比较简单;展开的级数连同被积函数剩下的因子可逐项积分;这些积分容易求出.因此记住一些常用函数的展开式及一些数项级数的和对积分计算是有益的.

2.9利用概率统计知识求无穷限广义积分.

例11［5］ 计算广义积分I=dc6c979a7740af2db7b84756cd683ebf.png.

解 因为e90e54c5b86a05fe3d8f974968112b89.png为标准的正态分布密度函数所以b2d7434b91471f243b94ee9bcdb966a4.png= 1.

即51f27e93b813cf7b31bb60a4a6ce6ee6.png=1. 所以46f9e8cd2b99f2404428457148bf5d13.png

即2032e5d2d667edae37caa2351aa66ae2.png=791c7fb47e09145f166093b63cd1dcb6.png=2b0ff374241af2290f3dea3bbaa520f6.png

令c7c6ff391384a13bffee8a7f8e6544d8.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pnge100416a0c286320e6d30e2915d6f185.png

c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png5b971fcc97d086f66dd66424f0df7608.png=7a5b40080e95c887feddf31bbca47aa1.png=4ffe558efe3259bb2106802a4d7956d1.png=5ed3706c09985af4832f7056946bf98a.png

2.10用拉普拉斯变换求无穷限广义积分

定义2［6］ 设d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png在11745765489dc9eb0ab61fabd9bbb7a9.png上有定义,且积分d6d50ffca565f37b31766952a3c7a627.png（03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png是复变参量）关于某一范围内的03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png收敛,则由这个积分确定的函数d6d50ffca565f37b31766952a3c7a627.png称为函数d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png的拉普拉斯变换.并记做2e83dd218e3dc4ed4c5c91a03426b903.png,即2e83dd218e3dc4ed4c5c91a03426b903.png=d6d50ffca565f37b31766952a3c7a627.png,其中的2f8669b6af152741e8f084706d157e86.png称为d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png的像函数,d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png称为2f8669b6af152741e8f084706d157e86.png的像原函数.

定理 2［5］ (Laplace变换存在定理) 设函数d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png在11745765489dc9eb0ab61fabd9bbb7a9.png的任何有限区间内分段连续,并且当b6aa46c66aee444eea54073ae3cefdbc.png时, d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数eb124f0aa79b80ec79e5a87233e7ac37.png,和d0807a7687bae6b92c0e6bd9e39c8335.png,使得在c0d864088792aed5611417c9ecfd05c4.png上,c1c8d8baaf6bfeb9944c17d3830a811d.png,则在半平面20014a18e7ae19f0bcfe5e3efff833e2.png上,2e83dd218e3dc4ed4c5c91a03426b903.png存在,且2f8669b6af152741e8f084706d157e86.png=2e83dd218e3dc4ed4c5c91a03426b903.png是03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png的解析函数.其中6d155a8ec86cc6633458655c91f23d08.png称为d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png的增长指数.

性质1［1］（积分性质）若0eacc3078e318338be9d5e15a746b9d1.png,则35d2cc21637a81f18d83d49d7827586b.png（83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png为复数） （1）

性质2［1］(终值性质) 若0eacc3078e318338be9d5e15a746b9d1.png,且ed38370bc9a5132260a534d4710e7ba6.png的所有奇点全在83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png平面的部a79f371e3a49f8e236af0b753c35c872.png （2）

性质3［1］ 若0eacc3078e318338be9d5e15a746b9d1.png,c1d8a6e06903adcf6d6d9bad42315e72.png在b81e353fba2c2fb86993f3b32d9d0d8f.png上解析,且e34745f7c7c39cf325f67bbcf981357e.png收敛,则a5724d476da85c7bd0ee6ef47260df5f.png存在,且

ca2081fb7fee50c4576c5541df41470b.png （3）

证明 0eacc3078e318338be9d5e15a746b9d1.png

由微分性知 428a3b57b60f3e3c1f8cd2337a9b379c.png=c006cf9aae2799f4541fc9b516679ba3.png

0e168c62f5730604bc310694b5755406.png=77544934ca43f0b33b6df669ca6ae0dd.png

由性质1 d44ce290a68bbbac3fbae968ff04defd.png

所以由性质2 e8f9827680c4c86d9df56baadf7e512a.png

即 e34745f7c7c39cf325f67bbcf981357e.png=a5724d476da85c7bd0ee6ef47260df5f.png

特别的,0e1176caf07d2ed21c19fc899be7e7df.png时,有0ea6da05092dc9ebea3b520905d7ce38.png. （4）

性质4［1］（象函数的积分性质）若0eacc3078e318338be9d5e15a746b9d1.png,且积分3f50cc61c5ff42b27982825c562e835c.png收敛8c07e1b9b3dec8784478524b3719229f.png. （5）

性质 5［1］ 设0eacc3078e318338be9d5e15a746b9d1.png,且3f50cc61c5ff42b27982825c562e835c.png与2209801483a3015b90e4afd51c436637.png皆收敛,则

cc4c0e6e5338801867c0d8abd4b9a21a.png （6）

证明 由（5）式,8c07e1b9b3dec8784478524b3719229f.png

由（4）式, 2209801483a3015b90e4afd51c436637.png=0e86e9287f37d6f4ff5e9bb9789e8dbd.png

3a95f48a6f1c9e3c6632105b4545c561.png

例12［4］ 求1a6b103a2e02549a532c93ae0ccab844.png的拉普拉斯变换,并求积分b3bbfa99b92c5f4681e11fe0b1cdbe33.png.

解 由定理2,因为3375c9d766e30e57e3acb572f39952f4.png,故在03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png的实部大于零上, 拉普拉斯变换存在,且

06c0752ed007ab85581e17d83688dd82.png=7011d8f264c5536806b928b8c2a19dd4.png=c0e055544515a932ba887be256190d34.png

于是 a4f1efc80d12335a2f2ebcb08e7c8126.png （在03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png的实部大于零）

那么 4725dd71600d4f63f3a2d59388affc8a.png

由命题4知 30101eeb4fcaa62078733fe8d7e252ef.png=45a4ca64d6d1648009e8108602f31290.png=dfa064c602b7d73fa4a9ca14266ffe44.png

在利用命题5知 b3bbfa99b92c5f4681e11fe0b1cdbe33.png=8f17bc81d04e01e34967caca4327ec1f.png=6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png.

例13［6］ 计算下列积分227c294ce0dc4e7f31d0443abc83c887.png

解 d4aae867d0b140d765700a114c033c62.png,

由微分性质知,

9d64c4897d43c63528865da1c72d8e3e.png

但是另一方面 721b3c5b0245e9edc5d67090fe790501.png

当5c8b5f2049149b745f5c2a7e73519d4d.png时,即

227c294ce0dc4e7f31d0443abc83c887.png=3d5b02760cbae36ca6371c370b4f2019.png=fc500a4cca8f6a666e58c5f02576536e.png

致谢：本文在写作过程中得到陈一虎老师的指导.在此表示感谢！

参考文献:

[1] 白水周.无穷限广义积分的几种有效解法[J].开封大学学报,2000,14(1):49-50.

[2] 李绍成.论广义积分的计算[J].绵阳农专学报:自然科学版,1996,13(2):65-70.

[3] 数学分析.华东师范大学数学系[M].高等教育出版社,2001．

[4] 宋叔尼,孙涛.复变函数与积分变换[M].北京:科学出版社,2006.

[5] 刘开生,杨钟玄.无穷限广义积分的几种计算方法[J].天水师范学院学报:

自然科学版,2002,22(2):9-10.

[6] 盖云英,包革军.复变函数与积分变换学习指导[M].科学出版社,2004.

Ways of calculating limitless generalized integral

CHEN Xue-Jing

(Department of Mathematic,Baoji University of Arts and Science Baoji 721013,Shaanxi ,China)

Abstract: ways of calculating generlazed integral are given by using maths analysis, complex variable and integral transform, complex function and proabability statistical theroy. In the study the use of these methods can broaden their horizons, stimulate interest in learning mathematics.

Key words: generalized integration; convergence; calculation method.